關注錯誤資源，還原生態課堂
——一道函數零點習題的糾錯教學

寧夏彭陽縣第三中學 (756599) 韓連嵩

建構主義認為，學習就是學生認知結構變化的過程，是學生主動建構的過程，學生在已有認知結構的基礎上，經過認知沖突、同伴討論、思考辨析的學習才是真實的學習.因此，課堂教學中教師要善于關注錯誤資源，還原生本課堂，要留給學生足夠的思考辨析時間和充分探討的空間，使他們在知錯、議錯、糾錯中達到觸類旁通，促進深度學習.

一、探究的緣由：殊途不同歸

題目(2021年貴州適應性測試)已知函數f(x)=x+1-xex.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)判斷f(x)是否有零點，若有，求出零點的個數；若沒有，請說明理由.

這是筆者復習函數零點時，從復習材料中選取的一道習題，對于第⑴小題學生都能輕松的解決，得到的切線方程為y=1，過程略.但對第⑵小題，學生經過嘗試給出了如下的解法：

圖1

學生甲提出了疑義，學生乙又說參考答案也是這樣解的，全班同學嘩然，不知所措，筆者也被這節外生枝的舉動，迎頭一棒，心想難道是題目錯誤還是參考答案錯誤，但靜下心來仔細琢磨，終于發現了問題的癥結，那就是學生對研究函數問題定義域優先的原則理解不透徹.何不借此機會將問題拋給學生，讓學生進行交流探究呢？于是，筆者改變了原有的教學預設，把課堂還給學生，讓位于學生，不曾想卻得到了滿意的收獲.

二、課堂探究：百花齊爭艷

1.議錯糾錯，不甘示弱

師：大家對學生甲的解答(參考答案的解答)有什么看法？

(問題拋出后，同學們討論很激烈，原生態的課堂氣氛非常濃厚，有部分同學認為甲的解答過程思路是正確的，也有部分同學認為甲的解答過程有問題，但一時看不出錯在什么地方？當學生思維受阻時，教師適時誘導，啟發學生觀察思考)

追問：你能否借助于圖來檢驗甲同學解法思路的正確性？

師：很好.生1通過觀察，利用函數零點存在性判定定理檢驗了甲同學的解答有問題，還有其它意見嗎？

圖2

(同學們對生1、生2的方法表示贊同，平時細心的生突然舉手示意)

生3：生2畫出的圖象不夠準確規范，畫函數圖象應該考慮區間端點處函數值的變化趨勢.當x→-∞時，g(x)→-1，畫出函數g(x)的圖象應該是圖3所示.

圖3

(同學們表現都很積極，能從不同的角度發現甲同學解答出現的紕漏，特別是生3給我們指出畫函數圖象時，要考慮周全，關注一些間斷點和區間端點處函數值的變化趨勢，才能畫出準確規范的圖象,助于問題的分析與解決)

師：通過大家的交流討論，認為甲同學的解答(參考答案)有紕漏，那么你能指出指出其中的問題并進行修正嗎？

(問題拋出后，同學們爭先恐后，搶著舉手示意，課堂氣氛格外活躍)

師：解決函數問題時，我們常常用導數來研究函數的性質，定義域優先是我們首先要考慮的.圖象的直觀性可以幫助我們分析思考問題，畫函數圖象時，一定要關注間斷點，弄清定義區間端點處函數值的變化趨勢，畫出比較準確規范的圖象.

2.解法探究，百花齊放

師：上面的解法都是將函數f(x)的零點問題等價轉化為方程f(x)=0的根的問題，然后給方程兩邊同除以x后構造函數來解決的，那么，能否不用除以x，直接從函數的解析式入手解決問題呢？請大家思考嘗試.

(問題拋出后，同學們思考交流、嘗試探討，稍等片刻，便有同學登臺亮相，相繼展示其解法)

生4：f′(x)=1-(x+1)ex，設g(x)=f′(x)，于是g′(x)=-(x+2)ex，令g′(x)=0得x=-2.當x∈(-∞,-2)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；當x∈(-2,+∞)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減，所以g(x)在x=-2處有極大值，且極大值g(-2)=1+e-2>0.又當x→-∞時，g(x)→1，且g(0)=0.因此當x∈(-∞,0)時，g(x)=f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；當x∈(0,+∞)時，g(x)=f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，且當x→-∞時，f(x)→-∞，f(0)=1，當x→+∞，f(x)→-∞.所以函數f(x)有兩個零點.

