分類討論思想在初中數學解題教學中的運用

摘要：分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想對于簡化研究對象、發展學生思維有著重要作用．它依據數學研究對象本質屬性的異同點，將數學對象分為不同種類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解.

關鍵詞：分類討論;解題教學;數學問題

初中各個階段都會出現應用分類討論思想解題的題型，它可以有效拓寬初中生的學習思路，培養數學思維，它是一種數量關系，也是一種空間關系，簡言之，就是一種思維的產物.分類討論思想能幫助初中生用更加系統的方式去認識世界和感知世界，并結合自身的知識體系證明和總結世界中的數量關系；且它在中學數學中的應用率極高，代數和幾何中都有這種類型的思考模式，能有效、細化地解決問題，探究更多解題思路［1］.本文中將對初中數學教學中分類討論思想的現狀及發展策略展開具體論述.

1 初中數學教學中分類討論思想的步驟

1.1 提出數學問題

有關分類討論思想的數學問題在初中數學習題中的應用比例是比較高的，將來在高考中也會占有較大的比重，同時，其具有邏輯性強、探索性強、可訓練思維等特點，能有效培養初中生的數學綜合能力.但這部分內容雖然重要，學生卻很容易忽視，因此，初中數學教師必須對學生有正向的引導和激勵，幫助學生建立正確的數學思維，端正數學態度，提高數學綜合能力.

1.2 分析數學問題

對于數學學科的練習題，初中生必須要對題目有所了解并進行分析，通過正確讀題，將已知條件整理出來，并對已知條件進行拆解和分析，將問題拆解為不同的可能，并對每一種可能都進行探索和思考.

1.3 解答數學問題

數學習題的解答，一定都是嚴謹而有邏輯的一個過程，對于解答分類討論問題的方法和步驟，也具有相應的策略.在解決數學問題時，首先要確定題目所考查的對象、出題人的目的、問題主要基于哪些知識點，學生在搞明白這些要素之后，再對所考查的問題進行分類，將問題中的對象拆分出來，把所有出現的可能都一一列舉，之后再按照問題的要求進行分類討論，并在討論中總結出每一步的詳細解答過程，最后，將所有的分類結論進行總結，整理出對這一類題目的解題方法，這樣學生以后再遇到類似的題目，就能舉一反三［2］.

2 初中數學教學中分類討論思想的策略

初中生相較于小學生，具有更多的自我認知和思想情感，對數學問題的認識存在著一定的自我傾向，因此對數學問題理解不夠完整，教師在課堂講解中，應該幫助學生提高對數學問題的理解能力，并對題目進行有效的剖析和整理，厘清解題思路，最終建立良好的分類討論解題步驟.教師在此過程中責任重大，下面就數學分類討論思想在幾何、函數和方程中的運用展開具體論述.

2.1 在幾何中的運用

在初中數學中，幾何題型占據的比例是比較大的，分類討論思想主要集中在幾何圖形規律、性質的討論上.教師在對學生進行分類討論思想的教學時，可以讓學生先回憶相關基礎知識，然后再讀題解題，這樣能將數學體系一項一項打通，形成一個完整的閉環，讓學生在閉環之中尋求解決問題的思路.

例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，且點E將AD分為2∶3的兩部分，連接BE，AC相交于點F，請求出△AEF與△CBF的面積比.

教師引導學生帶著題目去讀圖，并將已知線段的數量關系標注在圖形之中，比如AD的2∶3兩個部分就可以在AE段標注2，在ED段標注3，根據三角形面積比等于相似比的平方以及△AEF∽△CBF，可以求出二者之間的面積比為4∶25.但到此題目并未完成，因為AD段的2∶3也可能是AE為3，ED為2，因此，必須通過分類討論進行解答，最終得出4∶25和9∶25兩個答案.

對于這道幾何題目，如果學生只是對圖形產生固化的思維，就會忽略掉第二個答案.因此，需要教師幫助學生突破被圖形固化的思維領域，只有學生對圖形產生質疑，才能對幾何類問題有分類討論的想法.想要強化學生運用分類討論思想的能力，一定要讓學生進行多次練習，同時要讓學生明白，認真讀題、提取其中模糊信息是解題過程中極為重要的環節［3］.

2.2 在函數中的運用

函數作為初中數學乃至高中數學的重點學習內容，不管函數具有什么樣的特性，教師在課堂教學中都應該鼓勵學生對相關問題進行思考.相較于幾何題型，函數題目更具有抽象性和迷惑性，教師在講授時，應對學生的思維方向進行整合，并展開有效的課堂討論.

2.3 在方程中的運用

方程最早出現在小學四年級，是為了解決較為困難的問題而產生的.因此，對于方程的題型，初中生大多會覺得具有一定的難度.基于此，教師應考慮到學生的身心發展，同時在課堂上對學生進行有效引導，讓學生不要忽略任何一個可以進行分類討論的點，同時讓學生不要對方程產生混亂和遺忘.

例3等腰三角形一條邊的長為3，它的另兩條邊的邊長是關于x的一元二次方程x2-12x+k=0的兩個實數根，求k的值及等腰三角形三邊長.

對于例3，審題十分重要，教師應該引導學生先了解出題人的意圖.首先，等腰三角形一條邊長為3，那么這條邊可能為腰，也可能為底，因此，此題需要進行分類討論：

（1）若邊長為3的邊是腰，那么將3代入方程就可將方程化簡為9-36+k=0，計算出k=27.之后將k的值代入方程求得一元二次方程的兩個實數根為3和9，那么等腰三角形的三條邊分別為3，3，9.但因為3+3＜9，無法構成三角形，因此，這種結論是不對的.

（2）若邊長為3的邊是底，那么一元二次方程的兩個實數根應該相等，即x1=x2.由Δ=144-4k=0，得k=36，再將k=36代入到原方程中，得x1=x2=6，那么三角形的三條邊為3，6，6，這就是題目中所要求得的等腰三角形三邊的長度.

初中數學教學，不僅要建立在初中數學基礎之上，同時要為學生打造更加全面系統化的認知體系，讓學生擁有對問題的綜合考查能力和解決能力，還應在課堂上加大對初中生的引導，讓學生明白問題的解決存在多種情況，而只有將分類進行通盤考慮，才能在多次重復練習的過程中，養成分類討論的良好習慣.同時，學生在進行分類討論思想建構的過程中，還能培養出對待人、事、物更為周全的能力，提高其在事情處理過程中的統籌能力，在數學學習和日常生活中互相促進，最終讓初中生在數學學習過程中，能正確、有效地運用分類討論思想［4］.

參考文獻：

·[1·]張福生.初中數學分類討論思想的教學建議·[J·].中學數學教學參考，2016（33）：28-29.

·[2·]付軍.初中數學教學滲透數學思想的策略·[J·].中學教學參考，2020（26）：11-12.

·[3·]張雪梅.關注幾何圖形的多樣性 凸顯分類討論思想——分類討論思想在解題中的應用及思考·[J·].中學數學，2014（8）：52-53.

·[4·]姬文鵬.基于“對分課堂”與高階思維培育融合的教學實踐研究——以“分類討論思想在等腰三角形中的運用”為例·[J·].中學數學，2021（24）：3-4.