把握兩個關(guān)鍵點,求解離散型隨機變量的分布列

李桂春

(北京師范大學附屬實驗中學)

新高考關(guān)注培養(yǎng)學生閱讀和審題的習慣,關(guān)注生活與數(shù)學的聯(lián)系,注重培養(yǎng)學生在復雜情境下解決數(shù)學問題的能力.概率與統(tǒng)計的試題正是以生活實際問題為背景,考查學生閱讀理解、推理分析、數(shù)據(jù)運算等能力,因此每年的高考試題中均有涉及.而在概率統(tǒng)計的試題中經(jīng)常考查離散型隨機變量的分布列.對于離散型隨機變量的分布列,首先要把握概念的本質(zhì),理解概念中的關(guān)鍵要素,才能合理地運用概率模型計算離散型隨機變量各個取值對應(yīng)的概率,從而得到離散型隨機變量的分布列.

求解離散型隨機變量的分布列時,把握以下兩個關(guān)鍵點:

1)正確寫出離散型隨機變量X的所有可能取值xk(k＝1,2,3,…,n);

2)求出離散型隨機變量取每一個值的概率P(X＝xk)＝pk(k＝1,2,…,n),在求概率時要分清用哪一種概率模型來解決.

1 正確寫出離散型隨機變量的所有可能取值

求解離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵點之一是明確隨機變量的所有可能取值,以及取每一個值時對應(yīng)的意義,有時一個隨機變量的取值可能對應(yīng)一個或多個隨機試驗的結(jié)果,在解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果.

例1從裝有6個白球、4個黑球和2個黃球的箱中隨機地取出兩個球,規(guī)定每取出一個黑球得2分,而每取出一個白球失1分,取出黃球不得分,以X表示所得的分數(shù),隨機變量X可以取哪些值呢? 求X的分布列.

當取到2個白球時,X＝－2;

當取到1個白球和1個黃球時,失1分,X＝－1;

當取到1個白球和1個黑球時,X＝1;

當取到2個黃球時,X＝0;

當取到1個黑球和1個黃球時,X＝2;

當取到2個黑球時,X＝4.

X的所有可能取值為－2,－1,0,1,2,4,則

所以X的分布列如表1所示.

表1

例2盒子中裝著標有數(shù)字1,2,3,4,5 的卡片各2張,從盒子中任取3張卡片,每張卡片被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3張卡片上的最大數(shù)字,求:

(1)取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率;

(2)隨機變量ξ的概率分布.

(2)由題意知ξ的所有可能取值為2,3,4,5,則

所以隨機變量ξ的分布列如表2所示.

表2

2 分析離散型隨機變量分布列的模型,合理選擇計算概率的方法

2.1 超幾何分布,利用古典概型計算概率

(1)求某位消費者在一次抽獎活動中抽到的4張卡片上都印有“幸”字的概率;

(2)記隨機變量X為某位消費者在一次抽獎活動中獲得代金券的金額數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望E(X);

(3)該商家規(guī)定,消費者若想再次參加該項抽獎活動,則每抽獎一次需支付3元.若你是消費者,是否愿意再次參加該項抽獎活動? 請說明理由.

(2)隨機變量X的所有可能取值為10,5,0,則

所以X的分布列如表3所示.

表3

(3)方法1記隨機變量Y為消費者在一次抽獎活動中的收益,則.因此不愿意再次參加該項抽獎活動.

方法2記“某位消費者在一次抽獎中能獲得獎券”為事件B,則因為中獎概率不足因此不愿意再次參加該項抽獎活動.

板安窯村為了幫助貧困戶，提供了打掃衛(wèi)生的公益崗位，一個月500塊錢，但是很多人看不到眼里，覺得錢少。知道消息的郭書鳳馬上找到了村干部，并爽快地接住了這個工作。

例4已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調(diào)查.

(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.

(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望;

(ⅱ)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.

