“量感”及其培養

量感的培養

量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。它是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的11個核心素養具體表現之一，屬于“會用數學的眼光觀察現實世界”的素養內涵，是學生核心素養的重要構成要素之一。如何在小學數學課堂教學中從作為具體內容的測量中提煉出量感，目前還處于探索階段。平國強老師與他的教研團隊進行“發展學生量感”專題課堂實證研究，在量感內涵的理解、發展學生量感的一般策略、具身經歷實踐操作、豐富度量經驗積累、單位大小深度體驗等方面做了探索和嘗試。本期特刊發該團隊的部分研究成果，為廣大教師落實《義務教育數學課程標準（2022年版）》提供教學參考。

【摘? ?要】量感主要指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。教學應該從“對事物可測量屬性的直觀感知”和“對事物的大小及關系的直觀感知”兩個維度入手，培養學生的量感。深度理解“幾何”與“量”的概念是量感發展的前提，豐富度量經驗和描述量的大小的經歷、提高合理選擇和運用度量單位解決實際問題的能力是量感培養的重要內涵，加強整體設計、構建結構化的知識體系是量感發展的有力保障。

【關鍵詞】量感；內涵理解；培養策略

2022年4月，教育部頒布了《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》），“量感”就是《2022年版課標》首次提出的核心素養主要表現之一。《2022年版課標》將“量感”作為一個新的核心素養表現提出來是否有必要？現實中學生的量感發展現狀如何？從學生對下面兩組題目（如圖1、圖2）的解答表現可以看出一些端倪。

根據教師日常教學經驗可知，學生完成圖1的題組，一般正確率較高；完成類似圖2題組時，就表現出一定的困難，正確率明顯降低。教師常常將圖2的錯誤歸結為“能力”“想象力”不夠，這樣的歸因比較籠統，不夠精準。實質上，圖1這類問題涉及的是知識與技能，而圖2這類問題涉及的正是“量感”，是學生數學能力、核心素養的重要表現。因此，學生量感素養總體薄弱是客觀事實，《2022年版課標》新增了“量感”作為核心素養的一個主要表現是非常有必要的。

一、量感內涵的理解

《2022年版課標》對量感的闡述是：“量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。知道度量的意義，能夠理解統一度量單位的必要性；會針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量，會在同一度量方法下進行不同單位的換算；初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計度量的結果。建立量感有助于養成用定量的方法認識和解決問題的習慣，是形成抽象能力和應用意識的經驗基礎。”因此，教師可以從“事物的可測量屬性”和“事物的大小關系”兩個維度把握教學，讓學生深入理解量感內涵。

（一）從“事物的可測量屬性”維度理解量感

從對“事物的可測量屬性”的直觀感知維度理解，量感包含以下方面的內涵。

1.量的大小是可以測量的，具有可公度性。事物或幾何形體的長短、面積、體積、質量等都可以用一個公共的度量標準度量。例如，一般情況下，我們總可以找到“一個長度”，用它去度量幾條不同線段的長度且都能量出來，這個長度就是這幾條線段的“公度”。

2.度量需要標準，度量的本質是用標準作單位進行比較，用比較結果描述量的大小。描述量的大小的前提是要對這些量進行測量，因此需要有度量的標準。例如，需要描述一條線段的長短，我們可以選擇一拃的長度、一支鉛筆的長度等作為標準進行度量；需要描述課桌桌面的大小，可以選擇數學書的封面、練習本的封面、文具盒的底面等作為標準進行度量……通過用這樣的標準作單位與被度量物進行比較，我們可以得到關于這個量的描述。例如，這條線段有3拃那么長，課桌的桌面有4個數學書封面那么大……因此，只要選擇一個合適的單位，我們就可以對量進行度量，并根據度量結果描述這個量的大小。

