恰當選擇研究角度,巧妙破解排列組合問題

俞 綱 周繼波

(1.云南省昆明市第三中學 2.云南省昆明市第十六中學)

排列組合與計數問題的計算是圍繞著事件的完成來展開的,而完成事件的角度往往不止一種.從不同的角度來完成事件其復雜程度各不相同,這就需要我們多思考、多總結,學會選擇恰當的角度來完成事件,以達到事半功倍、化繁為簡的效果.

例1學校安排全校六個年級的同學去春游,有四個公園可供選擇,每個年級去一個公園,則共有多少種不同的安排方法?

例2從甲、乙、丙、丁、戊、己六人中選四人去四所學校學習,每人去不同學校,其中甲不能去A學校,則有多少種不同的安排方法?

例3經過正方體任意兩個頂點的所有直線中,異面直線共有多少對?

例4(1)四個人坐一排八個座位,其中恰好有兩個空座位相鄰,則有多少種不同方法?

(2)八人參加100米比賽,沒有并列,其中甲、乙比丙、丁、戊先到達有多少種不同情況?

(2)如果直接用位置分析法或元素分析法,都要通過列舉法把滿足條件的形式列出來,這樣相對麻煩;如果把問題形象看成按照甲、乙在前,丙、丁、戊在后的結構確定五人相對位置,再依次插入另外三人,則后三人的插入不會改變前五人的相對順序,問題得到巧妙解決,但值得注意的是,后三人可以相鄰,因此插入時要“先后逐一”插入,即每插入一人,空隙就會增加一個,則情況數為.此題還可以研究甲、乙、丙、丁、戊五人的任意排序中滿足甲、乙在丙、丁、戊前面的概率,則八人任意排序中,滿足條件的情況數為4032種.

例5甲、乙、丙、丁等七人各自選擇周一至周日中的一天值日,每人選擇不同的一天.

(1)甲不在周一,乙不在周日,則共有多少種安排方法?

(2)甲不在周一,乙不在周日,且若丙在周三,則丁不在周四,則有多少種不同的安排方法?

由此用間接法計算可得情況數為

(2)由于條件語句的邏輯關系比較復雜,在七人全排列的角度下,無論是正面研究還是用間接法都比較煩瑣.這時我們可以把研究角度聚焦在第(1)問的范圍內,用集合語言來描述,即

即用“甲不在周一且乙不在周日”的總情況數減去“甲不在周一乙不在周日且丙在周三丁在周四”的情況數,則可以直接計算出情況數為

例6某小組十個人中只會唱歌的有三個人,只會跳舞的有三個人,既會唱歌又會跳舞的有四個人,從中選出不同的三個人去唱歌,三個人去跳舞,有多少種不同的選法?

例7如圖1所示,在六個區域中涂上顏色,有五種顏色可供選擇,要求每個區域只涂一種顏色,相鄰區域所涂顏色不同,則不同的涂色方法總數為多少種?

圖1

例8甲、乙、丙、丁、戊、己六位同學的六張試卷放在一起,每人拿一張試卷,恰好所有同學都拿錯試卷的情況共有多少種?

而通過列舉法,我們得到k(2)＝1,k(3)＝2,從而k(4)＝9,k(5)＝44,k(6)＝265,問題得到解答.

(完)