建模：激活數學核心素養新動能*

江蘇省贛榆高級中學 (222100) 王余娟 江蘇省連云港市錦屏高級中學 (222021) 殷長征 江蘇省連云港市城頭高級中學 (222131) 王 飛

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》確定的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六個數學學科核心素養，集中體現了數學課程目標，具有思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀等數學基本特征，是一個相對獨立又相互交融的有機整體.其中，數學建模是數學核心素養中極為重要的一項內容，是對現實世界中的實際問題進行提煉、抽象為數學模型，求出數學模型的解，驗證數學模型的合理性，并用數學模型提供的結論再來解釋實際問題的一種應用過程.通過建立和運用數學模型，發現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題，引領學生把復雜問題簡單化、疑惑問題明晰化，從而增強學生分析和解決數學問題的能力，有效提升學生的數學核心素養.

一、建構微觀數學模型，聚焦模塊知識浸潤核心素養

任何學科體系都是由不同模塊知識組成的，通過統計2021年全國甲卷理科數學考查模塊基礎知識的內容高達60%，其中函數與導數22分、空間向量與立體幾何22分、解析幾何22分、概率統計29分、三角函數與三角恒等變換15分、數列12分.由此可見，高中數學教師在建構微觀數學模型時，必須充分利用教材模塊基礎知識幫助學生厘清數學建模思路，激發學生認真學習模塊知識，深入鉆研模塊知識，準確探析模塊知識的來源，靈活運用模塊知識突破教學重難點，聚焦數學模塊知識浸潤數學核心素養.

案例1 假設你要將手中的資金用于投資，根據實際情況有三個投資方案可供選擇.

投資方案一：每天平均回報80元；

投資方案二：第一天回報20元，此后每一天的回報比前一天的回報多20元；

投資方案三：第一天回報0.8元，此后每一天的回報比前一天的回報翻一番.

結合題中的三個投資方案，教師有針對性地運用一次函數模型、二次函數模型、指數函數模型進行教學，要求學生結合所學模塊知識自主探究、合作建構解題模型，潛移默化領悟數學建模思想，循序漸進掌握數學建模方法，為培養學生的數學核心素養奠定堅實的模塊知識基礎.

案例2 在進行“一元二次不等式”教學時，可以從具體實例引出二次不等式，再引導學生從函數角度去解二次不等式，總結出解一元二次不等式的一般步驟，最后鞏固練習并以開放性數學應用問題的提出和解決結束本節課.本節課通過建構適切教學模型，靈活使用建模方法和技巧，激發學生數學思維潛能，提升學生核心素養，高效完成學習任務.已知某地區50cm到160cm未成年男性平均體重與某未成年男生身高、體重，根據電子秤判斷標準，分析判斷該男生體重是否處于正常范圍？教師可以指導學生利用已知條件繪制散點圖，再指導學生利用散點圖繪制函數曲線圖，建構二次函數模型，最后要求學生自主檢驗模型，使解題思路變得更明晰，解題效果更高效.

二、建構中觀數學模型，整合學科要素提升核心素養

近幾年，我國高考改革不斷深入，高考數學試題逐漸加大了對數學知識綜合應用能力的考查，對高中數學教學的要求越來越高，僅靠掌握、理解、運用單一的模塊知識已經難以達到應對高考的需要，必須著力培養學生數學建模意識，圍繞數學綜合類問題提取高中數學學科知識，按照數學知識的性質和邏輯線索強力錘煉學生綜合應用知識能力，引導學生熟練運用所學多要素數學知識，科學設計解題路徑，精準建構中觀數學模型，通過整合數學學科要素知識提升核心素養.

伴隨著大數據時代的到來，人們常常需要對網絡、文本、聲音、圖像等大量信息進行數字化處理，高考數學試卷也普遍強化了對考生數學建模能力的考查，使數學模型的建構、研究、運用得到很大發展.例如2021年新高考Ⅰ卷第16題以折紙對折不同次數后得到的不同規格圖形種數及面積之和為研究目的，要求學生靈活運用數學工具.試題重點考查了考生數學建模思維，尤其是整合數列求和、錯位相減法等知識的能力，啟示我們在教學中要善于整合學科要素知識，發現問題、提出問題、分析問題、建立模型，進一步確定參數、計算求解、檢驗結果、改進模型，促進學生數學核心素養的形成與發展.

