用三面角模型巧解2022 年高考立體幾何題

華南師范大學附屬中學(510630) 周建鋒

在立體幾何中,求空間角是一個難點,特別是線面所成的角和二面角,讓許多中學生頭痛.究其原因,空間角由于是一個三維結構,而展示給我們的是畫在一個平面上的圖形,這就需要我們充分發揮空間想象能力,其難度無疑上升了一個層次.空間向量的引入雖然在很大程度上解決了問題,但它直接變成了一個演算模式,違背了立體幾何培養學生空間想象能力的初衷.如何既能保證鍛煉學生的空間想象,又能幫助他們減輕復雜程度? 立體幾何問題解決的基本策略就是空間問題轉化為平面問題、復雜問題轉化為簡單問題.

三面角是一個經典模型,文[1-4]及其它一些文章對三面角的幾個定理均有論證,這里不再贅述.文[1]對二面角的定理作了較為全面的論證,并對線面角作了進一步研究,文[2-3]主要論述了角度大小比較或變化規律,文[4]主要運用了三面角余弦定理求二面角.筆者對三面角模型作了進一步的探索,并對三面角余弦定理作了進一步的拓展,同時把公式的格式做了優化.通過這兩個定理及推論,我們發現,根據計算的難易程度,面角、線面角、二面角在適當的時候可以互相轉化,以達到空間問題轉化為平面問題,復雜問題轉化為簡單問題的目的.

一、三面角模型

如圖1,由空間一點O引出的不共面的三條射線OA,OB,OC,可構成三個面角(∠AOB,∠BOC,∠COA),三個線面角(OA與平面BOC所成的角,OB與平面COA所成的角,OC與平面AOB所成的角),三個二面角(B-OA-C,C-OB-A,A-OC-B),我們稱之為三面角模型O-ABC.

圖1

為敘述方面,不妨記∠BOC,∠COA,∠AOB分別為α1,α2,α3,OA與平面BOC所成的角為β1,OB與平面COA所成的角為β2,OC與平面AOB所成的角為β3,三個二面角B-OA-C,C -OB-A,A-OC -B分別為γ1,γ2,γ3.

二、利用三面角模型求解高考題

利用三面角模型,我們在求解立體幾何問題時有如下轉化策略:

1.線面角的轉化

(1)通過定理2,可以把線面角的計算轉化為一個面角和一個二面角的計算(存在兩個方向可以轉化),我們可以選擇一個易于計算的二面角.

(2)通過定理1,還可以把其中的二面角進一步轉化為面角的計算,這樣線面角計算也可以轉化為三個面角的計算.

2.二面角的轉化

(1)通過定理1,可以把一個二面角的計算完全轉化為面角的計算.

(2)當存在兩個平面垂直時,通過定理1 推論2,還可以把二面角的計算進一步簡化為兩個面角的計算.

(3)通過三面角正弦定理,可以把二面角的計算轉化為另一個二面角加兩個面角的計算,我們可以選擇一個易于計算的二面角.

通過這樣的轉化,計算及作輔助線的難度降低,但仍然需要對空間的線面關系有清晰的認識,同樣能達到鍛煉空間想象能力的目的.

在具體運用兩個定理及推論時,往往有更加靈活的轉化方式.下面以2022 年高考題為例談談兩個定理及推論在求空間角中的應用.

例1(2022 年高考浙江卷) 如圖2,已知正三棱柱ABC -A1B1C1,AC=AA1,E,F分別是棱BC,A1C1上的點.記EF與AA1所成的角為α,EF與平面ABC所成的角為β,二面角F -BC-A的平面角為γ,則()A.α≤β≤γB.β≤α≤γC.β≤γ≤αD.α≤γ≤β

圖2

分析不妨設正三棱柱棱長為1.如圖3,過點F作FG//AA1,交AC于點G,連結GE,則∠EFG=α,∠FEG=β.則在RtΔEFG中,易知FG=1,GE≤1,所以α≤β.在三面角模型E-BFG中,sinβ=sin ∠FEBsinγ≤sinγ,易知γ為銳角,則β≤γ.

圖3

綜上得:α≤β≤γ,應選A.

例2(2022 年高考甲卷理科) 如圖4,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=

圖4

(1)證明:BD⊥PA;

(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

(1)略.

(2) 分析1如圖5,在三面角模型P -ABD中,所求線面角有兩條轉化路徑:∠DPA及二面角D -PA-B,∠DPB及二面角D-PB-A.相比之下,路徑1 更易于計算.設PD與平面PAB所成的角為β,二面角D-PA-B大小為γ,由定理2,sinβ=sin ∠DPAsinγ,由已知,PD⊥平面ABCD,則RtΔPAD中,sin ∠DPA=.

圖5

(Ⅱ) 再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.條件①:AB⊥MN;條件②:BM=MN.

注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分.

圖6

(Ⅰ)略.

(Ⅱ)分析只看條件①(條件②同理),則AB⊥MN.在三面角模型B-AMN中,考慮將線面角轉化為面角∠ABN和二面角A-BN -M的計算,而這兩個角均易于計算.設直線AB與平面BMN所成角為β,二面角A-BN -M大小為γ,則sinβ=sin ∠ABNsinγ.如圖7,取AB中點D,連結MD,ND,則MD//BB1.

圖7

例4 (2022 年高考全國Ⅰ卷) 如圖8,直三棱柱ABC -A1B1C1的體積為4,ΔA1BC的面積為

圖8

(1) 求A到平面A1BC的距離;

(2)設D為A1C的中點,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.

(1)略.

(2) 分析1 由三面角模型B -ACD,設二面角A-BD-C大小為γ,則由定理1 得到

例5(2022 高考全國ⅠⅠ卷) 如圖9,PO是三棱錐P -ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中點.

圖9

(1)求證:OE//平面PAC;

(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

圖10

(1)略.

(2)分析1設二面角C -AE-B大小為γ,在三面角模型A-BCE中,由定理1,

分析2設二面角C -AE -B大小為γ1,二面角E-AC-B的大小為γ2,由定理2 推論,,而γ2相比γ1更易于計算.由前所得:∠CAB=90°,sin ∠EAB=

如圖11,過F向AC作垂線,垂足為G,連結GE,易知∠EGF=γ2.可算得GF=,GE=sinγ2=,所以sinγ1=

圖11

通過對2022 年全國高考立體幾何題的分析,可以看出,在求解線面角或二面角時,利用三面角模型,我們有更加靈活的轉化途徑,兩個定理及推論也可以互相結合,構造出更易求解的解題途徑.