由一道2022年全國甲卷高考題引發的探究
——談談離散型隨機變量的分布列與數學期望

苗本彩

(山東省沂源縣第二中學)

本文對2022年全國甲卷理科第19題進行展示和剖析,以問題為導向,厘清離散型隨機變量分布列與數學期望問題的求解思路和方法,然后通過幾個類似的典型題目的訓練提高學生對這類問題的處理能力,并探討高考數學中概率解答題的命題趨勢.

1 2022年高考題再現

題目(2022年全國甲卷理19)甲、乙兩個學校進行體育比賽,比賽共設三個項目,每個項目勝方得10分,負方得0分,沒有平局.三個項目比賽結束后,總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結果相互獨立.

(1)求甲學校獲得冠軍的概率;

(2)用X表示乙學校的總得分,求X的分布列與期望.

分析本題目主要考查了離散型隨機變量及其分布列,以及離散型隨機變量的期望與方差.這類題型考查學生的轉化思想和數學運算核心素養.要解答這道高考題,首先要根據相互獨立事件的概率乘法公式,求出甲學校獲勝2場或3場的概率,由此可以得到甲學校獲得冠軍的概率;然后再去思考乙學校的總得分X的可能取值,分別求出X取上述值時的概率,由此求得分布列與數學期望.

2 解法探究

(1)甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,則兩個學校每場比賽獲勝的概率如表1所示.

表1

甲學校要獲得冠軍,需要在3場比賽中至少獲勝2場.甲學校3場全勝的概率為

甲學校3場獲勝2場敗1場的概率為

所以甲學校獲得冠軍的概率為P＝P1＋P2＝0.6.

(2)乙學校的總得分X的可能取值為0,10,20,30,其概率分別為

則X的分布列如表2所示.

表2

3 離散型隨機變量分布列的求解策略

對離散型隨機變量分布列的考查是概率考查的主要形式,那么準確地列出分布列顯得至關重要,下面探討如何準確求解離散型隨機變量的分布列.

1)弄清“隨機變量的可能取值”

弄清“隨機變量的可能取值”是第一步,確定隨機變量的取值時,要做到準確無誤,同時需要注意隨機變量是從幾開始取值,每種取值對應幾種情況.

2)弄清事件類型

計算概率前要確定事件的類型,同時正確運用排列與組合知識求出相應事件的概率.

3)注意驗證隨機變量的概率之和是否為1

通過驗證概率之和是否為1,可以檢驗所求概率是否正確,還可以檢驗隨機變量的可能取值是否重復或遺漏.

4 針對性訓練

練習1為響應大學畢業生自主創業的號召,小李畢業后開了水果店,水果店每天以每個5元的價格從農場購進若干西瓜,然后以每個10元的價格出售.如果當天賣不完,剩下的西瓜作贈品處理.

(1)若水果店一天購進16個西瓜,求當天的利潤y(單位:元)關于當天需求量n(單位:個,n∈N)的函數解析式.

(2)水果店記錄了100天西瓜的日需求量(單位:個),整理得到表3.

表3

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率.

(ⅰ)若水果店一天購進16個西瓜,X表示當天的利潤(單位:元),求X的分布列、數學期望及方差;

(ⅱ)若水果店計劃一天購進16個或17個西瓜,你認為應購進16個還是17個? 請說明理由.

(2)(ⅰ)依題意可得X的可能取值為60,70,80,則P(X＝60)＝0.1,P(X＝70)＝0.2,P(X＝80)＝0.7,所以X的分布列如表4所示.

表4

(ⅱ)購進17個時,當天的利潤為

因為76.4＞76,所以應購進17個.

練習2某企業生產一種如圖1所示的電路系統:要求三個不同位置1,2,3 接入三種不同類型的電子元件,且備選電子元件為A,B,C型,它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.6.假設接入三個位置的電子元件能否正常工作相互獨立,當且僅當1號位元件正常工作,同時2號位與3號位元件中至少有一件正常工作時,電路系統才能正常工作.

圖1

(1)共可組裝出多少種不同的電路系統?

(2)求出A在1號位,B在2號位,C在3號位時該電路系統正常工作的概率,并指出組裝出的不同的電路系統中能正常工作概率的最大值,說明理由.

(3)若以每件5元、3元、2元的價格分別購進A,B,C型元件各100件,組裝成100套電路系統出售,設每套系統組裝費為20 元.每套系統的售價為150元,但每售出1套不能正常工作的系統,除了退還購買款,還將支付售價的3倍作為賠償金,求生產銷售100套電路系統的最大期望利潤.

6種電路系統正常工作的概率只有下面不同三類:用A,B,C分別表示事件“1號位接A,B,C型元件時,電路系統能正常工作”,則

因為P(A)＞P(B)＞P(C),所以當1號位接入A型元件時,電路系統正常工作的概率最大,最大值為0.828.

(3)電路系統正常工作的概率越大,期望利潤會越高,應把A型元件接入1號位,設每套電路系統的利潤為X,若能正常工作,則X＝150－20－10＝120元;若不能正常工作,則X＝－20－10－450＝－480元,所以X的分布列如表5所示.

表5

E(X)＝120×0.828—480×0.172＝16.8元,故生產100套電路系統的最大期望利潤為100×16.8＝1680元.

(完)