巧借幾何畫板，構建小學數學高效課堂

鮑慶賀

［摘? 要］ 幾何畫板作為現代化教學過程中的一種軟件工具，有著強大的功能，廣泛地應用在空間幾何以及數與代數領域。借助幾何直觀可以幫助學生深入理解復雜、枯燥的概念內涵，自主探索內在規律、性質，提升解題能力，提高思維水平，構建高效課堂。

［關鍵詞］ 幾何畫板；概念教學；規律探索；高效課堂

隨著現代信息技術的發展和進步，數學學習與信息技術的結合越來越緊密，信息技術在數學課堂中的應用亦越來越廣。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，數學課程的設計與實施應重視運用現代信息技術，要注意將信息技術與數學課程進行適當整合；教育信息化2.0行動也強調了信息技術對教育的促進作用。

小學階段的很多內容都可以借助信息化工具來提升學習效率，幾何畫板就是一款非常實用的教學輔助軟件。將幾何畫板應用于課堂教學，讓學生觀察圖形的運動和變化過程，可以從中找尋變化中隱藏的“變與不變”，探索規律，幫助學生學會學習。運用幾何畫板可以幫助學生直觀形象地理解數學、學習數學；可以拓寬學生思維，調動學習積極性，讓學生的抽象思維和形象思維同步發展，以提升學生學習數學的能力，提高學生綜合素養。

[?]一、用幾何畫板深化知識理解，將概念學習化抽象為形象

小學生思考問題主要是以形象思維為主，抽象思維還沒能得到完善發展，對于一些難以理解的知識性概念、抽象性知識學習起來還是有一定的難度。而幾何畫板可以將一些抽象的內容直觀、形象地呈現出來，讓學生在學習過程中化抽象為直觀，化深為淺，降低概念學習的難度，透徹理解概念，掌握知識，應用起來才會得心應手。

1. 動態演示，直觀呈現點到直線的距離

蘇教版四年級上冊有關“點到直線的距離”這一概念教學中，先是讓學生從直線外一點向直線畫幾條線段，再讓學生觀察，發現垂直線段是最短的。當然，學生根據已有的、模糊的生活經驗，也可以得知垂直的時候是最短的，但原因是什么？如何理解其深層含義呢？學生卻無法說清楚。

借助幾何畫板，就可將直線外一點B與直線上任意一點A構造出線段，同時度量線段的長度、兩條線之間的夾角。拖動直線上任意一點A在直線上任意移動，學生便能觀察到角度與線段AB長度的動態變化：隨著夾角的變化，線段的長度也在發生變化。當夾角變大時，線段AB的長度（即兩點間的距離）逐漸變小；當夾角為 90°時，線段最短；再次移動點A，所形成的夾角逐漸變小，而線段AB的長度卻逐漸增加。學生在觀察中思考，便能得出結論：連接直線外一點與直線上任意一點，當線段與已知直線互相垂直時，線段最短。

借助幾何畫板的演示，學生就能觀察到線段由長逐漸變短再逐漸變長這樣一個連續的變化過程，也可以看到實時測量的數據，更能直觀感受到這條線段與直線垂直時最短，“點到直線的距離”也就順勢呈現出來了。

2. 軌跡追蹤，感受圓的“一中同長”

圓是小學階段所認識的第一種曲線圖形，也是所有平面圖形中比較難理解的圖形。《墨子》記載：“圓，一中同長也。”教學時可借助幾何畫板體驗“一中同長”（如圖1）：選一點A保持和圓心O距離不變，繞圓心旋轉，學生從直覺上便能感覺到圓；再追蹤點的運動軌跡，便能看到圓的形成。

接著，在圓上取若干個點并同圓心分別構造出線段，通過度量這些線段的長度，明確這些線段是等長的。學生經歷這樣的探索、觀察后便會發現：圓是由無數個點圍成的，將圓上的點與中心連接起來可以得到無數條線段，且這些線段長度相等……由此，學生對圓的形成就有了更直觀的感受，對圓概念以及圓與半徑、直徑之間的關系也就有了更深的理解和認識。

借助幾何畫板度量、追蹤點的痕跡等相關功能，可以動態、直觀地呈現出圖形的變化過程，可以將一些與之相關的概念性知識顯性地呈現出來，以幫助學生更好地理解概念。學生經歷了這樣的學習與探究過程，對概念的認知也就更加深刻，真正意義上掌握了這些概念。

[?]二、借幾何畫板提升思維力，把規律探索由記憶變理解

學生自主經歷一些規律的探索過程，可以鍛煉思維水平，提升解決問題的能力，對學生整體能力的提升都有非常大的幫助。教材中也會經常涉及一些探尋內在規律的內容，比如和、差、積、商的變化規律等。雖然難度不是太大，學生通過觀察能夠得到一些相關規律，但他們并沒有真正理解其內涵，還停留在模糊的階段，最終將規律學習變成了記憶為主。這樣的規律應用起來也并不是那么得心應手，所以這一類內容考查的時候正確率都不會太高。

這主要是因為學生對直接講授的教學并沒有直觀的感受，教師雖然已經講解得非常細，但還需要一定的抽象思維將規律內化為自己的知識。如果教學過程中借助幾何畫板，將規律的探索過程通過圖形、數據等形式呈現出來，學生對此就會有一個更深刻、明確的認知，就能真正理解相關規律，思維能力必定會得到相應的發展。

