2022 年高考浙江卷解析幾何題的定性分析與變式探究

湖北省恩施州教育科學研究院(445000) 周威

湖南省長沙市雷鋒學校(410217) 童繼稀 鄧捷敏

一、試題呈現

(1) 求點P到橢圓上點的距離的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

二、定性分析

受性質1 與性質2 的啟發,當橢圓為一般情形時,第(2)問中|CD|的最小值是否總是存在呢? 雖然這個最小值的表達形式可能不一定簡潔,但從定性的角度考慮卻總是存在的!結合信息技術,經過探究有如下一般結論:

從(**)式來看,可知|CD|的表達式中被開方式是關于的二次項系數為正數的二次式;結合(*)式來看,被開方式恒大于0,從而|CD|有最小值.

我們自然會思考,結論1 在雙曲線與拋物線中的情形是怎樣的? 因雙曲線情形異常復雜,本文不再討論,以下將結論拓展到拋物線.

性質3已知拋物線y2=2px(p ＞0).設A,B是拋物線上異于P(0,0)的兩點,且點Q(x0,0)在線段AB上,其中x0＞0,直線PA,PB的斜率之積為定值.

結論2已知拋物線y2=2px(p ＞0).設A,B是拋物線上異于P(0,0)的兩點,且點Q(x0,0)在線段AB上,其中x0＞0,直線PA,PB分別交直線y=k0x+m(k0/=0,m/=0)于C,D兩點,則|CD|有最小值.

三、變式探究

(1)證明直線PA,AB,PB的斜率成等差數列;

設計意圖例2 依然是例1 中的橢圓方程,第(1) 問是常規的定值問題,體現的是性質2 的結論,簡單考查了直線代入橢圓方程的一般計算步驟,同時也為第(2) 問計算奠定基礎,減少運算量.根據推論中的計算過程,可求得k=例3 中改變了橢圓的方程與直線方程,命題立意與前文的探究結論保持一致,若設直線AB:y=kx,那么且

例4(2013 年浙江文科卷) 已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1).

(1)求拋物線C的方程;

(2)過F作直線交拋物線于A、B兩點.若直線OA、OB分別交直線l:y=x-2 于M、N兩點,求|MN|的最小值.

說明拋物線C的方程為x2=4y;|MN|的最小值為.該題是結論2 中的參數特殊化,與例1 是一對不同曲線背景的姊妹題.

4 結語

基于核心素養的考試命題與教師專業素養的提升都離不開對高考試題的探究.從探究高考試題的結論出發進行命題與解題教學,既能把握命題邏輯的正確性,也能調整計算結果的簡潔性,還能保證解題方法的可遷移性,是實現“遷移數學知識,類比解題方法,幫助學生從具體的數學情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系,積累從具體到抽象再到具體活動經驗”的有效途徑,更能從數學的本質出發,呈現知識的生成過程,真正意義上指導教學與復習備考.