對電磁感應題設條件“自洽性”的深度討論

戎 杰 金天哲 胡科杰

(浙江省慈溪中學 浙江 寧波 315300)

在新課改背景下，從“淺層教學”過渡到“深度教學”是大勢所趨．在教學過程中，以教師指導為基礎，學生對相關信息進行加工處理，通過對問題積極而富有創新性的思考和探索，完成對知識的理解和遷移，可以推動高階物理思維的形成．

復雜的變加速運動模型是高中物理的難點，在電磁感應問題中常有典型．對于此類問題，由于大多數學生不具備微積分等數學知識，教師常常對過程分析“避而遠之”，轉而引導學生抓住始末狀態，“淡化”中間過程，熟練掌握動能定理、動量定理等方法來解決相關問題．這在一定程度上變相“引導”學生忽視對物理過程的嚴謹分析和深入思考，久而久之產生“過程不清晰也不妨礙做題”的錯覺，不利于學生科學思維的培養和學科核心素養的形成．由于“回避”中間過程的討論，教師在命題時也容易出現題設條件“不自洽”的情況．筆者以浙江省紹興市柯橋區某高三物理模擬考第22題為例做簡要闡述．原題如下.

【例題】平行光滑的金屬導軌AB和CD相距為d=1 m，導軌平面與水平面的夾角θ=37°，其上端接一阻值為3 Ω的燈泡，在EF和GH間存在與導軌平面垂直的勻強磁場B0，磁場區域寬度為L=1 m，質量ma=0.2 kg，電阻Ra=3 Ω的導體棒a與質量mb=0.2 kg，電阻Rb=6 Ω的導體棒b通過一根長L0=4 m的輕繩(不可伸長)相連，現將b棒放置于磁場上邊界EF處并鎖定，并將a棒放置于GH處，如圖1所示．在t=0時刻開關S斷開，并靜止釋放a棒，磁場B0隨時間t所示變化，如圖2所示．當磁感應強度B0達到Bm時開關S閉合，并解除b棒鎖定．不計導軌的電阻，不計兩棒之間的相互作用，g=10 m/s2，求:

圖1 例題題圖

圖2 磁感應強度B0變化規律

(1)在0～t0時間內，流過導體棒a的電流方向及大小；

(2)當繩繃緊的一瞬間(繃緊時間極短)，b棒獲得的速度；

(3)已知b棒在穿越磁場的過程中產生的熱量為0.8 J,試求b棒穿過磁場的時間．

分析：

(2)第(2)小題，根據勻加速運動公式，結合繃緊瞬間雙棒系統動量守恒，列式可得b棒在繩子繃緊瞬間速度為3 m/s．(前2小題求解過程不再贅述)

(3)第(3)小題，參考答案給出如下求解過程談.

當b棒穿越磁場過程中，a棒在磁場外，b棒作為電源，ab雙棒為“并聯”狀態，故電路總電阻

因b棒發熱量為0.8 J，故電路總發熱量

從b棒繃緊瞬間至b棒出磁場過程中，對ab棒系統運用動能定理

(ma+mb)gLsinθ-W克安=

(1)

W克安=Q總=1 J

(2)

v2=3 m/s

(3)

聯立式(1)～(3)可得

vt=4 m/s

對a棒和b棒系統(以下簡稱ab棒)運用動量定理

(ma+mb)gtsinθ-F安t= (ma+mb)(vt-v2)

(4)

(5)

聯立式(4)和(5)得

筆者思考：b棒在穿越磁場的過程中，經歷了怎樣的運動過程？速度隨時間如何變化？如果運動過程是確定的，產生的焦耳熱也必然是確定的．那么確實是0.8 J嗎？心存這3個疑惑，筆者從定性和定量兩個角度重新梳理了第(3)小題的分析思路．

1)定性分析

當ab棒之間的繩子繃緊后，a棒和b棒達到共速．若把b棒進入磁場的時刻記為t=0，則v0=3 m/s．此后，ab棒作為整體沿斜面向下運動．當b棒速度為v時，b棒受到安培力

