多渠道培養思維發散性 落實學生數學核心素養

［摘? 要］ 高中階段正值學生思維發展的飛躍期，教師必須抓住這個飛躍期，采用多種教學方法和教學手段來發展學生的數學思維，提升學生的數學思維品質，繼而實現“教”與“學”的可持續發展. 在培養發散性思維的過程中，教師應遵循“以生為本”的教學理念，為學生提供一個自由的、廣闊的自我展示的舞臺，從而讓不同的學生獲得不同的發展，培養學生良好的學習習慣和思維品質.

［關鍵詞］ 數學思維；思維品質；發散性思維

在實際教學中發現，很多學生因為難以適應高中階段的學習節奏而成績下滑，究其主因與初中的“講授”式教學息息相關. 相比較而言，初中數學與高中數學在思維上有較大的差距. 在初中階段，學生可以依賴講授和模仿解決問題，但到了高中階段，學習內容更加復雜、深刻，數學題目更加靈活多變，對思維能力提出了更高的要求. 因此，在高中階段，教師要重視學生思維品質的培養.

思維的發散性是思維品質的重要組成部分之一，其建立于思維的廣闊性和深刻性的基礎上，又為思維的敏捷性和獨創性創造了條件. 周知，無論是生活還是學習，若想發展就需要打破常規，開拓創新，而這些都離不開發散性思維，所以在高中數學教學中應重視學生發散性思維的培養. 在實際教學中，教師應引導學生從不同的角度去分析問題，用發展的眼光去看待問題，鼓勵學生提出解決問題的新思路、新想法、新方案，這樣既有利于問題的解決，又有利于學生的發展和核心素養的提升.

利用多種解法培養發散性思維

在教學過程中，教師要打破中規中矩的“講授”模式，為學生提供一個能夠平等交流的學習環境，充分發揮個體思維差異的優勢，鼓勵學生從不同角度思考問題，尋求不同的方案解決問題，以此培養思維的靈活性，培養發散性思維.

例1 求證：=tanθ.

例1難度不大，但是證法靈活，在證明過程中教師預留充足的時間讓學生思考和交流，并鼓勵學生用不同的方法加以證明. 通過生生的積極交流和教師的耐心指導，學生得到了如下證明方法：

證法1（二倍角公式）：等式左===等式右.

證法2（萬能公式）：設tanθ=t，則等式左===t=等式右.

證法3（正切半角公式）：由tanθ==，利用合分比性質，命題得以證明.

給出多種解法后，教師可以引導學生對過程進行反思小結，這樣既讓學生理解和掌握證明三角形恒等式的基本方法，又拓展學生的思路，培養學生的發散性思維，讓學生的解題能力和思維品質都得到較大程度的提升.

利用開放性問題培養發散性思維

在教學中發現，學生面對一些開放性問題時常束手無策，出現這一現象的原因與教師的“教”息息相關. 在課堂教學中，大多是教師提出問題，學生回答問題，這樣以“師問生答”為主流的教學模式影響了學生提出問題能力的提升，限制了學生思維能力的發展. 在教學中，教師應為學生創設一個開放的學習環境，引導學生提出問題和解決問題，以此提升學生的自主學習能力.

例2 已知sinα+sinβ=①，cosα+cosβ=②，由此你能得到什么結論？

教師讓學生獨立探究，然后分享各自的發現.

生1：將①式和②式平方相加，可得cos（α-β）=-.

生2：將①式和②式相乘，再和差化積，得sin（α+β）［cos（α-β）+1］=. 結合生1的結論，可得sin（α+β）=.

生3：將①式和②式平方后作差，再和差化積，得2cos（α+β）［cos（α-β）+1］= -. 又cos（α-β）=-，代入可得cos（α+β）=-.

生4：由①÷②，再和差化積約去公因式，可得tan=，利用萬能公式可求sin（α+β），cos（α+β），tan（α+β）的值.

生5：由sin2α+cos2α=1消去α，得4sinβ+3cosβ=；同理，由sin2β+cos2β=1消去β，得4sinα+3cosα=.

……

從以上過程可以看出，學生通過各種手段處理已知信息，能有效鍛煉各自思維；通過對問題結論進行發散，能有效激發學生的潛能，有利于培養學生的創造力.

[?]利用多個變式培養發散性思維

變式是培養發散性、創造性和深刻性思維的重要手段. 在教學中，通過變化已知、變化結論，引導學生從不同角度思考問題，應用不同方法和不同知識解決問題，有利于提高學生的思維品質.

