“復(fù)演”式概念教學(xué)的研究與實(shí)踐

李方紅?姜錫春

［摘要］ 構(gòu)建一種普適的教學(xué)范式在當(dāng)下正彰顯出蓬勃的生命力，化散為整，由點(diǎn)到面，通過(guò)前后、上下聯(lián)通實(shí)現(xiàn)認(rèn)知系統(tǒng)化，從學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)，真正為學(xué)生更好成長(zhǎng)而奠基。概念教學(xué)應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，基于數(shù)學(xué)抽象的生發(fā)機(jī)制，構(gòu)建起“復(fù)演式”概念教學(xué)的范式，即包括概念產(chǎn)生、概念表象、概念抽象、概念外延、概念應(yīng)用、概念衍生六維一體的認(rèn)知閉環(huán)鏈，包含情境復(fù)演、操作體驗(yàn)、符號(hào)表征、類屬建構(gòu)、聯(lián)通生活、創(chuàng)新發(fā)展的一體化活動(dòng)生態(tài)圈，助力學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升。

［關(guān)鍵詞］ 概念教學(xué)；復(fù)演式；倍的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的起點(diǎn)與原點(diǎn)，而數(shù)的概念、數(shù)量關(guān)系的概念又是數(shù)學(xué)抽象的起點(diǎn)與原點(diǎn)。小學(xué)數(shù)學(xué)四大板塊，數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐，均圍繞數(shù)與數(shù)量關(guān)系展開學(xué)習(xí)。可見，夯實(shí)概念教學(xué)，依托概念的研究與探索這個(gè)支點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的完整過(guò)程，累積豐富的數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗(yàn)與方法，提升數(shù)學(xué)抽象的意識(shí)與能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要抓手，也是課堂教學(xué)的著力點(diǎn)。對(duì)概念教學(xué)（數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的支點(diǎn)）的研究與梳理彰顯出它的價(jià)值與必要性。

概念是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)與核心內(nèi)容載體，是規(guī)律與結(jié)構(gòu)表征的基礎(chǔ)與起點(diǎn)。概念是思維活動(dòng)的結(jié)果和產(chǎn)物，同時(shí)又是思維活動(dòng)借以進(jìn)行的單元。表達(dá)概念的語(yǔ)言形式是詞或詞組。概念都有內(nèi)涵和外延，即涵義和適用范圍?？梢姡瑢W(xué)生要能抽象出數(shù)學(xué)概念，必須對(duì)數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系有豐富的認(rèn)識(shí)，并能抓住其本質(zhì)特征，通過(guò)數(shù)、符號(hào)、語(yǔ)詞對(duì)其進(jìn)行記載與表征，還要清晰地理解概念的外延（即類屬，如整數(shù)概念的外延，就是指有哪些不同的整數(shù)，包括哪些整數(shù)）。在實(shí)際生活中加以應(yīng)用與拓展，才算完成了概念的內(nèi)化，完成了數(shù)學(xué)抽象，即先有對(duì)概念表征對(duì)象的豐富認(rèn)識(shí)，才能抽取出一般規(guī)律與本質(zhì)屬性，也才能對(duì)其進(jìn)行表征。這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是數(shù)學(xué)家最初發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程。讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，利于激發(fā)學(xué)生的探究興趣，利于累積豐富的研究經(jīng)驗(yàn)與方法，利于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，利于建立概念的真理信仰（理解并確信為真的想法），利于概念的內(nèi)化與應(yīng)用。由此，概念教學(xué)采取與數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)歷程相似的“復(fù)演”式教學(xué)更利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