代入數據得

而

顯然，在初始時刻(v0=3 m/s)時，導體棒受到的安培力F安0>(ma+mb)gsinθ，即ab棒向下做減速運動，由于速度和安培力的變化，所以導體棒做變減速運動．

2)定量探究

根據牛頓第二定律

(6)

式(6)經化簡得

(7)

求解式(7)得

(8)

由式(8)得ab棒整體的速度滿足

(9)

用Matlab軟件作出導體棒的v-t圖像和v-x圖像(圖3和圖4)，不難發現：導體棒ab的最終速度v趨向于0.5 m/s，但速度v達到0.5 m/s需經歷的時間t→+∞．這意味著，在有限的時間內，ab棒“極近穩態”而最終無法真正達到“穩態”，更不可能達到參考答案中所描述的速度v=4 m/s．

圖3 導體棒ab速度隨時間變化規律

圖4 導體棒ab速度隨位移變化規律

那么b棒在磁場中需運動多少距離，速度才能趨近于0.5 m/s？題目描述的磁場寬度L=1 m是否足夠讓b棒趨近于這個速度？因此有必要進一步探究b棒位移與速度關系．根據式(6)，變形得

(10)

化簡得

(11)

(12)

求解式(12)，可得b棒的位移速度關系

(13)

此方程為超越方程．利用計算機求解后發現：當b棒速度v比0.5 m/s大1%，即v=0.505 m/s，這之前b棒通過的位移x=0.466 9 m，還不到磁場寬度的一半.進一步分析可以發現，當x=1時，v=0.500 000 014 m/s，這個速度已經無限逼近0.5 m/s．可以認為，當b棒離開磁場時，速度已達到v=0.5 m/s．結合速度時間關系式(9)，可求得b棒通過磁場區域的時間

根據動能定理

(14)

代入

v≈0.5 m/sv0=3 m/s

可求得

W克安=Q總≈4.15 J

綜合上述分析，筆者認為題目第(3)小題題干中所給的焦耳熱數據是錯誤的，與實際的運動情境“不自洽”．

在上述“不自洽”問題嚴謹分析的基礎上，還可總結得到更加一般的規律．

一般模型：如圖5所示，水平導軌位于勻強磁場中，磁感應強度為B，導軌寬度為l，導軌右側接入電阻R，質量為m的導體棒置于導軌上(不計內阻)，在恒力F作用下，從t=0時刻開始，以初速度v0沿導軌水平向右運動．需經過多長時間導體棒速度變為v？此過程中導體棒的位移是多少？

圖5 一般模型圖

分析：當導體棒速度為v時，受到安培力

方向水平向左.

加速度

(15)

令

式(15)可簡化為模型

(16)

求解得

(17)

若F=0，則b=0.

式(17)化簡得

(18)

若要求導體棒位移，由式(16)變形得

(19)

(20)

求解得

(21)

若F=0，則b=0.

由式(21)得

代入k值，得

(22)

而根據動量定理

(23)

可以發現：由微分方程推導得到的式(22)和由動量定理推導得到的式(23)，在數學結果上“不謀而合”，說明兩種方法在本質上是等價的．從上述例題的分析不難發現，題設條件一旦給定磁感應強度B、導體棒質量m、電阻R、切割長度l、初速度v0、位移x這6個物理量，運動時間t和末速度v隨即唯一確定，因此過程中產生的焦耳熱也唯一確定，教師在命題時不能隨便給出焦耳熱的數據，這也是上述例題題設條件“不自洽”的根本原因.

進一步研究發現，在磁感應強度B、導體棒質量m、電阻R、切割長度l、初速度v0、末速度v、位移x，運動時間t這8個物理量中，只要其中任意6個量已知，其余2個量即唯一確定．

作為教師，在命題的時候要“站得高、看得遠”，切忌同時給出7個物理量作為已知條件，防止第7個量與其余6個量出現不自洽，犯“自相矛盾”的錯誤，在此與同行共勉．