預設促思生成資源，課堂深學靈動發展

摘要：在生成性教學思想指導之下，勾股定理的教學憑借預習生成教學資源，引導學生主動探求新知，深度思考問題，領悟勾股定理驗證的數學本質，在靈動對話過程中獲得新知識、完善新體系、形成新方法，提升數學思想境界，發展學生的幾何直觀、抽象能力、推理意識等核心素養.

關鍵詞：預設促思;勾股定理;核心素養

“有效生成”是新課程課堂教學的重要特征，它強調教學的過程性，突出教學個性化建構的成分，追求學生的生命成長，是一種開放的、互動的、動態的、多元的教學形式·[1·].基于此，“勾股定理”的教學以問題驅動引導學生主動學習，促進課堂的有效生成.

通過學生課前淺學生成課堂教學資源，通過課堂深學獲得研究數學問題的思想方法，從而發展抽象能力、推理意識等數學核心素養.

1 預設促思，課前淺學，自然生成學情資源

把學生要掌握的原理和規律，通過設置問題情境，放在“未知的東西”的地位上.在問題教學的學生活動模式中，學生處于主動狀態，更傾向于去“奪取”知識·[2·].在問題的驅動之下，學生自己閱讀課本，嘗試理解教材，研究相關問題.

教學環節一：課前淺學，生成新知.

（1）閱讀課本（蘇科版初中數學八年級上冊）第78～79頁內容，思考：利用第79頁上方方格紙，設計一個直角三角形，并計算出向外所作正方形的面積.由此可知直角三角形的三邊有什么關系？

（2）閱讀課本（蘇科版初中數學八年級上冊）第80～81頁內容，思考：怎樣用圖1驗證勾股定理？怎樣用圖2驗證勾股定理？

（3）怎樣用勾股定理解決問題？請你“自悟三題”（由課堂上選擇運用）：

基礎題：直接運用勾股定理解決的問題；

中檔題：間接運用勾股定理解決的問題；

提高題：勾股定理的拓展運用或與其他知識點的綜合運用.

教學說明：在彈性的教學預設前提下，學習重心前移，所有學生都進行了預習，不同的學生感受不一樣，有的浮光掠影，有的深度領會，學生的課前預習生成的教學資源的量巨大，教者的選用以有利于課堂教學組織為佳.

2 課始提問，系統思考，自然形成學習目標

教學環節二：課始提問，生成目標.

教者在課堂開始，沒有按照課本的要求直接組織勾股定理的探索活動，也沒有直接展出預習成果，而是靈活地提出兩個問題：

（1）我們已經學習過直角三角形的哪些知識？

（2）還想知道直角三角形的哪些知識？

在學生回答問題的同時，教者板書學習要點（也是學習目標）.

教學說明：教師的提問點燃了學生系統思考問題之火，直角三角形的概念、性質、判定和運用是幾何對象的一般規律，直角三角形角的關系是學生已經知道的，斜邊中線的性質是剛剛學過的，而邊的關系是還想知道的，這樣的對話自然引出本節課要研究的內容.不僅如此，對話中還引出了今后要研究的數學內容，即直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）、邊角關系（銳角三角函數部分）.課堂要研究的數學知識結構體系（學習目標）也在對話的過程中自然生成.

3 課堂深學，探索研究，自然產生思想方法

建構主義學說認為：學生是一個積極的探究者.教學中要恰當運用互動性教學方法，必須以對話的理念貫穿始終·[3·].指向有效生成的數學課堂學習，在對話的過程中要關注知識的自然生成、方法的自然獲取.學生課前預習生成的教學資源的量巨大，能否用好預設內的生成資源考量教者的智慧.

教學環節三：課堂對話，生成方法.

在問題驅動之下，學生課前自主預習，最終生成如下預習結果.

對教學環節一中的第（1）題，選取4位學生畫出的圖形，如圖3～6所示.

圖3是課本上的圖形；圖4是特殊的等腰直角三角形；圖5是直角邊為1∶2的直角三角形；圖6畫成了上邊不是正方形的情況，不符合題意.