所謂復(fù)演就是指讓學(xué)生自主參與，體驗(yàn)實(shí)踐，研究探索，合作交流，像數(shù)學(xué)家那樣真實(shí)、完整、深度經(jīng)歷“概念產(chǎn)生、建立豐富概念表象、概念內(nèi)涵表征、厘清概念外延、概念應(yīng)用與概念新衍生”的數(shù)學(xué)抽象認(rèn)知回環(huán)鏈（此認(rèn)知回環(huán)鏈?zhǔn)歉拍畛橄蟮幕韭窂剑┑囊环N教學(xué)程式。當(dāng)然，“復(fù)演”往往是此概念產(chǎn)生與抽象的“精縮”版。本文以人教版三年級(jí)上冊(cè)第五單元“倍的認(rèn)識(shí)”一課教學(xué)為例，具體闡釋“復(fù)演”式概念教學(xué)的思想理念與操作程式。

一、概念產(chǎn)生：情境復(fù)演，價(jià)值驅(qū)動(dòng)

概念產(chǎn)生即為什么會(huì)出現(xiàn)這個(gè)概念，這個(gè)概念有何價(jià)值，是怎樣來(lái)的等一系列溯源性問(wèn)題的追問(wèn)與闡釋。小學(xué)階段概念的產(chǎn)生往往包括生活中數(shù)學(xué)規(guī)律的抽象，已有概念不能揭示新規(guī)律或不夠精簡(jiǎn)直觀，已有概念的具體細(xì)化，已有概念的反向與相對(duì)概念等形態(tài)。如“數(shù)”是一個(gè)原點(diǎn)性概念，“比”是一個(gè)已有概念的優(yōu)化概念，平行四邊形是四邊形的具體細(xì)化，負(fù)數(shù)是正數(shù)的相對(duì)概念等。

不管是哪種形態(tài)的概念，在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，都要還原到概念產(chǎn)生的原本生活情境中，讓學(xué)生體悟新概念的價(jià)值，讓學(xué)生經(jīng)歷新概念出現(xiàn)的問(wèn)題解決情境，才能還原出鮮活、真實(shí)的研究現(xiàn)場(chǎng)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

“倍”本質(zhì)是描述兩量倍比關(guān)系的一個(gè)概念，是學(xué)生已有概念“幾個(gè)幾”的精練與直觀表征，是描述兩量關(guān)系的譜系拓展。由此，在本節(jié)課伊始，設(shè)置了同學(xué)和老師拍手不同次數(shù)的鮮活情境，讓同學(xué)們先拍兩次，老師跟著有節(jié)奏拍6次。讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)他們的發(fā)現(xiàn)。學(xué)生自然會(huì)聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)，說(shuō)明大小關(guān)系、相差關(guān)系、總和關(guān)系及倍比關(guān)系，自然引出新概念的學(xué)習(xí)。

二、概念表象：操作體驗(yàn)，圖示直觀

概念表象指學(xué)生對(duì)概念所指的具體的事物有感性的認(rèn)識(shí)與接觸，并建立起概念所指的多個(gè)具體事物的鮮活形象。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就是指概念所指的具體數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系等具體的形象支撐，也就是我們常說(shuō)的感性認(rèn)識(shí)。如長(zhǎng)方形概念表象指學(xué)生在接觸了生活中某一個(gè)面是長(zhǎng)方形的多個(gè)物體后形成了關(guān)于長(zhǎng)方形鮮活的實(shí)物形象。由此可見，概念表象的建立離不開鮮活的生活情境與素材，離不開學(xué)生的動(dòng)手操作，離不開直觀的圖示。在教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，應(yīng)選取生活中典型、規(guī)范、標(biāo)準(zhǔn)的素材，讓學(xué)生通過(guò)多重感官去感知，去體驗(yàn)，去描述，并通過(guò)多種形式，如量一量、擺一擺、畫一畫、圈一圈、數(shù)一數(shù)、說(shuō)一說(shuō)等來(lái)表征他們的直觀感受與形象理解。