案例3 在教學人教版高中數學“函數”時，教師可以先要求學生認真復習鞏固以前學過的知識，以初中階段學習的內容為輔助，運用多媒體設備創設教學情境，使用動畫等形式對函數相關要素直觀演示，對函數的概念、函數的特征等內容做重點解析，列出變量x、y之間的關系，然后再適時引入函數概念的三個要素，從映射的角度入手全面分析、理解、剖析問題.在此過程中，教師需要利用學生掌握的已有知識滲透新知識、拓展新思維、突破新問題，引導學生了解什么是建構數學模型、如何建構數學模型，以便于學生更加直觀地開展學習，培養學生數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.

三、建構宏觀數學模型，植根客觀實際強化核心素養

建構宏觀數學模型是數學建模的高級階段，它需要站在立德樹人的高度審視數學教育，著眼學生長遠發展從不同角度培養他們真、善、美的品質和創造力，植根客觀實際廣泛利用社會主義建設成果等拓展數學廣度、挖掘數學深度、增強數學活度.為此，高中數學教師應緊跟高考數學改革發展的趨勢，常態化關注數學知識與實際生活的聯系，將數學知識同客觀現實、數學文化緊密結合，定期或不定期地組織學生開展研究性學習活動，推動學生在社會實踐中發現數學、探究數學、體驗數學，引領學生在開放性的數學課堂教學中，提煉現實情境、設置數學問題、建構數學模型，全面強化學生的綜合數學素養.

2021年高考數學試題貫徹全面育人要求，注重數學文化育人功能，充分發揮高考數學試題深化教學改革、提高教育質量的作用.其中，2021年全國甲卷理科第2題以調查農村經濟情況為背景，反映國家關心農村發展，著力提高農民收入，展示國家實施“三農”政策取得的成果，引導學生關心農村的現狀與發展.2021年北京卷第18題，以大規模核酸檢測等客觀實際情況為情境，介紹“k合1檢測法”，展現了我國快速檢測新冠病毒的能力：“為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機構采取‘k合1檢測法’，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可確定所有樣本都是陰性的；若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測.”然后，精心設計具體情境考查考生的解析能力，諸如此類考查數學建模素養的試題，北京卷至少設計了3道試題，如第8題的降雨量測量的體積模型，第21題第(Ⅲ)問中歸納、建構的“自變量為正整數的取整函數”的數列模型等.這些開放性高考試題的命制與考查，都呼喚數學教師盡快打破陳舊的教學方法和教學理念，樹立大教學觀和大數學觀，建構宏觀數學模型.

數學建模與現實生活相互聯系、密不可分.教師可以利用日常生活實例為情境設置數學試題，立足學生已有的生活經驗和數學知識，嘗試建立問題情境與教材知識之間的聯系，激發學生主動思考問題的欲望，訓練學生建構數學模型的基本技能，逐步樹立數學建模核心素養.假設“在北京冬奧會舉辦期間，某啡館開展商品促銷活動，凡在該商店購買、消費咖啡，可以使用兩個本店咖啡杯兌換一杯咖啡，某運動員購買了8杯咖啡請客，在回收空杯后，可以喝到多少杯咖啡？如果購買12杯又能喝到多少杯咖啡？”如此從實際生活中搜集與數學知識相關的素材，將實際生活問題數學化，促使學生在實際生活中發現數學問題、加工制作數學問題，根據現實問題中的數量關系、函數關系等建立相關的數學模型.

伴隨《中國高考評價體系》《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》的先后實施，新一輪高考數學改革正進一步深入推進，全國范圍內的新高考數學全面貫徹高考評價體系的要求，更新評價理念，堅持改革創新，著眼于培養核心素養的教育目標，致力于實現立德樹人的根本任務，在試卷結構、題型設置、考試內容、難度梯度等方面進行了大膽創新，特別是命制了許多考查數學建模的試題，充分展示了高考數學的導向性、時代性、科學性、選拔性.面對新高考的新挑戰，我們必須應時而動、順勢而為，把握機遇，踔厲奮發，科學地把握高考數學與高中數學教學的關系，從微觀、中觀、宏觀三個維度建構數學模型，錘煉學生建模品質，激發學生思維潛能，優化數學核心素養，促進學生綜合發展.