盤點二項式定理中的“系數”問題

鄧高宣

(湖北省恩施市第三高級中學)

二項式定理在近幾年的高考中多以選擇題、填空題的形式出現,涉及的題型主要有求展開式中的特定項、求特定項的系數、整除(求余)、求近似值等問題.本文就二項式定理中的“系數”問題加以歸類和解析.

1 利用二項展開式通項公式求特定項的系數

變式二項式的展開式中常數項為－20,則含x4項的系數為( ).

A.－6 B.－15 C.6 D.15

2 求多個二項式的和(或積)展開式中特定項的系數

例2(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展開式中x3的系數為_________.

例3(x＋y－2z)5的展開式中xy2z2的系數是( ).

A.120 B.－120 C.60 D.30

例4(x＋y)(2x－y)6的展開式中x4y3的系數為( ).

A.－80 B.－40 C.40 D.80

例5已 知(x＋1)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6,則a2＝________.

(t＋2)6＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a6t6,故

3 求多項式展開式中各項的系數之和或某些項的系數之和

例6已知(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8,則a1＋a2＋…＋a7＝( ).

A.－2 B.－3 C.125 D.－131

變式已知(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5,則|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝_________.

4 求二項式展開式中系數最大的項

例7若展開式中前三項的二項式系數之和為79,求展開式中系數最大的項.

設Tk＋1項的系數最大,因為

解得9.4≤k≤10.4,又k＝1,2,…,12,所以k＝10,則展開式中系數最大的項為T11,故

變式若展開式中各項系數之和大于8,但小于32,則展開式中系數最大的項為________.

5 求二項式展開式中與系數有關的參數

例8已知(2＋ax)(1－2x)5的展開式中含x2項的系數為70,則實數a的值為( ).

A.1 B.－1

C.2 D.－2

由于(2＋ax)(1－2x)5＝2(1－2x)5＋ax(1－2x)5,據此可知含x2項的系數為

結合題意可知80－10a＝70,解得a＝1,故選A.

變式1若的二項展開式中x3的系數為(用數字作答).

總之,對于二項式定理“系數”的考查,主要題型有求特定項的系數(二項式系數)、求系數(二項式系數)的最大(或最小)項、與系數有關的參數問題以及綜合應用等.我們在解答與二項式定理系數有關的問題時,一般是先利用通項公式進行化簡,根據題設條件列出關系式,然后再利用其他相關知識來求解.

(完)