基于生活經(jīng)驗(yàn)，部分學(xué)生可能聽過(guò)幾倍的數(shù)量關(guān)系，但概念的表象與內(nèi)涵都還比較模糊。當(dāng)學(xué)生說(shuō)到老師拍的次數(shù)是同學(xué)們的3倍或老師拍的次數(shù)有3個(gè)同學(xué)拍的次數(shù)那么多時(shí)，老師不要急于揭示倍的概念，而是引導(dǎo)學(xué)生想辦法讓大家看清楚3倍是什么意思。實(shí)際上就是讓學(xué)生做示范，帶著全班同學(xué)經(jīng)歷多重感官感受，多種形式表征“一個(gè)量有幾個(gè)另一個(gè)量”的數(shù)量關(guān)系。

學(xué)生想到了可以用畫圓圈來(lái)表示各自拍的次數(shù)，同學(xué)們對(duì)應(yīng)畫兩個(gè)圓圈，老師畫6個(gè)圓圈?？梢杂萌σ蝗Φ姆椒▉?lái)體現(xiàn)這樣的關(guān)系。把同學(xué)們拍的2次用一個(gè)圈圈起來(lái)，老師拍的6次，也2個(gè)圈一起，共有3個(gè)圈。所以，老師拍的次數(shù)有3個(gè)同學(xué)拍的次數(shù)那么多。這個(gè)過(guò)程，學(xué)生畫圖表示各自的數(shù)量及相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，涉及肢體操作、圖示表征、言語(yǔ)描述等多感官、多形式的表象建立。老師追問(wèn)，還可以怎樣表示，其他同學(xué)想到了將6次拍手分成2次一組，間隙再拍一組，來(lái)表示它們之間的倍比關(guān)系。也有同學(xué)想到了用畫線段圖來(lái)表示?？傊瑢W(xué)生通過(guò)系列動(dòng)手操作，動(dòng)筆畫圖、動(dòng)腦思考、動(dòng)嘴表達(dá)的過(guò)程，建立起老師拍的次數(shù)有3個(gè)同學(xué)拍的次數(shù)那么多的清晰、牢固、穩(wěn)定的生動(dòng)形象，為概念抽象做好了鋪墊。

三、概念抽象：符號(hào)表征，語(yǔ)詞概括

在建立概念清晰的表象后，下一步自然是概念抽象，即用數(shù)、符號(hào)、語(yǔ)詞高度概括概念的本質(zhì)屬性和一般特征。這一步是概念表象的“一般化”“本質(zhì)化”“概括化”。概念抽象針對(duì)上文所說(shuō)的不同類型的概念，在抽象概括時(shí)有不同的策略。如“幾倍”這個(gè)概念，是屬于已有概念“一個(gè)量有幾個(gè)另一個(gè)量”的概念優(yōu)化，體現(xiàn)在表達(dá)的簡(jiǎn)潔與直觀性。當(dāng)學(xué)生說(shuō)出“同學(xué)們拍了兩次，老師拍了3個(gè)兩次”時(shí)，教師可以順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生：“我們就說(shuō)老師拍的次數(shù)是同學(xué)們的3倍。”同時(shí)，教師及時(shí)板書：同學(xué)們拍了兩次，老師拍了3個(gè)兩次，老師拍的次數(shù)是同學(xué)們的3倍。然后，教師請(qǐng)學(xué)生再來(lái)說(shuō)一說(shuō)，全班一起說(shuō)一說(shuō)，同桌互相說(shuō)一說(shuō)，通過(guò)三次表達(dá)，及時(shí)鞏固新的概念。

此時(shí)，教師不需要言說(shuō)幾倍背后的抽象本質(zhì)——比較量有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量，就說(shuō)比較量是標(biāo)準(zhǔn)量的幾倍——這對(duì)于三年級(jí)來(lái)說(shuō)過(guò)于抽象，教師要為學(xué)生的認(rèn)知降低負(fù)荷。這里不需要說(shuō)誰(shuí)是標(biāo)準(zhǔn)量，誰(shuí)是比較量，學(xué)生能感受到即可。