生5：函數f(x)的零點?f(x)=0?xex-x=1?g(x)=xex-x與h(x)=1圖象交點.研究函數g(x)的性質同生4，其圖象如圖4所示，由圖象可知，函數f(x)有兩個零點.

圖4

生6：函數f(x)的零點?方程xex=x+1的根?函數g(x)=xex與h(x)=x+1圖象的交點.因g′(x)=(x+1)ex，令g′(x)=0得x=-1.當x∈(-∞,-1)時，g′(x)<0，函數g(x)單調遞減；當x∈(-1,+∞)時，g′(x)>0，函數g(x)單調遞增，且極小值f(-1)=-e-1<0，當x→-∞時，g(x)→0，在同一坐標系中畫函數g(x)與h(x)的圖象，如圖5所示.由圖象可知，函數f(x)有兩個零點.

圖5

師：大家思維敏捷、建言獻策，真可謂百花爭艷滿堂香.本題開始的解法和生6的解法可以說是簡潔明了，但老師心中有個疑點：這種解法是否具有普適性？請大家用這種方法來研究下面問題.

(大家表示贊同)

師：很棒！你幫老師解決了心中的疑點，同時也提醒大家在研究函數零點問題時，轉化成兩圖象交點的策略要因題而論.

3.變式探究，思維升華

師：請同學們繼續研究下面的問題.

問題1 討論函數f(x)=ax+1-xex的零點個數.

(學生練習，教師巡回指導，約3分鐘，絕大部分學生都已正確的完成解答，指派代表展示)

圖6

①當a≤0時，h′(x)>0，函數h(x)單調遞增，則函數h(x)不可能由兩個不同的零點；

師：兩位同學給大家分別展示了參數分離法和分類討論法的解題策略，思路清晰、方法得當.參數分離法和分類討論法是求解含參數零點問題的主要方法，希望同學們在平時的學習中加以理解和體會.

三、教學感悟

1.數學教學要重視學生基礎性知識

重視基礎知識教學，是糾錯教學的前提.學生對基礎知識理解不到位，會導致思維方法不正確，造成解題失誤，甚至會出現錯誤.只有夯實基礎知識、理解基本概念、掌握基本方法，才能降低失誤，克服“懂而不會”，“ 會而出錯”的現象.數學教學中，教師應該重視學生基礎性知識，幫助學生分析基本概念的形成原理，通過長期的基礎性知識教學，就有可能使學生少出錯誤或不出錯誤.

2.還原生態課堂，重視學生提出的問題

傳統的數學課堂教學教師講授多、學生體驗少、缺乏課堂生機，不把時間還給學生，生怕完成不了課堂任務；不愿意把思考的機會讓給學生，擔心學生的思維出“差錯”，追問出“岔道”，影響原本預設好的教學軌跡，殊不知學生提出的問題比教師提出的問題更具有針對性，只有學生提出的問題才是學生學習的原發動力；把時間還給學生，把機會讓給學生，因為教學的根本目的是發展學生.教師要領悟新課改精神，處處為學生著想，讓位于學生，讓學生成為課堂的真正主人，還原生態課堂.只有這樣，教學才能“放馬于原野之中，牽其于晚霞之時”的瀟灑境界，演繹出精彩課堂.

3.善待錯誤資源，重視糾錯教學

教學的重要任務之一就是釋疑解惑.學生所犯的錯誤往往都是我們課堂教學的缺失，教師要善待錯誤.學生的錯誤資源是糾錯教學的一手材料，學生有失誤甚至犯錯誤，就說明他們有疑問、有困惑.疑問不解，困惑不除，不管教師如何引導他們學習正確的方法思路，學生終究還會出錯.課堂教學中只要教師利用好這些錯誤資源，幫助他們分析錯誤緣由，形成知識整體觀的認知，促進深度理解，才能把他們引入到正確的思路上，合理的方法上來，給學生留下深刻的印象，才能避免以后不會出現類似的錯誤或失誤.