3.僅從對量的度量和大小描述而言，度量單位可以有多種，但為了便于交流和比較，需要有統一的度量單位。長度、面積、體積、質量等常用的量都已形成了一整套相應的公度單位，這就是數學中學習的各種度量單位。例如，有限長度可以用1厘米、1米等標準，有限面積可以用1平方厘米、1平方分米等標準，有限質量可以用1克、1千克等標準作單位進行度量。這些度量單位只是各種單位中的一部分，之所以要重點學習，是因為它們承擔了“常用”和“通用”的功能。顯然，這些對于度量本質的理解，是量感內涵的一個維度，它高于知識記憶層面。

（二）從“事物的大小關系”維度理解量感

從對“事物的大小關系”的直觀感知維度理解，量感應包含以下幾個方面的內涵。

1. 會選擇合適的度量單位進行度量。毫無疑問這是一種能力。學生怎樣才能做到合理選擇？首先要對所度量的量的數學屬性有正確的把握，如要度量的是長度、面積、體積還是其他數學屬性。其次要深刻理解每一種度量單位的意義，并對它們的大小和形狀建立正確的觀念與表象。

2.能利用頭腦中的單位表象、度量經驗和空間想象，合理判斷或估計度量結果。這一過程不應簡單理解為操作性的技能學習，更應關注的是對度量或估計結果的合理性的判斷。量感是一種基于意義、經驗對量的大小的把握能力，而非指向于得出精確結果的程序性知識技能。

3.能基于度量單位的變化，轉化度量結果。這是對不同度量單位的大小及相互關系的把握。它并非知識層面的進率換算，而是基于經驗與意義的判斷。例如，一個盒子的體積有1800立方厘米，如果換成用“立方分米”作為度量單位，度量的結果會是多少？怎么描述？要解決這個問題，需要意義、表象、經驗與想象共同發揮作用。度量結果轉化的過程，是一種能力。

4.初步理解度量誤差及其產生的原因，并能將誤差作為一個因素思考度量的結果。應使學生認識到度量必然存在誤差，度量應秉著嚴謹的態度描述實際結果，并能初步思考誤差產生的原因及改進策略。更重要的是要引導學生在思考度量結果時能將誤差作為一個因素加以關注和利用，并以此調整結果使其更加合理。例如，如果用“1立方分米”去度量某個長方體紙箱的容積，得到以下結果（如圖3），那么長方體的容積大約是多少？解決這一問題需要考慮的因素很多，融合了單位理解、誤差利用、空間想象、合理整合等高水平能力。從這個維度來理解，量感是高于技能操作層面的高水平數學思維活動。

數學中有許多概念與量感相關，如幾何計算、空間觀念、幾何直觀、數感等，這些概念之間是部分相容的，但它們的核心內涵和指向不同。量感指向度量單位的意義理解及對量的大小的感知；幾何計算則指向算法與程序的運用；空間觀念的核心是對空間大小、關系的想象與轉換；而幾何直觀的重點指向分析問題、表征關系的策略與手段。數感與量感則有著更密切的關聯。數感指向對數與運算的意義及大小、結果的感知，數感的建立需要借助對具體的、典型的量的觀察、操作與想象，將抽象的數具體化，以理解數的意義、大小與關系；同樣，量感的培養需要在觀察、度量的基礎上用數來描述、表征度量的結果，使經驗數學化、條理化，以理解量的意義、大小及關系。

二、量感培養的基本策略

量感是一種能力，是核心素養的主要表現，量感的培養重點不在于知識的講解與反復的操練，而在于過程、經驗與感悟。為此，筆者在地市層面專門組織了以量感為主題的專題教學研討活動，活動倡導以下量感培養策略。

1.讓“幾何”與“量”的概念教學指向深度理解。

“圖形與幾何”內容是培養學生量感的重要載體，對幾何形體大小的感知是量感的重要內涵。一方面，教學中要引導學生對“周長”“面積”“體積（容積）”等幾何概念有深刻的理解，把握其數學本質，并能用自己的方式表達與解釋。例如，學生應能自己解釋“什么是物體所占的空間”“可以從哪些要素出發去估計物體所占空間的大小”……這是對“體積”概念核心內涵的理解與把握。另一方面，要引導學生深度建構幾何形體及度量單位的意義與體系，形成正確的表象與經驗。例如，學生應清晰地知道面積單位“1平方厘米”“1平方分米”……的形狀和具體大小，甚至能憑表象把它們畫出來，知道日常生活中有哪些熟悉的物體表面與這些面積單位大小類似，這些應成為學生有效的認知經驗。