此外，也不宜高度抽象“幾倍”的語(yǔ)詞表征（“幾倍”表示一個(gè)量有幾個(gè)另一個(gè)量），要讓學(xué)生進(jìn)一步通過(guò)豐富的概念外延建立表象，從多個(gè)特殊例子中再度抽取一般屬性，方能水到渠成。當(dāng)然，不同概念教學(xué)時(shí)也應(yīng)有區(qū)別，教師需要伺機(jī)而動(dòng)。

四、概念外延：類屬建構(gòu)，豐富表象

概念的外延指這個(gè)概念所反映的事物對(duì)象的范圍，即具有概念所反映的屬性的事物或?qū)ο蟆：?jiǎn)單地說(shuō)就是這一概念下的細(xì)化類別。一般來(lái)說(shuō)，概念內(nèi)涵越多，外延便越少。概念的外延從不同角度看，存在不同的分類。對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科中的概念外延理解，需要基于概念內(nèi)涵的本質(zhì)屬性將對(duì)應(yīng)類別以某一角度或多個(gè)角度進(jìn)行范疇界定，在教學(xué)活動(dòng)中有機(jī)滲透在具體的例子中，讓學(xué)生生動(dòng)地理解并構(gòu)建起清晰的細(xì)化類別認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖。

倍在數(shù)學(xué)中的具象概念是幾倍，幾倍的本質(zhì)是一個(gè)量（比較量）有幾個(gè)另一個(gè)量（標(biāo)準(zhǔn)量）。從數(shù)量上分析，包括1倍和幾倍兩種情況。從關(guān)系上分析，包括確定標(biāo)準(zhǔn)量，變化比較量，幾倍的幾增加；確定比較量，變化標(biāo)準(zhǔn)量，幾倍的幾減少；變化參考系，即標(biāo)準(zhǔn)量與比較量互換（小學(xué)階段一般說(shuō)多的數(shù)量是少的數(shù)量的幾倍），幾倍的數(shù)量關(guān)系在變化；同時(shí)變化標(biāo)準(zhǔn)量與比較量，導(dǎo)致多重變化；變化事物量而導(dǎo)致的變化等。

由此在本節(jié)課中，將兩個(gè)角度的類別融通在了一起，以關(guān)系分析為主線，以概念抽象的典型案例拍手次數(shù)為素材，一材多用，讓學(xué)生在生動(dòng)的拍手變化次數(shù)中理解概念外延，豐厚概念表象，抽象概念本質(zhì)。

（一）變比較量：內(nèi)化倍的概念內(nèi)涵

“請(qǐng)同學(xué)們?cè)俾犅犂蠋熍牡拇螖?shù)”（老師拍兩次為一組，有節(jié)奏地拍了8次）。老師示意學(xué)生舉手，學(xué)生心領(lǐng)神會(huì)?！巴瑢W(xué)們拍了兩次，老師拍了4個(gè)兩次，老師拍的次數(shù)是同學(xué)們的4倍?！贝藭r(shí)老師讓學(xué)生想象，如果再拍兩次呢，學(xué)生說(shuō)5倍。老師請(qǐng)全班同學(xué)完整表達(dá)，“同學(xué)們拍了兩次，老師拍了5個(gè)兩次，老師拍的次數(shù)是同學(xué)們的5倍?！薄霸黾狱c(diǎn)難度，如果老師拍的次數(shù)是同學(xué)們的6倍，你們當(dāng)老師，拍一拍?！边@樣，學(xué)生基于概念，要自主完善對(duì)應(yīng)的表象系統(tǒng)，想到6倍表示6個(gè)兩次，要拍12次。

通過(guò)老師拍手，學(xué)生根據(jù)幾倍思考拍的對(duì)應(yīng)次數(shù)，在輕松的拍手中感受到比較量變化，幾倍就跟著變化。因而倍的本質(zhì)就是看有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量那么多。