(2)(ⅰ)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,則,所以隨機變量X的分布列如表4所示.

表4

(ⅱ)設(shè)事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A＝B∪C,且B與C互斥,由(ⅰ)知,P(B)＝P(X＝2),P(C)＝P(X＝1),故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝所以事件A發(fā)生的概率為

啟示解決上面兩道有關(guān)離散型隨機變量分布列問題的關(guān)鍵是分清隨機變量的分布列是超幾何分布,用古典概型計算其概率.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征:1)考查對象分兩類;2)已知各類對象的個數(shù);3)從中抽取若干個個體,考查某類個體個數(shù)X的概率分布.

2.2 二項分布,利用獨立重復試驗計算概率

例5共享交通工具的出現(xiàn)極大地方便了人們的生活,也是當下一個很好的發(fā)展商機.某公司根據(jù)市場發(fā)展情況推出共享單車和共享電動車兩種產(chǎn)品.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),兩種產(chǎn)品中,共享電動車速度更快,更受消費者歡迎,一般使用共享電動車的概率為,使用共享單車的概率為.該公司為了促進大家消費,使用共享電動車一次記2分,使用共享單車一次記1分.每個市民各次使用共享交通工具選擇意愿相互獨立,市民之間選擇意愿也相互獨立.

(1)現(xiàn)有4 位市民使用該公司共享交通工具出行,求至少有一人使用共享單車的概率;

(2)從首次使用共享交通工具的市民中隨機抽取3人,記總得分為隨機變量ξ,求ξ的分布列.

設(shè)“至少有一人使用共享單車”為事件A,則

(2)由題意,從首次使用共享交通工具的市民中隨機抽取3人,總得分ξ的可能取值為3,4,5,6,則

所以ξ的分布列如表5所示.

表5

例6為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身體健康,要求產(chǎn)品在進入市場前必須進行兩輪核輻射檢測,只有兩輪都合格才能進行銷售,否則不能銷售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為,第二輪檢測不合格的概率為,兩輪檢測是否合格相互沒有影響.

(1)求該產(chǎn)品不能銷售的概率;

(2)如果產(chǎn)品可以銷售,則每件產(chǎn)品可獲利40元;如果產(chǎn)品不能銷售,則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利－80元).已知一箱中有產(chǎn)品4件,記一箱產(chǎn)品獲利X元,求X的分布列,并求出均值E(X).

P(A)＝1－,所以該產(chǎn)品不能銷售的概率為

(2)由已知,4件產(chǎn)品能否銷售有以下5種情形:

4件不能銷售,0件能銷售,對應(yīng)的X取值為－320;

3件不能銷售,1件能銷售,對應(yīng)的X取值為－200;

2件不能銷售,2件能銷售,對應(yīng)的X取值為－80;

1件不能銷售,3件能銷售,對應(yīng)的X取值為40;

0件不能銷售,4件能銷售,對應(yīng)的X取值為160.

X的所有可能取值為－320,－200,－80,40,160,則

所以X的分布列如表6所示.

表6

2.3 利用相互獨立事件的概率公式計算

例7從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設(shè)各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為

(1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;

(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.

所以隨機變量X的分布列如表7所示.

表7

(2)設(shè)有2輛車獨立地從甲地到乙地,這2輛車共遇到1個紅燈為事件A,則

2.4 辨別離散型隨機變量滿足的分布列,采用相應(yīng)的計算概率的方法

例8袋中有8個白球、2個黑球,從中隨機地連續(xù)抽取3次,每次取1個球.

(1)若每次抽取后都放回,設(shè)取到黑球的個數(shù)為X,求X的分布列;

(2)若每次抽取后都不放回,設(shè)取到黑球的個數(shù)為Y,求Y的分布列.

所以X的分布列如表8所示.

表8

(2)若每次抽取后都不放回,則隨機抽取3次可看成隨機抽取1次,但1次抽取了3個球,因此黑球數(shù)Y服從參數(shù)為10,3,2 的超幾何分布,即Y～H(10,3,2),因此

所以Y的分布列如表9所示.

