于平凡處見功底
——聚焦統計案例求解

李文斌

(甘肅省慶城縣隴東中學)

新高考注重對數學核心素養進行考查,概率與統計能較好地考查數學應用能力和創新意識,是高考的重點和熱點.數學建模思想也在考試中成了考查的重點,這類解答題往往題干比較長,條件比較多,文字和表格較復雜,對學生的審題閱讀、識圖用圖、直觀想象等都有較高的要求,當然也是容易失分的一個知識點.下面從試題的背景、考查的知識點、試題的形式對統計案例中的幾個問題加以剖析.

1 以生產、生活為背景,進行相關性分析

例1為有效防控疫情,于2021年9月開始,多省份相繼啟動新冠疫苗加強免疫接種工作.某市開展加強免疫接種工作以來,某一周的接種人數(單位:萬人)如表1所示.

表1

設天數為x(x＝1,2,3,4,5,6,7),規定星期一為x＝1,余類推.

(1)若y與x(x＝1,2,3,4)具有線性相關關系,求y關于x的線性回歸方程;

(2)根據(1)中所求的線性回歸方程分別計算星期五、星期六的預報值^y,并與當日接種人數的真實值y進行比較.若都滿足|^y－y|≤0.1,則可用此線性回歸方程預測以后的接種人數.請判斷(1)中所求的線性回歸方程是否可以預測以后的接種人數? 若可預測,請預測星期日的接種人數a;若不可預測,請說明理由.參考公式:

2 以知識交會處為切入口,增加內容的層次性

例2為迎接2022年北京冬奧會,踐行“更快、更高、更強”的奧林匹克格言,落實全民健身國家戰略.某校高二年級發起了“發揚奧林匹克精神,鍛煉健康體魄”的年度主題活動,經過一段時間后,學生的身體素質明顯提高.

(1)為了解活動效果,該年級對開展活動以來近6個月體重超重的人數進行了調查,調查結果統計如圖1所示,根據這個散點圖可以認為散點集中在曲線y＝ebx＋a的附近,請根據表2中的數據求出該年級體重超重人數y與月份x之間的回歸方程(系數a和b的最終結果精確到0.01),并預測從開展活動以來第幾個月份開始該年級體重超標的人數降至10 人以下?

圖1

表2

(2)在某次足球訓練課上,球首先由A隊員控制,此后足球僅在A,B,C三名隊員之間傳遞,假設每名隊員控球時傳給其他隊員的概率如表3所示.

表3

若傳球3次,B隊員控球次數的期望值是C隊員控球次數的期望值的兩倍,求實數m的值.

參考數據:

(2)設隨機變量X,Y分別表示B,C隊員的控球次數,由題意得X的可能取值為0,1,2.

所以X的分布列如表4所示.

表4

同理,可得Y的分布列如表5所示.

表5

隨著對應用意識的重視程度的不斷提高,概率統計具有較強的現實背景和較強的實踐性.通過對最近五年高考命題趨勢分析,在備考統計概率這部分知識時,應以教材為基礎,在日常學習中注意梳理基本知識點、基本概念及其簡單應用,形成知識結構和脈絡,逐漸熟悉統計概率在實際中的應用,增強應用意識,不斷提高靈活處理問題的能力.

(完)