利用PhET仿真軟件對量子力學中有限深勢阱的可視化教學實踐*

楊玉平 張曼曼 孫 瑋 胡周翔 劉 蓓 鄒 斌

(中央民族大學理學院 北京 100081)

1 引言

無限深勢阱是量子力學中最基本且重要的模型之一，對理解量子力學理論具有重要意義[1-2]．但在很多低維量子受限系統(如納米級金屬薄膜、單層石墨烯、分子束外延生成的多層薄膜量子阱等)中，無限深勢阱的理論結果總會有一定的偏差，而有限深勢阱模型與實際量子體系更加吻合，并廣泛適用．兩者在求解定態薛定諤方程時，最大的區別是系統的邊界條件不同，方程給出的能級結構和波函數形式也不同．但是，相較于多數經典量子力學教材[3-6]中詳細講解的一維無限深勢阱模型，一維有限深勢阱由于涉及頗為復雜的超越方程，在沒有計算機輔助的情況下只能定性地討論能級的取值范圍和個數，無法精確地確定能級和具體的波函數．對于N個勢阱情況，更是無法得出完整清晰的量子力學圖像，是教師教學和學生學習的一個難點．將有限深勢阱中微觀粒子的量子化行為可視化，可以輔助教學，幫助學生理解相關抽象概念，解決實際系統中的復雜量子力學問題．

隨著信息技術的進步、計算軟件及網絡的普及，涌現出多種虛擬仿真程序，以其逼真、準確、交互性強等特點，將信息技術與基礎物理學科、專業物理實驗等教學高度整合，為彌補傳統理論教學和實踐教學的不足提供了廣闊的空間．其中，PhET互動仿真平臺源于美國科羅拉多大學的物理教育科技(physics education technology,PhET)計劃，其實驗資源覆蓋學科(包括物理、化學、生物、數學和信息等)廣泛，且全球免費試用，提供簡體中文版本，等等[7]．在量子物理領域，PhET平臺提供了電子衍射、黑體輻射、光電效應、量子波干涉、量子束縛態、量子隧穿與波包等實驗，通過大量的圖像顯示、選擇按鈕和操作工具，可以幫助學生形象地理解科學概念，提高交互功能，增強學生的探究意識、自主學習和深度學習，提升教學質量與效能．2008年，文獻[8-9]探討了運用PhET仿真實驗對玻爾模型、隧穿效應的有效教學及其教學效果；2015年，文獻[10]運用PhET仿真實驗模擬了量子波干涉、量子隧穿和波包．國內外學者教學效果的評估發現，學生對于PhET接受度很高．但要達成有效的教學目標，還需要教師精心去設計教學活動，以引導學生進行觀察、測試、分析，并整合所學進行知識的建構．

本文結合一維有限深勢阱的具體示例，依據PhET仿真軟件提供的強大模擬功能，從求解微分方程、更新表達方式，通過圖像式直觀教學，拓展課程深度和廣度，攻克知識難點和課程難點，獲得正確的量子力學圖景．并以此為基礎，開展基于問題驅動的混合式課堂教學實踐，以期在有限深勢阱教學中提升學生的學習參與度，實現多元化教學目標．

2 一維有限深方勢阱

2.1 定態薛定諤方程

考慮在一維空間中運動的粒子，其勢能在一定區域內(x=-a到x=a)為零，而在此區域外，等于一個正數V0．求解定態薛定諤方程，利用系統的邊界條件，得到束縛態能級E滿足的超越方程為

(1)

其中

ξ=ka

η=βa

波函數的解有兩組，分別是奇宇稱解和偶宇稱解

(2)

(3)

圖1 圖解法求解得到的束縛態能級

2.2 PhET虛擬仿真結果與分析

假設微觀粒子為電子，質量為me=9.1×10-31kg，勢阱的底部為零，勢阱的深度V0=10 eV，勢阱的寬度2a=2 nm，利用PhET仿真平臺，計算得到的前3個本征態(束縛態)的能量本征值En、波函數Ψn和概率密度|Ψn|2的分布(包括勢阱兩側的超越方程)如表1所示．當E