比如，蘇教版四年級上冊“解決問題的策略——列舉”這一課主要是學生借助例題來探索出規律并應用規律。教材中給出22根1米長的小棒，圍成一個長方形，讓學生找尋面積最大的長方形。學生想要找到最大的長方形，則必須按順序列舉出能圍成的所有情況，然后再算出所有的面積，比較后找出面積最大的長方形。但是如果只是讓學生觀察列舉出的部分數據，那么思維比較薄弱的學生往往不能理解“差小積大”這一句話，想要應用這一結論去解決問題，更顯得比較困難。

在幾何畫板中構造一個周長不變的長方形，拖動其中一個頂點以改變長方形的長和寬，讓學生在操作中觀察，發現長和寬在變，面積也在變化，隨著長變小、寬變大，面積也在逐漸變大；當長和寬相等時，面積是最大的。

學生在學習過程中經歷這樣的操作，便可直接觀察到形狀的變化、長和寬的變化以及面積的變化，繼而發現規律，學生對規律的理解也會更深刻。在此基礎上再發散學生的思維：“如果脫離情境不去考慮圖形，觀察這兩個數，你又能發現什么？”此時學生看到的就不再是長和寬，而是變成了兩個數，它們的和是一定的，隨著兩數的變化，積也在相應地發生變化，最終得出“差小積大”這樣的結論。

學生在探索規律的過程中，可以借助幾何畫板，將驗證規律的過程在幾何畫板中進行操作，使規律呈現得更為直觀，學生在理解上更加深刻；不僅如此，借助幾何畫板，還可以解決相應的問題，發現內在規律，并運用規律解決其他問題，挖掘隱藏更深的發現，拓寬思維視覺，提升個人解題能力和思維能力。

[?]三、借幾何畫板探新知，在動手操作中構建實驗課堂

數學知識有些可以通過講解、分析訓練來獲得，掌握起來也比較容易；但有些內容若只通過講解、傳授，學生并不能真正意義上學會相應內容，有時需要實驗、操作等方法，讓學生經歷知識探索的過程，才能加深對知識內容的理解和認識，幫助學生從內涵深處理解教學內容，才算真正掌握。對于這些內容，教師可以借助幾何畫板，把數學課堂變成實驗課堂，讓學生親身經歷“探索→發現→獲得新知”的過程。

例如，對于三角形三邊關系，由于可使用的教具有限，呈現在課堂上就比較抽象，想要學生能夠理解第三邊的范圍，是有一定難度的。所以多數學生在學習這一內容時，雖能解決部分問題，但是根本沒有真正理解為什么第三邊要大于兩邊之差、小于兩邊之和，這也是現階段課堂普遍存在的問題。想要制作出一個實用的、幫助學生理解三邊關系的教具，確實不太容易。但如果借助幾何畫板演示第三邊的變化范圍，學生就比較容易理解，掌握得也會比較扎實。

過點A構造線段AC長8厘米→以點A為圓心，5厘米為半徑構造圓→取圓上任意一點B→隱去圓→連接AB。這樣操作便可以得到一條固定5厘米長的線段，三角形的三個頂點和兩條邊也就出現了。接著，連接BC并度量出長度，再拖動點B進行移動。學生在這樣一個動態的演示過程中觀察、想象，發現：隨著兩邊之間角度的變化第三條邊也在變化，角越小第三邊就越短，角（這里所說的角均指兩條線段之間所成的優角）越大第三邊就越長（如圖2）。這樣，學生對第三邊的長度就有了一個初步感知。

接下來，需要學生去猜想第三邊的范圍：第三邊雖然在不斷變化，但它的長度并不是無限制的，它有什么范圍？與什么有關系呢？雖然有了長短的變化過程，但要想準確說出第三邊的范圍，還需要一定的抽象、概括能力，這對大多數學生來說還有一定的難度。這時拖動點B呈現出兩種極端情況——三點共線，再引導學生觀察這時線段AC的長度分別是多少。學生會發現：當點B在點A和點C之間時，線段AB與BC合起來就是線段AC，即第三邊的長度就是另外兩邊之差；當點B在AC的另一側時，線段BC由線段AB和線段AC組成，即第三邊的長度就是另外兩邊的和（如圖3）。

最后，可以再追問：線段BC的長度可以是4厘米、5厘米、12厘米等整厘米數，還可以是哪些長度？學生在追問中便會繼續思考，發現BC的長度并不局限于整厘米數，而是在3厘米～13厘米之間的所有數都可以，巧妙地將隱含其中的極限內容借助圖形直觀呈現出來。繼而引導學生總結：三角形第三邊的長度可以是介于兩邊之差與兩邊之和的所有可能。

學生是學習的主體，教師作為學習過程中的組織者、引導者，可以借助幾何畫板，為學生創設一個自主探索、動手實驗的課堂。學生在這樣的課堂中，既可感受到自己的主體地位，又能在探索、實驗中學習新的知識，做到深度學習，讓學習真正發生。

[?]四、提升自身素質，助力高效課堂

幾何畫板作為現代化教學過程中的一種軟件工具，既可以幫助學生深入理解概念內涵，發散學生思維；也可以為他們創設一個實驗場所，引導學生自主探索隱藏在深處的規律、性質等。在這樣的課堂中，學生分析問題、解決問題的能力會逐漸提升，學習興趣也會越來越濃，綜合素質逐步提升。

作為信息化時代的教師，我們需要學會結合幾何畫板中的功能來輔助教學。這就需要教師提升自身素質，熟練掌握幾何畫板中的各項功能，仔細研究教材、分析教學中的重點、難點，將教學內容與幾何畫板有機結合。學生在這樣的課堂中，便可通過動態演示、深入思考、操作探究等方式提升學習興趣、提高解題能力，學生的學習也就更高效！