獨立性檢驗考向解析與備考建議

秦文波

(重慶市璧山區教師進修學校)

獨立性檢驗是高中階段所學的一種檢驗方法,是近年來高考的考查熱點.為了更好地復習備考,本文就獨立性檢驗的考向進行詮釋,并結合新課標要求給出備考建議.

1 考向解析

1.1 等高條形圖分析

例1在下面頻率等高條形圖中,兩個分類變量x與y關系最強的是( ).

1.2 列聯表分析

例2假設兩個分類變量x與y的2×2列聯表如表1所示.

表1

對于以下數據,對同一樣本能說明x與y有關系的可能性最大的一組為( ).

A.a＝20,b＝30,c＝40,d＝50

B.a＝50,b＝30,c＝30,d＝40

C.a＝30,b＝60,c＝20,d＝50

D.a＝50,b＝30,c＝40,d＝30

1.3 統計量K2 的計算

例3在研究色盲與性別的關系調查中,調查了男性50人,其中有20人患色盲,調查的60個女性中15人患色盲,則變量K2的值約為( ).

A.1.60 B.2.83 C.2.712 D.6.004

列出2×2列聯表如表2所示.

表2

故選B.

1.4 獨立性檢驗的概念及辨析

例4有關獨立性檢驗的四個命題,其中為假命題的是( ).

A.兩個分類變量的2×2列聯表中,對角線上數據的乘積相差越大,說明這兩個變量有關系的可能性就越大

B.對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說,k越小,“X與Y有關系”的可信程度越小

C.從獨立性檢驗可知:有95%把握認為禿頂與患心臟病有關,我們說某人禿頂,那么他有95%可能患有心臟病

D.從獨立性檢驗可知:有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關,是指在犯錯誤的概率不超過1%前提下認為吸煙與患肺癌有關

1.5 獨立性檢驗解決實際問題

例5(2022年全國甲卷文17,節選)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營,為了解這兩家公司長途客車的運行情況,隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次,得到列聯表(如表3).

表3

能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關?

1.6 獨立性檢驗與其他知識交會問題

例6為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果,需要進行動物與人體試驗,研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內,一段時間后測量小白鼠的某項指標值,按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組,繪制頻率分布直方圖如圖1所示,試驗發現小白鼠體內產生抗體的共有160只,其中該項指標值不小于60的有110只.假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立.

圖1

(1)請根據α＝0.05的獨立性檢驗,判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關.

(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性,對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗,結果又有20只小白鼠產生抗體.

(ⅰ)用頻率估計概率,求一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率p;

(ⅱ)以(ⅰ)中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率,進行人體接種試驗,記n個人注射2次疫苗后產生抗體的數量為隨機變量X.試驗后統計數據顯示,當X＝90時,P(X)取最大值,求參加人體接種試驗的人數n及E(X).

在[0,20)內有0.0025×20×200＝10只;

在[20,40)內有0.00625×20×200＝25只;

在[40,60)內有0.00875×20×200＝35只;

在[60,80)內有0.025×20×200＝100只;

在[80,100]內有0.0075×20×200＝30只.

由題意,有抗體且指標值小于60的有50 只;而指標值小于60的小白鼠共有10＋25＋35＝70只,所以指標值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只.同理,指標值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只,故列聯表(單位:只)如表4所示.

表4

零假設為H0:注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60無關聯.

根據列聯表中數據,得

根據α＝0.05 的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關,此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.

(2)(ⅰ)令事件A為“小白鼠第一次注射疫苗產生抗體”,事件B為“小白鼠第二次注射疫苗產生抗體”,事件C為“小白鼠注射2次疫苗后產生抗體”.

記事件A,B,C發生的概率分別為P(A),P(B),P(C),則

所以一只小白鼠注射2 次疫苗后產生抗體的概率為0.9.

(ⅱ)由題意,知隨機變量X～B(n,0.9),則

當接種人數為99 時,E(X)＝np＝99×0.9＝89.1;當接種人數為100 時,E(X)＝np＝100×0.9＝90.

2 備考建議

2.1 要準確理解基礎知識

本部分內容的基礎知識包括:2×2列聯表、等高條形圖、統計量K2、獨立性檢驗的概念、基本思想以及操作步驟等,這些都是高考重點考查的內容,需要準確理解并牢固掌握.