質量單位“克”“千克”的建立，不僅要基于觀察，還要基于體驗。學生要有1克、1千克質量的掂的感受，并知道生活中哪些物品的質量是1克、500克或1千克，能夠把“1克”“1千克”與幾粒黃豆、2瓶礦泉水的質量聯系起來，在體驗中形成經驗。構建良好的概念是量感發展的前提，否則一切都將是無本之木。

2. 重視度量單位的學習過程，豐富用度量結果描述量的大小的經驗，讓學生經歷從“自主選擇單位度量”到“使用統一單位度量”的過程。

度量單位的學習，教師要重視組織豐富的度量活動，促進學生對數學度量及度量單位的認識與理解。教學時要創設一個大的學習背景，使學生認識到，要知道一個幾何形體的大小，就需要用一個合適的單位去度量，而單位可以自主選擇確定，度量的結果就是這個量的大小。這樣的活動能讓學生擁有廣泛的數學活動經驗。要避免忽視以上背景而直接教學教材的內容，導致學生“只知其然，而不知其所以然”。例如，在人教版教材三年級下冊“認識面積”教學中，學生應體會多樣的度量面積大小的方法（如圖4）。這樣的活動不僅讓學生擁有了豐富的面積度量和面積大小描述的經驗，還讓他們對面積單位有了更豐富的認識。

又如，在人教版教材五年級下冊“體積單位”教學中，首先，教師課件出示需要度量體積的長方體以及可選擇的度量標準（圓柱、圓錐、正方體、長方體、球），學生自主選擇標準，小組合作度量（如圖5）。匯報交流以后形成共識：正方體和長方體作為度量標準比較合適，而正方體的適應性最好。于是明確常用的體積單位就是一個一個的正方體，它們分別是1立方厘米、1立方分米和1立方米。然后，進入體積單位的探究階段，以“1立方分米”為研究重點，完成學習單并交流討論（如圖6），深度建構1立方分米的數學模型。接著，學生進行類比遷移學習，自主選擇完成“1立方厘米”和“1立方米”的研究，并匯報交流（如圖7），完成統一體積單位體系的建構。最后，學生應用體積單位解決問題，思考選擇什么度量單位是合適的（如圖8）。

以上的學習活動，很典型地讓學生經歷了“自主選擇單位度量—建構統一單位體系—運用統一單位度量”三個階段，豐富了學生的度量經驗，讓他們感受到了統一單位的必要性，深化了對度量單位意義的理解。

度量單位的學習，如果不是基于度量活動和過程經驗，而是把它簡單看成一個概念進行教學，那么，學生就不可能建立初步的直覺，更不會有量感的發展。

3. 教學要重視應用度量單位解決問題，讓學生在應用中深化對度量單位的把握與理解。

學生量感的發展與他的數學活動經驗密切相關，這種經驗來自實踐探究和問題解決的過程。因此，度量單位的學習應該包含單位應用和問題解決的全過程。教學時要做好兩點。

第一，設計有利于學生實踐探究和應用單位解決問題的學習活動，課堂應是以學習活動構成的模塊結構，而非以知識串聯的線性結構。

例如，人教版教材三年級下冊“面積單位”的學習過程，分成三個基本活動。活動1：①比較兩幅圖畫的大小；②自主確定標準度量這兩幅畫的大小；③明確這些標準都是面積單位。活動2：①自主學習1平方厘米、1平方分米、1平方米三個面積單位；②匯報交流學習結果。活動3：①判斷三個平面圖形面積；②自主選擇今天學的三個面積單位中的一個去度量活動1中的圖畫，想想你會選什么以及為什么這樣選擇；③用1平方米去量圖畫，可以得到什么結果？根據這個結果你可以想到什么？為什么？整個學習活動是由三個活動板塊構成的，每一個板塊都是一個綜合性的學習活動，三個板塊反映出學習過程的一個顯著特征——問題解決。特別是活動2，教師做了精心巧妙的設計，先要求學生學習完三個面積單位以后在紙上畫出這三個面積單位，結果遭到學生的質疑，認為無法在紙上畫出1平方米。教師再順勢做調整：（1）在作業紙上畫出面積單位1平方厘米、1平方分米；（2）借助身邊的物體創造1平方米；（3）匯報時介紹1平方米作品。這樣一來，這個板塊就不是一個簡單的學習活動，而是充滿了思維的碰撞和創造，設計可謂別具匠心。