例如，已知等差數列的通項公式為a=a+（n-1）d，顯然該公式有四個變量，如果知道三個變量可利用解方程的思路求第四個量. 如“｛a｝為等差數列，a=1，d=-2，問-9是第幾項”“｛a｝為等差數列，a=1，a=22，求d”，等等. 解決問題后，教師可以引導學生改編題目. 題目改編并不是隨意改值那么簡單，需要學生全面掌握變量的取值范圍、變量間的內在聯系、公式適用條件等內容，這樣才能確保問題是科學性的、合理性的，否則，若學生不進行思考、辨析，只是信手拈來，可能鬧出笑話. 如有學生設計了這樣一個問題：“｛a｝為等差數列，a=1，d=-3，問-9是第幾項？”學生將原題中的“d=-2”改成“d=-3”，根據公式可求-9為項，顯然改編該題因忽視了變量的取值范圍而造成了錯誤. 但是，通過題目改編不僅能深化學生對等差數列公式的理解，而且能讓學生站在更高的角度看待問題，有利于提高學生的學習能力和思維能力.

利用多種品質培養發散性思維

各種思維品質是相關溝通、相互聯系的，比如思維的發散性建立在思維的深刻性和廣闊性的基礎上，又服務于思維的敏捷性和獨創性，同時借助思維的發散性又能達到深化理解，培養思維的深刻性的目的，可見各種品質彼此聯系，密不可分. 因此，教學中教師可以借助其他思維品質的提高來培養學生思維的發散性.

1. 思維的深刻性

思維的深刻性集中表現在透過事物的現象發現本質，揭示規律. 數學知識間存在著一定的聯系，只有深刻地理解知識，認清問題的本質，才能理清問題的來龍去脈，從而靈活應用相關知識解決問題.

例3 方程sinx=lgx的解有________.

學生習慣從方程的角度出發思考并解決該問題，而該問題由此出發無法求解，故學生常束手無策. 若解題時學生能夠換個角度進行思考，會獲得柳暗花明的效果. 求解時可以將問題轉化為求函數y=sinx與y=lgx圖像的交點問題，通過數形結合法能高效快速地解決問題. 在解決問題的過程中只有揭示其本質，才能靈活地解決問題，思維發散性才有用武之地.

2. 思維的廣闊性

思維的廣闊性集中表現在全面考慮問題上. 解題時，學生要認真地審題，抓住問題的方方面面，繼而合理調動和選擇與之相關的知識解決問題.

例4 已知拋物線在y軸上的截距為3，對稱軸為直線x=-1，在x軸上截得的線段長為4，求拋物線的方程.

解決該問題時，可以根據條件“截距為3”，列一般方程y=ax2+bx+c，再結合其他條件可解a，b的值，從而得到拋物線的方程；也可以根據條件“對稱軸為直線x=-1”，列頂點式方程，即y=a（x-h）2+k（a≠0），再結合其他條件求出a，k的值；還可以根據條件“x軸上截得的線段長為4”，列兩根式方程求解.

解題時，要處理好整體與局部的關系，利用發散性思維調動相關知識、技能，探尋多種解決問題的方案，以此提升思維品質.

3. 思維的敏捷性

思維的敏捷性集中表現在解決問題的速度和正確率上，具有這一品質的學生往往能夠縮短運算和推理的過程，高效地解決問題.

例5 相鄰邊長為a和b的平行四邊形ABCD，繞a邊旋轉一周所得幾何體的體積為V，繞b邊旋轉一周所得幾何體的體積為V，則V：V=（? ）

A. a：b B. b：a C. a2：b2 D. b2：a2

若直接從一般平行四邊形的角度出發，求相應幾何體的體積需要引入一個變量，即設相鄰兩邊的夾角為θ，于是有V=πab2sin2θ，V=πa2bsin2θ，V：V=b：a. 但由于本題是一個選擇題，解題時不妨從其特殊性出發，將平行四邊形看成矩形來處理，這樣可以簡化運算過程，提高解題效率.

4. 思維的獨創性

思維的發散性為思維的獨創性的發展提供了養料. 在日常教學中，教師要鼓勵學生打破傳統和習慣，善于從問題的不同方面提出解決問題的方法和意見，巧妙地解決問題，以此發展思維的獨創性，提高思維的靈活性和變通性.

例6 求sin210°+sin250°+sin10°sin50°的值.

解法1：sin210°+sin250°+sin10°sin50°=1-（cos20°+cos100°）+sin10°sin50°=1-cos60°cos40°+（-cos60°+cos40°）=.

解法2：構造對稱式，令x=sin210°+sin250°+sin10°sin50°，y=cos210°+cos250°+cos10°cos50°，則x+y=2+cos40°，x-y=-cos40°-，兩式相加得2x=，即原式=.

解法1為常規解法，解法2通過構造對稱式靈活地解決了問題，方法獨特，簡捷有效. 在解題教學中，教師要鼓勵和啟發學生多角度、多渠道進行聯想，這樣不僅可以得到巧妙的、獨特的解法，而且可以加深學生對知識的理解，有利于學生思維發散性的培養，提高其學習能力.

總之，教學中教師要多為學生提供一些機會去思考、去發現、去探索，通過“多解”“多變”等多種渠道培養學生思維的發散性，提升學生思維的品質.

作者簡介：繆葦偉（1986—） ，本科學歷，中小學一級教師，從事高中數學教學研究工作.