微積分在質點運動學兩類問題中的應用

丁嘉寧

(華北理工大學電氣工程學院 河北 唐山 063000)

大學物理是工科學生的一門基礎課程，力學是這門課程的開篇部分，而質點運動學又是力學的第一個模塊，因此，學好質點運動學對于大學物理課程的學習是至關重要的．教學參考書在這一部分寫的都比較簡潔，雖然教師對這部分進行了深入透徹的講解，但對于大學一年級學生而言，在微積分的應用上還是感覺比較困難，因此，對這一部分的總結歸納是十分必要的．

1 中學物理與大學物理在數學應用上的比較

運動學兩類問題是中學物理與大學物理的銜接部分，在這部分，中學使用的數學工具是加、減、乘、除，而大學用的是微積分，那么它們的聯系是什么？經過教師的講解，并認真思考后發現，除法和導數是對應的，它們都是平均的含義，除法是有限間隔的平均，導數是無限小間隔的平均；乘法和積分是對應的，它們都是求面積，乘法對應的是長方形的面積，而積分對應的是曲邊梯形的面積．

2 運動學兩類問題幾種常見題型

運動學兩類問題是根據速度和加速度定義式進行求導或積分的問題，一般是一維問題，即將矢量運算轉化成標量運算．如果已知變量是時間的函數，如a=a(t)、v=v(t)或x=x(t),問題比較簡單，直接求導或積分就可以．但如果自變量不是時間，而是速度或位置，就容易出問題．當教師講完速度和加速度定義式，讓學生做這樣一道題，已知速度v=x2，其中x為位置，求加速度a．剛看到這個題時，學生會覺得非常簡單，馬上寫出

當教師告訴學生正確結果是a=2x3，并強調加速度是位置對時間求導時，才意識到時間和空間的區別．同時教師幫助學生分析了得到這個錯誤結果的原因，在學習高等數學時，關注具體計算比較多，對自變量是哪個變量關注不夠，因為在數學上自變量沒有具體的含義，至于用什么來表示沒有區別．下面對以位置或速度作為自變量的幾種形式進行了總結.

(1)速度是位置的函數

同時注意到速度是位置對時間的一階導數，則有

當求運動學方程時，即求位置x隨時間t的變化關系，根據速度v的定義式

寫成積分形式

同時需要注意到，被積函數的自變量與積分變量的統一，則有

(2)加速度是位置的函數

加速度a是位置x的函數，即a=a(x)，當時間t= 0時，v=v0,x=x0，求速度v和運動學方程．根據加速度定義式，并寫成積分形式有

(1)

我們注意到，兩個積分變量分別為v和t，但被積函數的自變量為x，通過移項是不能完成積分運算的，這就需要根據物理量的定義或物理定律將變量v或t中的一個轉化成x，同時不能引入新的變量，如果能夠找到一個由速度v、時間t和位置x這3個變量定義的物理量或物理定律，問題就解決了．可以發現速度v是位置x對時間t的一階導數，將速度定義式寫成微分形式，即dx=vdt，通過移項得到

將上式代入式(1)中，并進行移項就得到了下式，即

(2)

這樣就可以進行積分運算了．再求運動學方程時，就變成了速度v是位置x的函數問題了．

【典型習題】均勻的柔軟鏈條，質量為m，長為l，一部分(l-a)放在光滑的水平桌面上，一部分(長為a)從桌面邊緣下垂，求鏈條末端離開桌面時的速度大小．

由于質量不變，力是鏈條下垂長度(位置)的函數，也就是加速度是位置的函數．如果桌面有摩擦，摩擦力和下垂部分重力均是位置的函數[1]．

(3)加速度是速度的函數

加速度a是速度v的函數，即

a=a(v)

當時間t=0時，v=v0，x=x0，求速度v和運動學方程．求解速度時，也需要根據加速度定義式，并寫成式(1)的形式，這時我們發現被積函數的自變量是積分變量v，通過移項就可以進行計算，即

(3)

計算運動學方程時，速度v是時間t的函數，直接積分就可以得到結果．

在習題中，一般是物體所受空氣阻力與其速率成正比或與其速率平方成正比[2-4]．在大學普通物理中，討論這類問題時，質量是不變的，阻力與其速率成正比或與其速率平方成正比，也就是加速度與其速率成正比或與其速率平方成正比．

3 結束語

在大學物理的學習中，質點運動學處于中學物理與大學物理銜接的關鍵位置，處理好中學物理與大學物理的銜接對大學物理的學習是十分重要的．在質點運動學中，大學物理與中學物理的重要區別就是對瞬時概念的理解，即對微積分概念的理解．本文討論了微積分的意義，以及微積分與乘、除法的關系；給出了速度或加速度是位置的函數，加速度是速度的函數等情況的具體求解方法．