例析求解二項式展開式系數的常見策略

張 平

(廣東省珠海市實驗中學)

二項式定理是對初中完全平方公式與多項式乘法的拓展與延伸,既是排列組合知識的直接應用,又與概率中的二項分布有著緊密的聯系,在高考中多以填空題或選擇題的形式呈現,屬于基礎題,以考查二項式定理基礎知識與方法的應用為主,重點考查學生的轉化與化歸能力、數學運算能力,兼顧數學抽象、邏輯推理等素養.本文結合題目進行分類剖析,以提高解決此類問題的能力.

1 基礎知識

2 常用性質

2.1 二項式系數相關性質

1)二項式(a＋b)n展開式各項的二項式系數的

2)二項式(a＋b)n展開式中奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等,即

2.2 賦值法求展開式系數和

3 應用舉例

3.1 求特定項系數

例1(2020年北京卷3)在的展開式中,x2的系數為( ).

A.－5 B.5 C.－10 D.10

方法3(x2＋4x－5)4表示4個(x2＋4x－5)的乘積,要得到x的一次項,則必須在1 個(x2＋4x－5)中選擇4x,同時其余3個(x2＋4x－5)中均選擇(－5),由排列組合知識得展開式中x的一次項的系數為

方法4易知(x2＋4x－5)4的展開式中x的最高次數為8,最低次數為0,故可設(x2＋4x－5)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8,求x的一次項的系數即是求a1的值.將等式兩邊同時對x求導得4(x2＋4x－5)3(2x＋4)＝a1＋2a2x＋…＋8a8x7,令x＝0,得a1＝4×(－5)3×4＝－2000.

例4(2014年浙江卷理5)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中,記xmyn項的系數為f(m,n),則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( ).

A.45 B.60 C.120 D.210

故選C.

方法2(1＋x)6的展開式通項為其中k＝0,1,2,…,6;同理,(1＋y)4的展開式通項為,其中r＝0,1,2,3,4,則(1＋x)6(1＋y)4的展開式通項為

其中k＝0,1,2,…,6,r＝0,1,2,3,4,從而f(m,n)＝,則

故選C.

3.2 求參數的值

例5(2017年山東卷理11)已知(1＋3x)n的展開式中含有x2項的系數是54,則n＝________.

方法2由排列組合知識知(1＋3x)n的展開式中x2項的系數為54,得n2－n－12＝0,解得n＝4(負值舍去).

例6已知的展開式中含有x2y4項的系數為80,則m的值為( ).

A.－2 B.2 C.－1 D.1

3.3 與最大系數相關

例7設m為正整數,(x＋y)2m展開式的二項式系數的最大值為a,(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數的最大值為b,若13a＝7b,則m＝( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

解得m＝6,故選B.

例8已知(ax＋1)9的展開式中系數最大的是第3項,且a∈N?,則a＝_________,展開式中二項式系數最大的是第_________項.解得,所以a＝3或4,展開式中二項式系數最大的是第5項和第6項.

3.4 求系數和

例9(2015年湖北卷理3)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等,則奇數項的二項式系數和為( ).

A.212B.211C.210D.29

例10(2022年北京卷8)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0,則a0＋a2＋a4＝( ).

A.40 B.41 C.－40 D.－41

方法2(2x－1)4的展開式通項為

其中k＝0,1,2,3,4 則a0＋a2＋a4＝(－1)4＋,故選B.

方法3(2x－1)4表示4個(2x－1)的乘積,由排列組合可得,故選B.

例11(x＋2y－3z)5的展開式中所有不含y的項的系數之和為( ).

A.－32 B.－16 C.10 D.64

(x＋2y－3z)5＝[(x－3z)＋2y]5,則其展開式的通項為.若展開式中的項不含y,則k＝0,此時符合條件的項為(x－3z)5的展開式中的所有項.令x＝z＝1可得這些項的系數之和為(－2)5＝－32,故選A.

3.5 綜合提升

(2)方法1(1－2x)7的展開式通項為Tk＋1＝,其中k＝0,1,2,…,7,所以當k為偶數時,ak＞0;當k為奇數時,ak＜0,則

方法2求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值,實質是求(1＋2x)7的展開式的各項系數和.令x＝1,得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.

(3)將(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7兩邊對x求導得

令x＝1,得a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7＝－14.

(4)將－14(1－2x)6＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋7a7x6兩邊對x求導得

令x＝1,得2a2＋6a3＋12a4＋…＋42a7＝－168.

(5)由導數公式易知

二項式定理的相關問題還是有“法”可依、有章可循的,因此我們應牢牢抓住二項式展開式的通項公式,結合題設的結構特征,靈活進行合理轉化,選擇合適方法進行求解.

(完)