2.2 要熟練掌握基本方法

學生要能快速且準確地列出2×2列聯表并畫出等高條形圖,要能根據等高條形圖準確列出2×2列聯表,要熟練獨立性檢驗的操作步驟和結果的表述方式.

2.3 要不斷提高運算能力

關于統計量K2的觀測值的獲得需要較大的運算量,我們平時要提高自己的運算求解能力,計算時最好能提取公因數或借助平方差公式因式分解后再約分化簡求解,結果最好先以分式形式呈現,再根據題目要求保留相應小數點位數.

2.4 要重視練習的質和量

平時的練習題要在重視基礎的前提下適當顧及廣度、深度和難度,練習題盡量選取各省市或名校模擬試題以及高考真題.

2.5 要深入理解獨立性檢驗的基本思想

獨立性檢驗本質上是對兩個分類變量獨立性的假設檢驗,基本思路:先假設兩個分類變量獨立,再在給定顯著性水平下計算統計量K2的觀測值并與臨界值比較,最后根據比較結果作出拒絕假設或接受假設的概率解釋.

2×2列聯表、等高條形圖和統計量K2的觀測值可以判斷兩個分類變量是否有關系.2×2列聯表對角線乘積相差越大,則兩個分類變量有關系的可能性越大;等高條形圖下方顏色高度相差越大,則兩個分類變量有關系的可能性越大;統計量K2的觀測值越大,則兩個分類變量有關系的可能性越大.

在給定顯著性水平α的條件下,利用統計量K2的觀測值k與α對應的臨界值k0的大小關系可以從概率的角度判斷兩個分類變量是否有關系.若k≥k0,則可表述為能在犯錯誤的概率不超過α的前提下認為這兩類分類變量有關系;有1－α(百分比)的把握認為這兩個分類變量有關系.若k＜k0,則可表述為不能在犯錯誤的概率不超過α的前提下判定這兩個分類變量有關;沒有1－α(百分比)的把握認為這兩個分類變量有關.

3 備考練習

練習1(多選題)為了增強學生的身體素質,某校將冬天長跑作為一項制度固定下來,每天大課間例行跑操.為了調查學生喜歡跑步是否與性別有關,研究人員隨機調查了相同人數的男、女學生,發現男生中有80%喜歡跑步,女生中有40%不喜歡跑步,且有95%的把握判斷喜歡跑步與性別有關,但沒有99%的把握判斷喜歡跑步與性別有關,則被調查的男、女學生的總人數可能為( ).

A.120 B.130 C.240 D.250

答案AB.

練習2某種常見疾病可分為Ⅰ,Ⅱ兩種類型.為了了解該疾病類型與地域、初次患該疾病的年齡(以下簡稱初次患病年齡)的關系,在甲、乙兩個地區共隨機抽取100名患者調查其疾病類型及初次患病年齡,得到的數據如表5所示.

表5

記初次患病年齡在[10,40)的患者為低齡患者,初次患病年齡在[40,70]的患者為高齡患者.根據表5中數據,解決以下問題:

(1)將以下列聯表(表6和表7)補充完整,并判斷地域、初次患病年齡這兩個變量中哪個變量與該疾病的類型有關聯的可能性更大(直接寫出結論,不必說明理由).

表6

表7

(2)記(1)中與該疾病的類型有關聯的可能性更大的變量為X.問:是否有99%的把握認為該疾病的類型與X有關?

答案(1)列聯表略,初次患病年齡與該疾病的類型有關聯的可能性更大.

(2)有99%的把握認為該疾病類型與初次患病年齡有關.

練習3為迎接2022年北京冬季奧運會,普及冬奧知識,某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動.現從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取100名學生,將他們的競賽成績(滿分為100 分)分為6組:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖2所示的頻率分布直方圖.

圖2

(1)估計這100名學生的平均成績(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表),并估計這100 名學生成績的中位數(精確到0.01);

(2)在抽取的100名學生中,規定:競賽成績不低于80分為“優秀”,競賽成績低于80分為“非優秀”.

(ⅰ)請判斷是否有99%的把握認為“競賽成績是否優秀與性別有關”?

(ⅱ)求出等高條形圖需要的數據,并畫出等高條形圖(按圖3中“優秀”和“非優秀”所對應陰影線畫),利用條形圖判斷競賽成績優秀與性別是否有關系?

圖3

答案 (1)平均成績73,中位數73.33.

(2)(ⅰ)略,沒有;(ⅱ)略,有.

本文可能用到的參考公式及數據:

表8

(完)