對(duì)一道經(jīng)典試題的再研究

江蘇省連云港市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 (222003) 陳 洋

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》要求“提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.”“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).”而解題教學(xué)又是提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的載體，因此，在平常的教學(xué)中，我們要善于發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，通過(guò)有效的教學(xué)手段，讓深度學(xué)習(xí)發(fā)生，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

1 習(xí)題呈現(xiàn)

題目過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線l交x軸，y軸的正半軸于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).求△AOB面積S取最小值時(shí)直線l的方程.

這是筆者在開學(xué)初新授蘇教版《選擇性必修一》(2019)直線方程章節(jié)時(shí)選的一道經(jīng)典題目，這道題題干簡(jiǎn)潔、內(nèi)涵豐富，解法頗多，直線搭臺(tái)，不等式唱戲，是難得一道培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的好題.

2 解法探究

點(diǎn)評(píng)：從直線方程的點(diǎn)斜式入手，求出與x軸，y軸交點(diǎn)，代入面積公式，再利用基本不等式，這里要注意“一正，二定，三相等”的條件.

點(diǎn)評(píng)：直接從截距入手，利用基本不等式求解，運(yùn)用基本不等式時(shí)，一定要注意成立條件.

點(diǎn)評(píng)：將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，即消元，它是處理二元變量問題的基本方法，再通過(guò)添項(xiàng)，拆項(xiàng)構(gòu)造基本不等式進(jìn)行求解.

點(diǎn)評(píng)：用函數(shù)方程思想，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用根的判別式求解，注意△≥0只是保證方程有大于2的根的必要條件，要對(duì)S=4時(shí)，實(shí)數(shù)a是否大于2進(jìn)行檢驗(yàn).

點(diǎn)評(píng)：由“1”想到三角代換，注意對(duì)參變量角θ的范圍限制，再利用基本不等式求解.

點(diǎn)評(píng)：巧妙地構(gòu)造定比，利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合基本不等式求解.

圖1

點(diǎn)評(píng)：引入“角參數(shù)”，利用解三角形知識(shí)，構(gòu)造基本不等式求解.

點(diǎn)評(píng)：將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示，即消元，它是處理二元變量問題的基本方法，再利用導(dǎo)數(shù)求最值.

3 變式探究

變式(1)求過(guò)點(diǎn)P(2，1)且在兩正半軸上的截距之和最小的直線方程；

(3)求過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與兩坐標(biāo)軸圍成一等腰直角三角形的直線l方程;

(5)過(guò)點(diǎn)P(6，4)作直線l交直線y=2x于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，交x軸正項(xiàng)于點(diǎn)B，求△AOB面積最小值時(shí)l的方程；

4 結(jié)語(yǔ)

在上述解題中，不同層次的學(xué)生都能獲得不同程度的知識(shí)構(gòu)建機(jī)會(huì)，讓他們感受到數(shù)學(xué)活動(dòng)的快

樂和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)了對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的欲望.縱觀上述解法，有必要對(duì)其進(jìn)行比較、評(píng)價(jià)、篩選，甄別出最優(yōu)的解法，或提出這些解法中易錯(cuò)點(diǎn)、注意點(diǎn)，或提煉出問題探索中發(fā)現(xiàn)的有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).課堂上數(shù)學(xué)題并不在于多，而在于充分挖掘每一道題的內(nèi)涵與外延，使每一道題的功能達(dá)到最大化，對(duì)在課堂中的數(shù)學(xué)問題，不是簡(jiǎn)單地給學(xué)生講懂，而要講變化(式)、講拓展、講思辨(方法)，使學(xué)生以不變應(yīng)萬(wàn)變，只有這樣，才達(dá)到“授之以漁”的目的.