2022年新高考卷解三角形試題的多解與拓展*

廣東省中山市實驗中學(xué) (528404) 楊沛娟 廣東省中山市濠頭中學(xué) (528437) 張 宇

1.試題呈現(xiàn)

2.解法分析

3.解法探究

3.1 第(1)題解法

評注：此解法用到了誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和公式，思路清晰，解法自然.

評注：此法將已知條件轉(zhuǎn)化為兩條直線的斜率問題，數(shù)形結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部各版塊知識的一致性，能較好地考查到學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

評注：此法將已知條件轉(zhuǎn)化為兩角和與差的正弦及余弦，同時巧妙地對角進行轉(zhuǎn)化，過程簡潔，易于理解和掌握.

評注：此法運用同構(gòu)思想，通過構(gòu)造函數(shù)得到兩角的關(guān)系，簡潔明快.

3.2 第(2)問解法

評注：此法由正弦定理化邊為角，通過角的換元代換，將三個變元轉(zhuǎn)化成一個變元，然后運用基本不等式得出最值，思路清晰，易于理解，需注意的是取等的條件.

評注：此法運用正弦定理，再運用降冪公式，通過換元將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后用函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

評注：此法將已知條件進行轉(zhuǎn)化，然后化弦為切，運用基本不等式使問題得到解決.

評注：對于含有二次式的分式形式的最值問題，用判別式法是一種比較常見的方法.

評注：此法本質(zhì)上與解法3是一樣的.也可以由判別式法求得最值.

評注：解法6和解法1本質(zhì)上是一致的，都是通過轉(zhuǎn)化，然后直接用基本不等式求得問題的結(jié)論.

4 試題拓展

以上分別列舉求解第(1)問和第(2)問的6種常見的方法，由于第(1)小問和第(2)小問相對獨立，因此，在理論上完成此題的解法很多.限于篇幅，不再例舉，留給讀者作為練習(xí).

經(jīng)過進一步的分析探究可知，此題還可以進行如下的拓展.

5 教學(xué)建議

解三角形是近年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的試題，這部分內(nèi)容主要涉及到正弦定理，余弦定理，面積公式及射影定理等.因此教師在進行這類問題的教學(xué)或復(fù)習(xí)時，要加強基礎(chǔ)知識方面的練習(xí)，基礎(chǔ)知識扎實了，解決此類問題的時候，就能盡可能地避免解題過程中出現(xiàn)多解、錯解或漏解的情況.