高校強基計劃校測筆試中的數列問題

北京市十一學校(100039) 唐浩哲

強基計劃即高校開展的基礎學科招生計劃,目標是選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生,選拔依據主要為考生高考成績和高校的校測成績.從2020 年強基計劃開始實施,到2022 年7 月新一輪強基校測筆試題的新鮮出爐,這3 年中,北大清華各高校試題的題型和難度都比較穩定.因此,研究高校校測筆試試題,對于高中生的培優和強基備考,有著重要意義.

數列問題貫穿于中學數學與高等數學,且難度適中,因此是高校強基校測筆試的熱門考點之一.強基校測的數列問題不僅覆蓋了高考范圍內的等差、等比基本數列以及前項和等內容,更是指向對學生知識和能力要求較高的一般的遞推數列求通項;數列問題主要涉及待定系數法、配湊法、特征方程法、換元法、消元法、放縮法、升角標相減法、數學歸納法等方法,又與函數、不等式、數論等知識板塊相鏈接,內容豐富,非常值得梳理和研究.

例1(2020 北大強基校測) 滿足對任意n≥1 都有an+1=2n-3an,且嚴格遞增的數列{an}n≥1的個數為()

A.0 B.1 C.無數個 D.前三個答案都不對

評析本題是已知遞推關系求通項的常見題型.若改變解題策略,直接考慮數列的單調性,由an+2=2n+1-3an+1和an+1=2n-3an相減可得an+2-an+1=2n-3(an+1-an),據此求出數列{an+1-an}的通項公式后,也可以得到答案.

例2(2020 北大強基校測)已知數列{an}滿足a1=1,a2=9,且對任意n≥1 都有an+2=4an+1-3an-20,則數列前n項和Sn的最大值為()

A.28 B.35 C.47 D.前三個答案都不對

解答由遞推關系an+2=4an+1-3an -20 可配出an+2-an+1-10=3(an+1-an -10),從而an+1-an -10=3n-1(a2-a1-10)=-2×3n-1,所以an+1-an=10-2×3n-1,可知當n≥3 時,an+1-an ＜0,即a3＞a4＞a5＞···,又注意到a1=1,a2=9,a3=13,a4=5,所以當n≥5 時,an ＜0,因此Sn的最大值為S4=28,選A.

評析求前n項和的最大值,實際只需要明確每一項的符號即可.本題的解題過程始終關注了數列的單調性,與例1評析中的思路類似.若想去求出通項公式,反而會將問題復雜化.

例3(2020 北大強基校測)已知數列{an}滿足:a1=1,a2=4,且對任意的n≥2 有1an+1=2n-1,則a2020個位數字是()

A.8 B.4 C.2 D.前三個答案都不對

解答依題意,

評析本題的難點在于:根據已知遞推關系的形式,先升角標相減消去指數項,再整理變形,最后得到該數列的一個二階線性遞推關系.

例4(2020 清華強基校測)若數列A:a0,a1,a2,···,a20滿足a0=0,|ai|=|ai-1+1|(i=1,2,···,20),則()

A.存在數列A使|a0+a1+a2+···+a20|=0

B.存在數列A使|a0+a1+a2+···+a20|=2

C.存在數列A使|a0+a1+a2+···+a20|=10

D.存在數列A使|a0+a1+a2+···+a20|=12

解答對于選項B,構造數列0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,1,2,3,4 即可;對于選項C,構造數列0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,0 即可;因為a2k-1+1=±a2k,所以a2k-1+a2k+1=0 或2a2k,注意到a2k一定為偶數,因此a2k-1+a2k+1≡0(mod4),于是a0+a1+a2+···+a20≡2(mod4),排除選項AD,所以答案為BC.

評析以上的解答過程實際上也證明了該擺動數列的奇偶子列都是單調數列,我們還可以據此求出該數列的極限為

例8(2021 清華強基校測)一個有限項的等差數列,公差為4,且它的首項的平方與其余所有項的和不超過100,則該數列的項數可以是()

A.7 B.8 C.9 D.10

評析強基試題中也會涉及中學大綱范圍內的重要內容和方法,本題就用到了解決數列問題的基本量法以及求解二次函數存在性或恒成立問題的判別式法.

評析本題的第1 小問與例12 類似,都是根據數列通項的形式逆向使用特征方程法;第2 小問與例3 的后半部分類似,都用到了線性遞推關系生成的一定是模周期數列這一性質.對于高校強基校測中數列問題的這些高頻考點,我們一定要引起重視.