帶電粒子在正交均勻的電磁場中的二維運動

白映祥

(甘肅省隴南武都八中 甘肅 隴南 746000)

在正交均勻的電、磁場中，沿與磁場方向垂直的平面射入的帶電粒子是否會處于平衡狀態？這是中學生常常提出的一個問題．本文在探討這個問題時，不考慮粒子所受的重力．

1 帶電粒子在正交均勻電磁場中的運動分析

設在空間某一區域內充滿著電場強度為E的勻強電場和磁感應強度為B的勻強磁場(圖1)，E⊥B，一質量為m，電荷量+q的粒子，以與B垂直的速度v0進入場內，v0與E的夾角為θ0．

圖1 帶電粒子射入正交均勻的電磁場

一般地說，該粒子將在與B垂直的平面內做曲線運動，為確定粒子的運動軌跡，我們取直角坐標系的xOy平面與B垂直，x的正方向與E的正方向一致，磁感應強度B垂直紙面向里，粒子進入場內時的點O為坐標原點．設粒子進入場內時開始計時，經時間t后它到達xOy平面內曲線OA上的P(x,y)點，此時粒子的速度v與E的正向的夾角為θ，于是我們有

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中

FE=qE

FB=qvB

由式(2)和(3)得

因為當x=0時

故

C1=mv0sinθ0

所以

(6)

由式(1)和(6)得

FE-qBvsinθ=

這個微分方程的解是

式中

令

則

x=-Acos(ωt+φ)+P

(7)

因為當t=0時

x=0

所以

P=Acosφ

(7a)

式(7)對t求導得

因為當t=0時

所以

v0cosθ0=ωAsinφ

(7b)

由式(7a)和(7b)得

而因為

有

積分上式得

(qBP+mv0sinθ0)t+C2

因為t=0時，y=0，所以

因此

(8)

下面進行坐標變換：

設

令

x′=x+l

由式(7)得

(9)

令

則由式(8)得

(10)

于是在新坐標系x′O′y′中，有

這是以ωt+φ為參變量的旋輪線參變方程．由此得知，帶電粒子在正交的勻強電場和勻強磁場中的運動軌跡是旋輪線.

這對應于

而當v0=0時，參變方程(9)和(10)簡化為

圖2 正電子在相互垂直的勻強電、磁場中的二維運動

這表明此時帶電粒子沿y軸做勻速直線運動．

2 帶電粒子在正交均勻電磁場中的受力分析

現在我們來考查帶電粒子在運動中的受力情況．

x有極值的條件是式(7)的導數為零

即當x有極值時，粒子的水平分速度為零，且

ωt+φ=2nπ,(2n+1)π,(n=0,1,2,3，…)

這時

因為粒子只具有沿y方向的分速度，所以作用在粒子上的電場力和洛倫茲力必在一直線上.

負號表示合力的方向跟電場強度的方向相反．

F′=FE-FB=

F″=FE-FB=

F″=FE-FB=

3 進一步的思考

最后應該指出，因為式(9)、(10)右端的第一項和第二項中都含有共同因子q，所以將q換為-q時，x′和y′同時變號，即-q粒子與+q的運動軌跡對坐標原點O′對稱．

下面是參考數據(以正電子為例)

m=9.1×10-31kg

q=1.6×10-19C

由圖2(a)有

l≈0.11 m

Aφ-Asinφ≈0.04 m

由圖2(b)有

l≈0.25 m

φ≈0.53π

由圖2(c)有

圖2為正電子在相互垂直的勻強電、磁場中的二維運動，具體數值如下.

在圖2(a)中曲線a-v0=0

曲線b-v0=2.0×107m/s

在圖2(b)中v0=4.6×107m/s

在圖2(c)中v0=1.0×107m/s