重視教材經典問題，精心預設專題復習

摘要：教材上有很多經典問題，但是常常分散在各冊、各章的例題或習題之中，在新授課期間往往是“零散”出現，不利于學生整體理解、對比分析、深度學習．本文中闡述了在復習課或專題課時，圍繞教材上的經典問題進行“學材再建構”，聚集主線，促進學生學深、學活、學透．

關鍵詞：教材經典問題；專題復習；籬笆圍矩形

1 從教材中“籬笆圍矩形問題”說起

人教版九年級上冊教材第49頁“實際問題與二次函數”安排了一個“探究1”：

探究用總長為60 m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化．當l是多少時，場地的面積S最大？

這個問題運用二次函數模型可以很快解決，作為這類問題的變式，教材在第57頁該章的復習題安排了以下一道習題：

習題如圖1，用長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18 m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

求解這道習題時只要設圍成的矩形菜園寬為x m，由面積公式寫出菜園面積S與x的二次函數解析式，即可求解出結果．整理解題過程時，教師一般都會提醒學生將得到的數據代入問題情境中進行檢驗，比如此時矩形菜園的長是否超過墻長，從而確認是否符合情境，最終完成這道習題的解答．作為現實生活中的經典問題，為了拓展學生的解題視野，促進學生感悟“從特殊到一般”的數學思想方法，筆者從教材中這兩道問題出發，設計了一節“籬笆圍矩形問題”專題課，取得了較好的教學效果.接下來先概述這節課的教學流程，再給出教學立意與教學思考，給大家提供專題課例的研討．

2 “籬笆圍矩形問題”專題課教學流程

教學環節一：再看教材問題.

提問：同學們前面都練習過教材上第49頁的“探究”（上文提及）和第57頁的“第7題”（上文提及），現在請大家再想想這兩道習題之間有怎樣的聯系，又有哪些不同？你們可以看出它們哪些地方體現了數學的一致性？

預設：學生容易想到運用二次函數模型來解決最值問題，先設出一個未知數x，然后將其余的未知量用含x的式子表示出來，列出面積S關于x的二次函數關系式，最終求出最值．不同點在于第57頁的第7題中，圍成的矩形有一邊靠墻，只要考慮三邊使用籬笆的長度．

學生交流之后，可進一步追問：教材第49頁的“探究”問題中圍成的矩形還有什么特殊之處嗎？（正方形）第57頁第7題中圍成矩形菜園的長寬之比如何？圖2（長寬之比正好是2∶1）如果將墻看成是一面鏡子，補出鏡子中的虛像（如圖2），這時的“兩個”矩形菜園拼成了什么圖形？（正方形）

設計意圖：安排學生再思考教材中的例習題，帶領學生回顧反思這兩道問題之間的聯系與不同，感悟“同與不同”，特別是從“正方形”的角度看出它們之間的一致性．為本節課中后續問題的解法探究做好鋪墊．

教學環節二：拾級而上，變式探究.

問題利用一面墻，墻的長度為l m，用60 m長的籬笆圍成一個矩形菜園，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？

（1）當l＝20時，有兩種可能的方案（如圖3、圖4），請分別按兩種方案計算圍成矩形菜園的面積的最大值；

（2）當l＝18時，分析圍成矩形菜園的面積的最大值；

（3）當l＝40時，分析圍成矩形菜園的面積的最大值；

（4）根據l不同的取值，分析圍成矩形菜園的面積的最大值．

教學預設：

（1）先來分析圖3的方案.設垂直于墻的矩形邊長為x m，則平行于墻的矩形邊長為（60－2x）m.由60－2x≤20，且60－2xgt;0，解得20≤xlt;30．設圍成矩形的面積為S，則有S＝x（60－2x）．整理，得S＝－2（x－15）2+450．當20≤xlt;30時，S隨x的增大而減小，所以當x＝20時，S有最大值400．

