在圓中利用三點共線求最值

摘要：最近幾年，在圓中討論線段長的最大值或最小值問題越來越常見，而學(xué)生解決這類問題的能力依然不足.在這一矛盾前提下，探索求與圓有關(guān)的線段最值的方法顯得尤為重要.本文中以圓的有關(guān)知識為基礎(chǔ)，嘗試?yán)萌c共線的方法解決與圓有關(guān)的線段最值問題.

關(guān)鍵詞：圓；三點共線；最值

圓是中考重點考查的內(nèi)容，其涉及的知識點非常多，極易綜合起來形成壓軸題.本文中選擇求線段最值這一壓軸題的?？夹问剑瑖L試?yán)萌c共線加以解決.之所以如此，一方面是為了不斷拓展與圓的綜合，另一方面是為了呈現(xiàn)更豐富的解決問題策略，尤其是在探究解決策略的過程中幫助學(xué)生逐漸形成動態(tài)觀念.

1 三點共線理論模型解析

三點共線是數(shù)學(xué)幾何部分非常重要的內(nèi)容，也是本文中討論求線段長最值的方法.但是，很多學(xué)生仍然存在“為什么三點共線的情況下線段才最短”等疑問.鑒于本文是討論如何利用三點共線求與圓有關(guān)的線段最值，三點共線是理論基礎(chǔ)，所以有必要在此對三點共線的理論模型進(jìn)行解析.

3 總結(jié)與啟示

通過上述兩道中考題的解析發(fā)現(xiàn)，在圓中利用三點共線求最值需經(jīng)過以下步驟：

首先，根據(jù)點的不確定性分析出“隱形圓”.如圖4、圖6中都利用了“隱形圓”分析問題，這是因為點C或點E的位置在變化的過程中BC或BE的長保持不變，這完全符合圓的定義，所以這類問題中往往包含著一個“隱形圓”.

其次，分析另一個點是在“隱形圓”內(nèi)或外，還是在“隱形圓”上·[1·].然后根據(jù)上文“平面內(nèi)的點與圓上一點形成三點共線”中的三種情況對號入座，即可分析出線段長最小值或最大值的情況.

當(dāng)然，解決這類問題還需要空間想象能力及動態(tài)觀念，畢竟像C，E這樣的點的位置是在不斷變化的，需根據(jù)它們的動態(tài)變化特點想象出具體情況、分析出符合題意的點的位置·[2·].所以，也啟示教師在日常教學(xué)中要注意學(xué)生這方面素養(yǎng)的培養(yǎng).

處于初中階段的學(xué)生，具備了一定的空間想象能力，對他們分析以上類型的動態(tài)問題提供了一定的幫助.但是，這個階段的空間想象能力也存在一定的局限性，這主要是因為動態(tài)觀念對其產(chǎn)生了束縛，使得很多學(xué)生在對圖形的運動情況進(jìn)行想象之后，無法畫出與之匹配的圖形.此時，教師可借助幾何畫板等軟件將學(xué)生原本想象的內(nèi)容直觀地呈現(xiàn)出來，如幾道例題中“三點共線為什么可求得最小值”等，讓學(xué)生在呈現(xiàn)的過程中逐步產(chǎn)生動態(tài)觀念，幫助學(xué)生產(chǎn)生解題思路.

總而言之，圓的問題在考查時形式多樣，在圓中利用三點共線求最值只是其中一類.要想學(xué)生的綜合素養(yǎng)不斷提升，教師在教學(xué)時不能只停留在知識傳授與鞏固方面，要始終不斷地培養(yǎng)學(xué)生的素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

·[1·]李玉榮.三點共線 破解最值·[J·].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（10）：13-16.

·[2·]徐洪金，丁冬.例談圓中的最值問題求解策略·[J·].理科考試研究，2021（10）：16-18.