表1 前3個本征態的En、Ψn和|Ψn|2

保持勢阱的深度(V0=10 eV)和粒子的質量(me)不變，改變方勢阱的寬度(從0.8 nm增加到2.2 nm)，能量E4、E5和兩者的能量差如圖2所示．

圖2 En隨勢阱寬度的變化

可以發現，隨著勢阱寬度的增加，能量本征值隨之減少，能級間能量差值也逐漸降低，體現出量子尺寸效應；發出光的頻率減小，對應波長增大，即出現紅移效應．同時，隨著方勢阱寬度的增加，能級數量逐漸增多．

不同勢阱寬度情況下波函數Ψn和概率密度|Ψn|2的分布如表2所示．隨著方勢阱寬度的增加，Ψn和|Ψn|2的寬度也隨之增加，且始終比方勢阱寬度略寬，說明勢阱外仍有概率分布；在確定寬度下，高能級概率分布躍出勢阱的比低能級概率分布躍出勢阱的要多．從式(1)來看：當|x|≥a時，波函數是呈指數衰減的形式，即Ψ(x)=Be-β|x|；高能級對應的β取值較小，衰減得要慢一些．

表2 Ψn和|Ψn|2隨勢阱寬度的變化

續表2

保持勢阱的寬度(2a=2 nm)不變，改變方勢阱的深度(從5 eV增加到15 eV)，電子的質量設為me，第5個本征態的E5、Ψ5和|Ψ5|2如表3所示．隨著勢阱深度的增加，能級的數量不斷增加．由式(1)可知V0的增加會引起r的增加，通過圖解法求解結果來看r越大對應能級數越多；此外，隨著勢阱深度的增加，每一能級對應能量值呈上升趨勢，但是存在極限值(無限深勢阱的束縛態能級En)．Ψn和|Ψn|2的寬度逐漸減小，但始終比無限深方勢阱寬度略寬．在確定寬度下，第5個本征態的概率分布躍出勢阱的比例隨勢阱深度的增加而減小；在無限深的情況下，勢阱外和阱壁處粒子(電子)存在的概率為零．從式(1)來看：當|x|≥a時，波函數是呈指數衰減的形式，即Ψ(x)=Be-β|x|；增加勢阱深度V0使得β值增大，衰減得要快一些．

表3 E5、Ψ5和|Ψ5|2隨勢阱高度的變化

保持勢阱的寬度(2a=2 nm)和深度(10 eV)不變，改變方勢阱中粒子(電子)的有效質量μ，第5個本征態的E5(加粗能級)、Ψ5和|Ψ5|2如表4所示．隨著粒子質量的增加，能級的數量不斷增加．由式(1)可知粒子有效質量μ的增加會引起r的增加，通過圖解法求解結果來看r越大對應能級數越多．此外，隨著粒子質量的增加，每一能級對應能量值呈下降趨勢；Ψn和|Ψn|2的寬度略有減小，但始終比方勢阱寬度略寬．在確定勢阱寬度和深度下，第5個本征態的概率分布躍出勢阱的比例隨粒子有效質量μ的增加而減小；從式(1)來看，當|x|≥a時，波函數是呈指數衰減的形式，即Ψ(x)=Be-β|x|；增加粒子有效質量μ使得β值增大，衰減得要更快．

表4 En、Ψ5和|Ψ5|2隨粒子質量的變化

3 有限深多勢阱

對于N個有限深勢阱中微觀粒子的束縛態能級和波函數，可以從定態薛定諤方程出發，由波函數標準條件導出波函數中待定系數滿足的(4N-2)元線性方程組．由線性方程組系數行列式等于零的超越方程計算出微觀粒子的能級，通過計算線性方程組的基礎解系求得束縛定態波函數[12]．每增加1個勢阱，定態波函數的求解區間增加2個：波函數增加兩端，確定能級的齊次線性方程組增加4個未知量[13]．

