利用Tracker軟件研究牛頓擺的運動*

鐘熒杏 肖桂娜

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

在物理教學中，牛頓擺經常用來演示動量守恒．在理想情況下，金屬球之間的碰撞為彈性碰撞，且由于小球質量相等會發生速度交換．但是現實中由于空氣阻力與小球間的相互作用帶來的能量損耗，我們可以觀察到隨著碰撞次數的增加，小球擺出的高度越來越低直至停止．

本實驗通過描繪出小球運動的軌跡，進一步定量測出小球運動過程中的位移、動量隨時間變化的圖像，從而得到牛頓擺的運動特點并分析其動量衰減過程以供物理教學參考．

1 理論分析

1.1 連續碰撞模型

連續碰撞模型認為牛頓擺中相鄰小球會發生兩體碰撞，且由于剩下的小球相互獨立因此不會受碰撞影響，能量與動量能夠在球鏈間發生有效傳遞．在此條件下假設質量為m1的小球碰撞質量為m2的小球，由碰撞瞬間動量與能量守恒可得

(1)

(2)

由

m1=m2

則可得碰撞后

即兩個小球碰撞之后會發生速度交換．應用到連續碰撞的牛頓擺系統可得末端小球將會以初始擺出小球首次碰撞前的速度而擺出，而其他小球將處于靜止狀態．在此模型下小球停下是由于空氣阻力的作用，小球間的碰撞沒有能量與動量損失．

1.2 “彈簧-質點”碰撞模型

在實際中牛頓擺各個小球緊密相連，第一個小球落下會與其他小球發生作用．因此，連續碰撞模型并不符合實際，更為科學的是“彈簧-質點”模型[1]．如圖1所示，小球間的彈簧可以等效為小球在碰撞過程中發生的形變，碰撞過程中的能量轉換包括小球的動能和彈簧的彈性勢能．

圖1 “彈簧-質點”模型

將牛頓擺簡化為一系列大小相同、質量相等，于光滑水平面緊密排列的n球球鏈．對于此系統一次碰撞中的相鄰兩個小球其相互作用模型可表示為圖2所示．

圖2 相鄰小球相互作用模型

其中ξ為小球間彈性作用力的相對位置變化量，將其定義為[2]

ξn+1=2R-(xn+1-xn)=2R-xn+1+xn

(3)

小球間彈性作用力滿足Hertz彈性定律

F=0 (ξ<0)

(4)

F=κξα(ξ≥0)

(5)

(6)

2 利用Tracker軟件研究牛頓擺的運動

2.1 Tracker軟件介紹

Tracker軟件是一個建模工具與視頻跟蹤分析軟件，可用于做實驗時自動或者手動跟蹤物體的運動軌跡，并可以得出位移、動量等物理量隨時間的變化關系，實現了方便快捷地對物理現象進行探究．Tracker將是未來物理教學的新工具，它轉變了傳統物理實驗只能觀察現象的弊端而提供了定量分析的功能，讓研究更加的準確、科學．

2.2 實驗步驟與數據獲取

(1)為軟件方便追蹤，將牛頓擺放置于純色背景外，標記好待研究小球，如圖3所示．

圖3 牛頓擺裝置圖

(2)本實驗使用的牛頓擺為7球牛頓擺，拍攝裝備為智能手機與手機三腳架．調整手機高度與拍攝角度，盡量豎直齊平拍攝，不使視頻產生視角誤差．

(3)撥動小球開始拍攝，待小球停止運動完成視頻拍攝．

(4)將所拍攝視頻拉入Tracker軟件視窗中．選擇起始幀與結束幀，添加質點小球并建立坐標軸，將坐標原點置于待研究小球，橫軸與小球排列方向重合并將正方向定為向右．以實際測量尺寸數據為定標尺進行長度定標，固定并隱藏坐標軸與定標尺．Tracker軟件界面如圖4所示．