（二）變標(biāo)準(zhǔn)量：滲透特殊的倍的理解

變標(biāo)準(zhǔn)量時(shí)，活動(dòng)設(shè)計(jì)上從具體的拍手操作，走向圖示直觀。讓學(xué)生靜下心來(lái)基于直觀的圖示進(jìn)一步理解幾倍的本質(zhì)?！敖酉聛?lái)我們來(lái)玩一個(gè)游戲，超級(jí)變變變的游戲。請(qǐng)同學(xué)們閉眼，撐開眼睛?！保ɡ蠋煂⒆畛跬瑢W(xué)拍兩次，老師拍6次，把同學(xué)拍的2次擦掉1次）老師示意學(xué)生舉手發(fā)言。“同學(xué)們拍了1次，老師拍了6個(gè)1次，老師拍的次數(shù)是同學(xué)們的6倍。”老師追問(wèn)：“若老師拍的次數(shù)是99次呢？”“老師拍了99個(gè)1次，老師拍的次數(shù)是同學(xué)們的99倍?！崩蠋熯M(jìn)一步追問(wèn)：“你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生自然回答道：“當(dāng)同學(xué)們拍1次時(shí)，老師拍多少次，就是同學(xué)們的多少倍。”

再讓學(xué)生閉眼，同學(xué)們拍的次數(shù)增加兩個(gè)圈，“老師拍了2個(gè)三次，老師拍的次數(shù)是同學(xué)們的2倍。”同學(xué)們拍的次數(shù)變成六次，“同學(xué)們拍了六次，老師拍了1個(gè)六次，老師拍的次數(shù)是同學(xué)們的1倍?！崩蠋熤钢诎迳贤瑢W(xué)們拍的次數(shù)、老師拍的次數(shù)及1倍，示意學(xué)生發(fā)言。學(xué)生自然理解，當(dāng)兩個(gè)數(shù)量相同時(shí)，也可以說(shuō)兩個(gè)數(shù)量之間是1倍的關(guān)系，是互為1倍的。

（三）變參考系：高度抽象幾倍的本質(zhì)屬性

同學(xué)們拍的次數(shù)這次一下子增加六次，即變成了12次。老師追問(wèn)“有什么改變”，學(xué)生回答：“同學(xué)們拍的次數(shù)比老師拍的次數(shù)多了?！崩蠋熓疽鈱W(xué)生進(jìn)一步回答兩者的倍比關(guān)系。學(xué)生自然體悟到，此時(shí)應(yīng)該把老師拍的次數(shù)看成標(biāo)準(zhǔn)量，說(shuō)成“老師拍了六次，同學(xué)們拍了2個(gè)六次，同學(xué)們拍的次數(shù)是老師的2倍”。老師進(jìn)一步追問(wèn)：“如果你們拍的次數(shù)是老師的4倍，你們拍多少次呢？你們能讓我清晰地感受到4倍的存在嗎？”學(xué)生便自然地以六次拍手為一組，連續(xù)拍4組。

此時(shí)，通過(guò)變比較量、變標(biāo)準(zhǔn)量、變參考系，通過(guò)幾個(gè)是1的幾倍，兩數(shù)量相等時(shí)互為1倍的直觀感受，學(xué)生一方面對(duì)概念的外延有了清晰的認(rèn)識(shí)，另一方面也進(jìn)一步豐富了概念的表象。然后再讓學(xué)生來(lái)概括幾倍的含義時(shí)，學(xué)生自然就能用高度凝練的語(yǔ)詞來(lái)表征概念了?！岸嗟牧坷镉袔讉€(gè)少的量，就說(shuō)多的量是少的量的幾倍。但兩者數(shù)量相等時(shí)，就是1倍關(guān)系?！睂W(xué)生發(fā)現(xiàn)1也是幾，1倍也是幾倍，所以可以直接說(shuō)成“一個(gè)量里有幾個(gè)另一個(gè)量，就說(shuō)這個(gè)量是另一個(gè)量的幾倍”。