3.1 有限深多勢阱的能級

假設微觀粒子為電子，質量為me=9.1×10-31kg，勢阱的底部為零，勢阱的深度V0=20 eV，勢阱的寬度2a=0.5 nm，而中間勢壘寬度d=0.1 nm，利用PhET仿真平臺，計算得到的單個勢阱到3個勢阱的電子能級圖如表5所示．與單勢阱相比，雙勢阱的能級都是兩兩成對出現的，而三勢阱的能級都是三三出現的．以n=4的能級為例，單勢阱的能量值為16.33 eV，雙勢阱的能量值分別為15.82 eV和17.18 eV，三勢阱的能量值分別為15.45 eV,16.25 eV和17.56 eV，四勢阱的能量值分別為15.41 eV,15.91 eV,16.84 eV和17.81 eV．

表5 多個勢阱的能級En

續表5

圖3繪制了1～5個對稱勢阱的能級圖．

圖3 En隨勢阱數量的變化

可以看出，隨著N的增加，原來的單勢阱能級被分裂為N條，其中最小的能級低于原能級，最高的能級高于原能級；且隨著N的增加，能級分裂的寬度逐漸增大．值得注意的是，原來的一個能級分裂成為的N條新能級并不是等間隔的；當量子阱數目N越大，能級間隙越小；隨著量子阱數目N的進一步增加，最終可形成能帶．

當N=5時，保持勢阱的寬度(2a=0.5 nm)和高度(20 eV)不變，改變中間勢壘的寬度d，前4個本征態的能級圖和En的數值如表6所示．隨著勢壘寬度的增加，能級分裂的條數不變，但是能級分裂的間隔越來越小．以n=4為例，E4能級在d分別為0.05 nm，0.10 nm和0.20 nm時，對應的最高能級和最低能級差分別為4.54 eV，2.50 eV和0.86 eV．隨著中間勢壘寬度的進一步增加，最終能級分裂現象消失，能級分布與單勢阱的相同．

表6 概率隨中間勢壘寬度d的變化

3.2 有限深多勢阱本征態下的概率分布

無論是單勢阱還是多勢阱問題，定態的波函數都是以勢阱中心(x=0)為對稱軸的奇偶函數．其中，基態為偶函數，隨著能級的升高，定態波函數的奇偶性輪流呈現．限于篇幅，本文只給出單勢阱至三勢阱的前幾個本征態的概率密度|Ψn|2的圖形，如表7所示．與一維單勢阱相比，雙勢阱前6個本征態的|Ψn|2分別對應單勢阱的前3個本征態；成對能級對應的概率密度|Ψn|2相似，存在峰位的數量相同，主要差別在于中央波谷處幅度高低不同；雙勢阱的|Ψn|2關于中心(x=0)對稱分布，隨著能級增加，每一組簡并能級比上一組簡并能級增加2個峰位．此外與單勢阱|Ψn|2類似，勢阱寬度越大，每個能級 |Ψn|2的峰變寬；勢阱深度越高，每個能級|Ψn|2的峰變得更尖銳，峰寬變窄(表7未給出)．

表7 |Ψn|2隨勢阱個數N的變化

與一維單勢阱相比，三勢阱前9個本征態對應的|Ψn|2分別對應單勢阱的前3個本征態．與雙勢阱有所不同的是，三重能級中最高能級和最低能級對應的概率密度|Ψn|2相似，存在峰位的數量相同，主要差別在于中央波峰(或波谷)處幅度高低不同；但是，中間能級的峰位數量和中央波峰(或波谷)處幅度高低與最高能級和最低能級存在顯著不同．此外，不同三勢阱的|Ψn|2也是關于中心(x=0)對稱分布，隨著能級增加，每一組簡并能級比上一組簡并能級增加3個峰位．此外，與單勢阱|Ψn|2類似，勢阱寬度越大，每個能級 |Ψn|2的峰變寬；勢阱深度越高，每個能級|Ψn|2的峰變得更尖銳，峰寬變窄．