圖4 Tracker軟件界面圖

(5)在圖形視圖中橫坐標設置為時間，縱坐標分別設置為小球x軸方向位移、動量．

(6)按住Shift+Ctrl鍵點擊標記點完成第一幀畫面坐標定位．調整搜索方框大小，點擊搜索，Tracker軟件會自動追蹤研究小球中標記點的位置并得到相關數據與圖線．

本實驗拉起右端小球使牛頓擺開始運動，左端小球隨后擺出[4]．以下分析中球A為右端小球，球B為左端小球．

2.3 運動周期研究

將球A作為研究對象，由Tracker軟件追蹤小球運動軌跡，如圖5所示．

圖5 球A在x軸方向位移隨時間變化圖線

2.4 運動軌跡研究

截取小球A在x軸方向位移隨時間變化圖線中8個周期并分析牛頓擺運動軌跡，如圖6所示．

圖6 x軸方向位移隨時間變化圖線

由圖6知小球擺出的最大位移隨時間而減小，可以說明小球運動過程中有能量損失．每個周期前半段的類簡諧圖像為小球擺出的位移圖線，后半段為小球擺出回歸后的位移圖線．后半段圖線可以說明小球擺出回歸并碰撞后并不是完全靜止而是與中間的“不活躍”小球一起運動，同時也可知中間的“不活躍”小球在牛頓擺運動過程中并不是完全靜止，也獲得了少許的動能．

為對比左右兩端小球運動軌跡，截取小球A與小球B在x軸方向位移隨時間變化圖線中起始幀與結束幀相同的兩段圖線，對齊圖像時間軸并讓圖線中碰撞點移到同一高度后得圖7．

圖7 兩端小球x軸方向位移圖線重合圖

圖線中兩個小球相互碰撞時的數據點能基本重合，表示小球間碰撞時間極短．且兩個小球擺出部分曲線能組成一個完整的類簡諧曲線，左右端小球的運動可類比于同擺長的單擺運動的兩部分．

上下鏡像處理左端小球圖線，并將小球B圖線向右水平移動使其時間軸后于小球A半個周期，如圖8所示．

圖8 兩端小球x軸方向位移圖線鏡像重合圖

圖8中圖線基本重合說明左右兩端小球運動軌跡對稱．且小球B圖線的最高點高于小球A，由此也可知運動過程中有能量損失．

2.5 動量研究

由Tracker軟件獲得小球A動量隨運動時間的變化圖線，如圖9所示．

由圖9得出小球的動量隨時間而減小，牛頓擺運動過程中有動量損失，其動量并不守恒．

圖9 小球A動量隨時間的變化圖線

截取小球A與小球B在x軸方向動量隨時間變化圖線中起始幀與結束幀相同的兩段圖線，并向右水平移動小球B圖線使其時間軸后于小球A半個周期，所得圖線如圖10所示．

由圖10可知同一周期中兩個小球的動量變化趨勢基本一致．小球B動量變化圖線的最高點高于小球A，可知小球間的碰撞有動量損失．

圖10 兩端小球動量圖線重合圖

為更好地比較對稱兩端小球動量變化，截取幾個相鄰的周期中球A與球B同一x軸位移處的動量，從Tracker軟件分析圖線中得出，得到表1與表2所示數據.

表1 球A對稱點動量與時間

表2 球B對稱點動量與時間

由表1和表2繪制動量隨時間變化圖線如圖11所示．

圖11 兩端小球對稱位置動量隨時間變化圖線

由圖11可知小球擺出后幾乎沒有動量損失，牛頓擺運動過程中主要動量損失來自于小球間的碰撞過程，而小球擺出過程中的動量損失較小．

3 結論與建議

本文用Tracker軟件描繪出牛頓擺中小球的運動軌跡，并由此分析比較兩端小球的位移變化圖線得出牛頓擺運動的軌跡特點．同時分析動量變化圖線得出牛頓擺的動量衰減過程特點．通過本實驗能夠科學、定量地研究牛頓擺的運動過程，而且利用手機拍攝視頻后用電腦自動追蹤分析的過程簡單快捷，可用于物理教學中研究牛頓擺的運動，由此可見本實驗具有一定的科學性與價值性．