再來分析圖4的方案.設垂直于墻的矩形邊長為x m，則平行于墻的矩形邊長為（40－x）m，且0lt;x≤20．設圍成矩形的面積為S，則有S＝x（40－x）．整理，得S＝－（x－20）2+400．當0lt;x≤20時，S隨x的增大而增大，所以當x＝20時，S有最大值400．

（2）仍然借助圖3、圖4，“重復”（1）中的分析方法，分兩種情況計算出不同方案圍成矩形菜園面積的最大值分別為378 m2和380.25 m2．

（3）繼續借助圖3、圖4，“重復”（1）中的分析方法，分兩種情況計算出不同方案圍成矩形菜園面積的最大值分別為450 m2和400 m2．

（4）需要“分類討論”.

解后反思：可以發現，隨著墻長度的變化，圍成矩形菜園面積的最大值也在發生變化.當0lt;l≤20時，圍成正方形菜園的面積最大；當20lt;llt;30時，“用足”墻長l時（作為矩形菜園的一邊）時，圍成的矩形面積最大；當l≥30時，圍成矩形鄰邊長分別是30 m，15 m時，把墻想象成鏡面·[1·]，反射過去，與鏡前部分合成一個邊長為30 m的正方形．

教學環節三：課堂小結，布置作業.

小結：通過本節課的學習，你對利用一面墻圍矩形問題，有了哪些新的認識？可結合本節課所練習的習題交流解題心得．

布置作業：根據學情選編1～3道同類問題，供學生進一步鞏固訓練，限于篇幅，本文不再贅述．

3 關于教材經典問題變式教學的一些思考

（1）重視教材經典問題的整理與對比分析

我們常常見到很多教師在進行新授課的備課時，十分重視研究教材，深入解讀教材上概念的引入方式，探究教材上例習題的教學功能，充分體現了“用教材教”的教材加工轉化能力;然而在上一些習題課或復習課時，卻常常將教材置之一邊，摘編一些各地考題、熱點問題作為復習課或習題講評時的“學材”．筆者認為，不論是章末復習課、單元復習課、期中（末）復習課，還是中考復習課，都要十分重視對教材的研究，特別是對教材上經典問題的整理和對比分析.具體來說，有些經典問題會在不同教材的分冊上多次（反復）出現，這時教師要將它們挑選出來，進行對比分析，厘清在不同復習階段對這類經典問題的變式與拓展方法，體會“螺旋上升”的教學要求．順便指出，除了上文關注的“籬笆圍矩形問題”之外，教材上的經典問題有很多（詳見文·[2·]），比如“分段收費”問題，分別出現在七年級“一元一次方程”“一元一次不等式”的學習中，在八年級“一次函數”中還會繼續研究．

（2）圍繞教材經典問題預設專題復習課

在整理、對比分析教材上的一些經典問題之后，教師可圍繞這些經典問題預設專題復習課，體現回歸教材、聚焦主線的設計理念．在設計這類專題復習課時，除了“找齊”教材上同一類經典問題的不同出處，還需要適當關注各地中考試卷中對這些經典問題的變式考查，這樣可以豐富專題課的選題來源．在預設專題復習課時，還要注意按由易到難、漸次展開的方式推進教學進程．考慮到上復習課時，學生對有些經典問題已練習過，對于簡單的設問可以采用留白的方式，讓學生參與問題設計與解答，體現開放式教學．而在變式與拓展的教學環節，教師要進行必要的干預和引導，使變式與拓展圍繞本節課主線展開．比如，復習二次函數的有關經典問題時，如果學生參與設計的問題偏離了本課復習主線，設計出與平面幾何綜合的較難問題時，可以提醒學生“這不是本課關注的重點”，以避免出現“踩著西瓜皮，滑到哪里是哪里”的情況．

參考文獻：

·[1·]單墫.代數的魅力與技巧·[M·].中國科學技術大學出版社，2020：296.

·[2·]王小林．關注經典問題教學：值得重視的教研主題——從李大潛院士“懷念徐質夫老師”說起·[J·]．中學數學月刊，2019（8）：19-20．