在完成概念高度抽象后，順勢(shì)讓學(xué)生探討為什么要發(fā)明幾倍這個(gè)概念。學(xué)生恍然大悟，因?yàn)閹妆侗日f(shuō)一個(gè)量有幾個(gè)另一個(gè)量要簡(jiǎn)潔得多，又比說(shuō)一個(gè)量比另一個(gè)量多多少更加直觀形象。所以，倍的產(chǎn)生意義非凡。

最后，讓學(xué)生總結(jié)今天所學(xué)的內(nèi)容，通過(guò)總結(jié)回顧，再現(xiàn)研究歷程，總結(jié)方法經(jīng)驗(yàn)，梳理認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成整體認(rèn)識(shí)。

五、概念應(yīng)用：聯(lián)通生活，開闊視野

通過(guò)概念表征，通過(guò)對(duì)內(nèi)涵與外延的界定，基于數(shù)學(xué)層面的概念已經(jīng)建構(gòu)起來(lái)了，但學(xué)生是否能結(jié)合真實(shí)生活情境，將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化或抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，將生活現(xiàn)象轉(zhuǎn)化或抽象為數(shù)學(xué)概念，以及將數(shù)學(xué)問(wèn)題與概念還原為生動(dòng)具化、形式多樣、變式豐富的生活問(wèn)題或概念，既考驗(yàn)著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題與概念內(nèi)化的深度，也彰顯著學(xué)生將數(shù)學(xué)問(wèn)題與概念外化的靈活性，即“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的能力。

具體來(lái)說(shuō)，概念的應(yīng)用可以通過(guò)各種練習(xí)、生活實(shí)踐、文化滲透、視野開闊等展開，直至學(xué)生能基于內(nèi)化靈活地外化輸出。

（一）鞏固練習(xí)：在真實(shí)生活情境中實(shí)現(xiàn)概念外化

學(xué)生是否真的掌握概念，需要脫離具體的例子，跳出概念語(yǔ)詞本身，走向生活進(jìn)行檢驗(yàn)。于是，設(shè)計(jì)了一幅動(dòng)物園內(nèi)各種動(dòng)物活動(dòng)的圖，有6只鴨子、18只鹿、36只兔子、6只猴子，讓學(xué)生提出問(wèn)題并解答。這里就存在標(biāo)準(zhǔn)量與比較量不斷變化的情況，也存在參考系的變化。學(xué)生能體悟到如果選擇不同的兩個(gè)數(shù)量，倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)就會(huì)有所不同。既有1倍的關(guān)系，也有多倍的關(guān)系，還有標(biāo)準(zhǔn)量與比較量的靈活變化，如18只鹿既可以是比較量，也可以成為其他比較量的標(biāo)準(zhǔn)量。

（二）開放練習(xí)：變物體不同屬性的量來(lái)活化概念外延

思維是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的種子，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)、辯證、發(fā)散、整體、理性等思維有助于學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)研究，真正從學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué)，讓數(shù)學(xué)課充滿生命力、生長(zhǎng)力、生發(fā)力。在學(xué)生能靈活選擇標(biāo)準(zhǔn)量、比較量進(jìn)行兩量倍比關(guān)系表達(dá)后，可以讓思維再進(jìn)一步，讓學(xué)生基于同一物體不同屬性的不同量來(lái)深度理解概念的外延。如下圖所示的一道開放練習(xí)：

通過(guò)學(xué)生提問(wèn)并解決，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這里既可以從短繩與長(zhǎng)繩的根數(shù)來(lái)表達(dá)倍數(shù)關(guān)系，也可以對(duì)一根短繩與一根長(zhǎng)繩（或三根短繩長(zhǎng)度與一根長(zhǎng)繩長(zhǎng)度）的長(zhǎng)度進(jìn)行比較，還可以觀察三根短繩的手柄數(shù)與一根長(zhǎng)繩的手柄數(shù)的數(shù)量關(guān)系等。學(xué)生豁然開朗，得出這樣的發(fā)現(xiàn)：同樣的物體，從它的不同的量去觀察，會(huì)得出不同的數(shù)量關(guān)系。