4 教學過程

采用線上線下混合式、翻轉課堂的教學形式開展線上預習、虛擬仿真實驗和課堂展示，在增加學生線上線下課堂參與度的同時增加學生對教學內容的思考，實現有效學習．

4.1 課前預習

課前預習環節，教師給出本節課的學習重難點以及注意事項，學生根據教師給出的學習單進行線上視頻學習和虛擬仿真，以小組學習的方式，每位學生負責相應的任務點，準備在翻轉課堂上，以“教師”的角色進行備課和內容講授．本節給出的學習單提綱如下：

(1)有限深單勢阱

1)給出前3個本征態(束縛態)的能量本征值En、波函數Ψn和概率密度|Ψn|2的分布(包括勢阱兩側的超越方程)，驗證課上的理論推導結果．

2)改變方勢阱的寬度，并描述En的變化(最好定量)，解釋量子尺寸效應．

3)改變方勢阱的寬度，并描述Ψn和|Ψn|2的變化，解釋這些變化．

4)改變方勢阱的深度，并描述En、Ψn和|Ψn|2的變化，解釋這些變化．

5)改變粒子的質量，并描述En、Ψn和|Ψn|2的變化，解釋這些變化．

6)保持方勢阱的深度(V0)不變，當阱內的勢能U(x)分別大于、等于或小于零時，其En、Ψn和|Ψn|2的變化有哪些？解釋這些變化．

(2)有限深多勢阱

1)與一維單勢阱相比，描述束縛態的能級(En)結構發生了哪些變化？

2)與一維單勢阱相比，描述束縛態的Ψn和|Ψn|2發生了哪些變化？

3)改變寬度和深度，束縛態的能量本征值(En)發生了哪些變化？

4)改變寬度和深度，束縛態下Ψn和|Ψn|2發生了哪些變化．

以問題為導向的小組學習更能激發學生對實驗的興趣，以更開放、更靈活的方式強化學生對量子物理有限深勢阱問題的探究與思考，增加學生對于教學內容的思考量．

4.2 翻轉課堂

教學過程中，學生是學習的主體，教師更多地扮演一個“主持人”的角色．學生根據自己的備課內容，結合PPT對授課內容進行詳細的講解．PhET虛擬仿真平臺把抽象的科學概念(能級、能帶)和不可見的微觀事實(如波函數、概率)可視化，同時提供了增強理解的動態化模型；學生在授課過程中可以現場演示并解釋實驗結果，體驗直觀、逼真的實驗過程；也可以基于查閱的文獻，結合微分方程的求解結果進行分析．教師的職責主要是對學生講解過程中漏掉的內容進行補充，對學生講不透的內容進行解析，對需要重點理解和需要拓展的知識點進行強調，以及最后答學生問．最終達到抽象與形象、理論與實驗相結合的目的．

4.3 課后

在課后教師鼓勵學生跨組交流，查閱文獻，進一步完善小組任務；最終，以小組為單位提交一篇研究報告．總之，基于學習單預習、虛擬仿真、小組討論、翻轉課堂、教師講授、提交報告等形式，有效提高了學生的參與度和課堂教學質量．

5 結論

本文借助PhET虛擬仿真平臺，對一維有限深勢阱問題進行了可視化研究，并將一維有限深方勢阱結論拓展到多勢阱情況，強調了量子力學教學中有限深勢阱問題的重要意義．通過圖形和視頻，形象地給出了一維有限深勢阱的能級結構和粒子在阱內的概率分布，使得學生能夠直觀理解能量量子化的形成以及延伸出對一維光子晶體、超晶格、固體能帶復雜量子力學體系的理解，從而為學習和應用量子理論體系建立一個牢固可靠的認知基礎．