二項式定理的應用

姜鐵軍

(江蘇省昆山市第一中學)

1)展開式中共有(n＋1)項;

2)a的指數從n逐項遞減到0,是降冪排列,b的指數從0逐項遞增到n,是升冪排列;

3)各項的次數和等于n.

厘清二項式定理及其特點后,我們應該學會應用定理.那么如何用好這個定理呢?

1 正用

所謂正用就是直接求二項式展開式.求形式簡單的二項展開式時可直接由二項式定理展開,展開時注意二項展開式的特點:前一個字母是降冪,后一個字母是升冪,形如(a－b)n的展開式中會出現正負間隔的情況.對較繁雜的式子可先化簡再用二項式定理展開.此外,正用二項式定理,還能求二項展開式中特定的項,如常數項、系數最大的項、有理項等.

例1(1)在的展開式中的系數是( ).

A.35 B.－35 C.560 D.－560

(2)已知(1＋x)7＋k(x2＋x＋1)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7,且a2＋2a3＋3a4＋4a5＋5a6＋6a7＝－9,則k＝.

2 逆用

逆用二項式定理可將多項式化簡,對于這類問題的求解,要熟悉公式的特點、項數、各項冪指數的規律以及各項的系數.逆用二項式定理時,如果項的系數是正負相間的,則是(a－b)n的形式.

3 活用

靈活運用二項式定理,就是對于看似與二項式定理無關的問題,通過創造條件使之與二項式產生聯系,從而利用二項式定理來解決,如利用二項式定理求近似值,證明整除關系、證明整數不等式或與組合數有關的恒等式等.

例3某同學在一個物理問題計算過程中遇到了對數據0.9810的處理,經過思考,他決定采用精確到0.01的近似值,則這個近似值是_________.

當k＝1時,9k－8k－1＝0,顯然Sn－4n－1能被64整除.當k≥2時,式①能被64整除,所以n為偶數時,Sn－4n－1能被64整除.

例5(多選題)下列關系式成立的是( ).

綜上,二項定理看似簡單,但它的應用卻“不簡單”,只要我們學會二項式定理的正用、逆用和活用,那么攻克二項式問題必然是“不在話下”.

(完)