再如，人教版教材二年級下冊“克與千克”的學習過程中，教師先讓學生“使用秤，發現1克”（如圖9），再要求學生“少用秤，尋找100克，建構1000克”（如圖10），最后要求學生“不用秤，估物品質量”（如圖11）。顯然，在這樣的學習過程中，學生對克與千克有較好的體驗與感悟，能形成相應的量感。

第二，要提供基于學生經驗的有效學習材料。例如，在“克與千克”的教學中，教師為學生呈現了豐富的學習材料，這些材料既典型、好操作，又是學生十分熟悉的，使他們可以將數學知識與自己的生活經驗相關聯，促進量感發展。當然，根據不同的教學內容，在材料的設計上要充分發揮學生的主動性，讓學生創造材料解決問題。例如，在“面積單位”的教學中，教師要求學生“用身邊的物體創造1平方米”而不是直接提供1平方米，結果在匯報時精彩紛呈，有的小組用“六張課桌”拼起來創造1平方米，有的小組用跳繩在地上圍成一個區域創造1平方米，還有的小組用書包在地上擺成1平方米……毫無疑問，學生用自己創造的材料建構度量單位，更有利于將知識內化為經驗，促進量感發展。

4. 倡導整體設計，加強知識溝通，形成結構化的度量意義理解和應用能力。

整體設計的意義在于凸顯對數學能力的關注，整體設計的目標指向核心素養，整體設計的路徑促進知識的結構化。

從微觀層面看，整體設計要重視一節課中學習活動的整體性和綜合性，學習活動要給學生自主思考的空間。教學時，教師要避免因僅僅著眼于知識點而將環節切分過細，造成每個環節任務單一，導致學生探索、思考空間小。

從宏觀層面看，整體設計，促進知識結構化的路徑有三條。

第一，橫向結構化。讓學生通過主題活動，甚至跨學科的項目化學習，在運用中體會知識的關聯，感受不同類度量單位之間的內在關系。如可以用水、黃豆等為載體，引導學生以主題活動的形式研究體積（容積）單位“1立方米”“1立方分米”……與質量單位“1千克”“1克”……之間的關聯，深化理解。《2022年版課標》已將部分量及度量單位的學習劃入綜合與實踐領域，采用主題活動的形式進行教學，正是對這種方向的回應。

第二，縱向“自下而上”結構化。引導學生用先前的量感經驗去類比、同化新的度量單位的學習，這種同化指向度量意義、度量經驗及結構關系，可以讓知識更好地融為一體。如果學生在三、四年級已經很好地理解了面積單位的意義、面積的度量方法以及面積大小的描述方法，很好地理解了角的意義、角的度量方法、量角器的意義及角的大小的描述方法，那么到五年級學習體積單位時，就可以提出一個大任務，“根據面積度量、角的度量的經驗，想知道一個物體的體積是多少，可以怎么辦？”促進學生實現遷移性學習。

第三，縱向“自上而下”結構化。這是先把握基本原理或一般概念，然后在基本原理或一般概念統攝下學習具體知識的方法。這種課堂教學方式一般在初、高中采用，但在小學階段也有實施的可能。目前倡導的單元整合教學事實上都是由一個處于上位的基本原理或觀念在統攝的，否則整合教學便失去了靈魂，量感內容的整體教學也應如此。

另外，從數學史的角度讓學生了解度量的昨天和今天，了解數學史上發生過的典型事件和出現過的典型人物，從歷史和科學的角度理解“度量標準”的本質和“度量標準統一”的意義，對深化學生的量化思維，促進其數學素養的發展都有重要意義。