（三）文化滲透：倍的研究歷史

數(shù)學(xué)史蘊(yùn)含著豐厚的數(shù)學(xué)研究精神，也承載著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)簡(jiǎn)短的概念發(fā)展歷程介紹，讓學(xué)生體悟概念的產(chǎn)生與優(yōu)化過(guò)程，明晰概念的本質(zhì)，進(jìn)一步豐厚認(rèn)識(shí)、活化理解。“公元3世紀(jì)，印度的一位科學(xué)家巴格達(dá)發(fā)明了阿拉伯?dāng)?shù)字，這就是倍數(shù)關(guān)系起源的時(shí)候。阿拉伯?dāng)?shù)字發(fā)明的時(shí)候，倍數(shù)關(guān)系是隨阿拉伯?dāng)?shù)字應(yīng)運(yùn)而生的。但明確提出倍這個(gè)概念則是乘法發(fā)明以后，最早的記載是我國(guó)的春秋時(shí)期?！蓖ㄟ^(guò)倍的產(chǎn)生，學(xué)生體悟到，實(shí)際上數(shù)量產(chǎn)生的時(shí)刻，數(shù)量關(guān)系就相伴而行了。數(shù)量關(guān)系是描述兩個(gè)量或多個(gè)量之間的各種關(guān)系的統(tǒng)稱，不同的數(shù)量關(guān)系描述著不同的關(guān)系。

六、概念衍生：創(chuàng)新發(fā)展，延學(xué)導(dǎo)引

概念的衍生有很多形態(tài)，包括概念的更替、概念的優(yōu)化、概念的具化、概念的拓展、概念的變遷等。倍這一概念本質(zhì)是表達(dá)兩個(gè)量的多少比較關(guān)系。如2與8的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)8比2多6，人們能感受它們之間的多少關(guān)系。但說(shuō)8是2的4倍，人們能更進(jìn)一步具體感受數(shù)量間的關(guān)系，即8有4個(gè)2那么多。由此，進(jìn)一步讓學(xué)生思考，如果是48和6相比，它們之間的多少關(guān)系還可以怎樣表示呢？此處為六年級(jí)上冊(cè)“比”的概念埋下伏筆、做好鋪墊。比用于描述兩個(gè)同類量之間的關(guān)系時(shí)，本質(zhì)就是描述的兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系。如8 ： 1表示一個(gè)量是另一個(gè)量的8倍，或者理解成一個(gè)量有8份，另一個(gè)量有1份。

概念教學(xué)應(yīng)聚焦數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，概念教學(xué)的認(rèn)知過(guò)程本質(zhì)就是數(shù)學(xué)抽象的建構(gòu)過(guò)程。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的完整生發(fā)過(guò)程，有利于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)其他概念時(shí)遷移應(yīng)用，從一節(jié)課的學(xué)習(xí)推廣到一類課的學(xué)習(xí)，讓每一節(jié)課提質(zhì)增效，變學(xué)會(huì)為會(huì)學(xué)，真正為學(xué)生一生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

［參考文獻(xiàn)］

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［2］李方紅，周智雄，董順，王朕照.“復(fù)演式”單位起始課教學(xué)模式的構(gòu)建與實(shí)踐：以人教版二年級(jí)下冊(cè)第八單元“克”的教學(xué)為例[J].現(xiàn)代中小學(xué)教育，2019，35（04）：42-47.

李方紅? ?重慶市巴蜀小學(xué)。

姜錫春? ?重慶市巴蜀小學(xué)，重慶市特級(jí)教師。