例談數形結合在求解三角形最值問題中的妙用

安徽省巢湖市第四中學 (238000) 車承梅

解三角形中經常會出現求最值或范圍類的問題，此類問題有時難度相對較大，有一定的運算量，但是我們可以試著從幾何圖形的直觀性入手，借助于平面幾何的知識，將代數問題轉化為幾何問題去解決，這樣可以大大減少計算量，從而達到事半功倍的效果.下面將通過幾個實例去探究數形結合在求解三角形的最值(或范圍)問題中的妙用.

例1 △ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(sinA-sinC)2=sin2B-sinAsinC，b=3，則△ABC的面積的最大值為.

圖1

評注：此題的條件屬于邊角對應型的，于是聯想到圓的性質，即同一條弧所對的圓周角相等，這樣就知道了點B的活動范圍，從而使問題迎刃而解.

圖2

由條件可知，點A在優弧BC上運動(不與B,C重合)，當AB⊥BC時，△ABC為直角三角形(圖中為△A1BC)，此時b最大，c最小，且b=4，c=2，所以b-c=2；當AC⊥BC時，△ABC也為直角三角形(圖中為△A2BC)，此時b最小，c最大，且b=2，c=4，所以b-c=-2，當點A在點A1與點A2之間時，△ABC為銳角三角形，所以b-c∈(-2,2).

評注：本例與實例1相似，條件都屬于邊角對應型，此類問題都可以借助于三角形的外接圓來解決.

圖3

評注：此題為邊角不對應型，根據條件找到點C的活動范圍，從而觀察出使△ABC為銳角三角形的位置.

例4 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a+b=8，2sin(A+B)=sinA+sinB，則△ABC面積的取值范圍為.

圖4

評注：焦點三角形是橢圓中的一個重要三角形，有很多性質可以利用，而本題通過a+b=8聯想到橢圓的定義，從而利用焦點三角形的性質輕松的解決了問題，可謂“妙極”.

圖5

評注：此題利用中位線的性質，將△ABC的面積轉化為△BDE的面積，使之成為與實例1的相同的情形.其實，本題還可以進行擴展，當點D在線段AC上任意分點位置，都可以作平行線，從而利用相似性轉化為實例1的情形去解決，這也是我們常說的“解一題而通一類”.