表9

啟示在產(chǎn)品檢驗中,若N件產(chǎn)品中,共有M件次品,當我們從這些產(chǎn)品中每次抽取一件,共抽取n次進行檢查時,若是有放回地抽樣,則抽到的次品數(shù)X服從的是二項分布;若是不放回地抽樣且n≤N,則抽到的次品數(shù)X服從的是超幾何分布.

例9某校高二(1)班的一個研究性學習小組在網(wǎng)上查知,某植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為,該研究性學習小組又分成兩個小組進行驗證性試驗.

(1)第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子),求他們的試驗中至少有3次發(fā)芽成功的概率;

(2)第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(每次均種下一粒種子),如果在一次試驗中種子發(fā)芽成功就停止試驗,否則將繼續(xù)進行下次試驗,直到種子發(fā)芽成功為止,但試驗的次數(shù)最多不超過5次.求第二小組所做種子發(fā)芽試驗的次數(shù)ξ的概率分布列.

所以至少有3次發(fā)芽成功的概率為

(2)隨機變量ξ的所有可能取值為1,2,3,4,5,則

所以ξ的分布列如表10所示.

表10

啟示本題中的第(1)問中至少有3 次發(fā)芽成功,即有3次、4次、5次發(fā)芽成功.而其中每一種情況,例如,有4次發(fā)芽成功,只需在5次中恰有4次成功即可,故滿足獨立重復試驗;第(2)問中的隨機變量取每一個值,例如,ξ＝4時,是前3次未發(fā)芽,第4次才發(fā)芽,故不滿足獨立重復試驗,應(yīng)按相互獨立事件的概率計算.

例102016年微信用戶數(shù)量統(tǒng)計顯示,微信注冊用戶數(shù)量已經(jīng)突破9.27億.微信用戶平均年齡只有26歲,97.7%的用戶在50 歲以下,86.2%的用戶在18～36歲之間.為調(diào)查大學生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量,現(xiàn)從北京市大學生中隨機抽取100位同學進行了抽樣調(diào)查,結(jié)果如表11所示.

表11

(1)求a,b,c的值;

(2)若從這100 位同學中隨機抽取2 人,求這2人中恰有1人微信群個數(shù)超過15個的概率;

(3)以這100個人的樣本數(shù)據(jù)估計北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計概率,若從全市大學生中隨機抽取3人,記X表示抽到的是微信群個數(shù)超過15個的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望E(X).

(2)記“2人中恰有1人微信群個數(shù)超過15個”為事件A,則所以2 人中恰有1人微信群個數(shù)超過15個的概率為

所以X的分布列如表12所示.

表12

啟示此題要分清超幾何分布和二項分布的區(qū)別,超幾何分布中隨機變量取某一值時的概率符合古典概型,古典概型需滿足有限性,即在一次試驗中,基本事件發(fā)生的次數(shù)是有限的.第(2)問是在樣本中考慮,從100人中隨機抽取2人,符合古典概型.當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小,且每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果,此時可以把它看成獨立重復試驗,利用二項分布求其分布列.第(3)問是利用樣本估計總體,在北京市的總體數(shù)據(jù)中抽取,符合二項分布.

在求離散型隨機變量的分布列時,一般按照如下步驟進行:分析題意→分別寫出取值所表示的結(jié)果→寫出X的所有可能取值→求出X取每一個值的概率→列表得出X的分布列.

在具體過程中,應(yīng)把握兩個關(guān)鍵點:

1)離散型隨機變量的所有可能取值及對應(yīng)的隨機試驗結(jié)果,二者之間可以相互轉(zhuǎn)化;

(2)分清分布列的模型,并用相應(yīng)的概率公式計算,這樣就能準確高效地解答有關(guān)離散型隨機變量的分布列問題.

(完)