圖3～6體現了學生不同的認知水平，圖3是依樣畫葫蘆的照搬，圖4、圖5是理解基礎上的變通，圖6則是視覺上的誤判.學生的認知在教師的問題驅動之下自然生成，學生對新知識有了自己的初步認知.

對教學環節一的第（2）題，依據圖①，生1書寫出（b－a）2=c2－4×12ab，化簡得b2+a2=c2.生2書寫出4×12ab+（a－b）2=c2，展得2ab+a2－2ab+b2=c2，化簡得a2+b2=c2.

根據學生的預習情況，結合學生的預習生成資源，設計如下問題.

問題1勾股定理是怎樣得來的？

（1）計算：如果小方格的邊長為1，則圖3、圖4、圖5、圖6中三個正方形面積分別是多少？

（2）思考：通過計算，你發現這三個正方形面積間有什么關系？提出猜想.（直角三角形三邊關系）

生3：圖3中三個正方形面積分別為9，16和25，發現直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：你是如何計算的大正方形面積？

生3到投影屏前講解：如圖7，通過“補”的辦法，計算正方形CFGH面積為49，四周4個直角三角形面積都是6，49-4×6=25，所以正方形ABDE面積為25.

師：大正方形面積還有不同的計算方法嗎？

生4：如圖8，通過“割”的辦法，計算得出四個直角三角形面積都是6，中間正方形的面積是1，這樣大正方形面積為4×6+1=25.

在教師的追問下，利用“割”或“補”的方法求幾何圖形面積的方法自然生成.

接著，研究圖4、圖5、圖6.

生5：圖4中三個正方形面積分別為9，9和18，發現直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

生6：圖5中三個正方形面積分別為4，16和20，發現直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

生7：圖6中有一邊向外作出的不是正方形，需要修改一下.修改后求得三個正方形面積分別為1，25和26，仍然發現直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

教者追問：利用方格紙，我們計算了幾個直角邊為整數的情況，若直角邊為小數時，所得到的正方形面積間也有如上關系嗎？

教者進一步追問：全班同學都畫了不同的直角三角形，通過計算，都發現了同樣的結論，是否就表明猜想一定是正確的？

生8：仍然不能，要證明.

教學說明：教學在師生的對話中進行，學生自己發現結論，經歷發現過程，勾股定理的概念在師生的對話中、在生生互相的啟發中有效生成.教師的追問，推進了學生語言表達的規范性，進而得到“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”.

教學環節四：課堂追問，形成證法.

盡管學生的展示都表明“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”成立，但這依然只是猜想.事實上，即使有再多的個案也不能說明猜想的正確性，還是需要嚴格的證明.

問題2怎樣證明勾股定理？

（1）探索、思考：根據圖1，嘗試驗證勾股定理？小組學生交流.

（2）探索、思考：根據圖2，嘗試驗證勾股定理？小組學生交流.

借助圖1，圖2，展示生1、生2驗證勾股定理的過程（見前文），讓小組學生討論書寫的合理性，憑借學生課前預習的生成資源，開展課堂的深度學習.

證明過程在學生的互相批判性思維活動中不斷得到完善.

教者補充說明圖1就是中國古代的“弦圖”，為弘揚我國古代數學文明，該“弦圖”被選為2002年北京國際數學家大會的徽標.接著，教師呈現一段學生自己課前在互聯網上查找的閱讀素材，并讓一名學生閱讀：我國是最早了解勾股定理的國家之一.早在三千多年前，周朝的數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”.它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中，在這本書中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式.這一發現，至少早于古希臘人500年.作為一名中國人，我們為古人的博學和多思而感到自豪！勾股定理是人類文明的成果，幾乎所有擁有古代文化的民族和國家都對勾股定理有所研究.在地球以外是否存在生命這個問題上，我國數學家華羅庚曾認為，如果外星人也擁有文明的話，我們可以用“勾股定理”的圖形，作為人類探尋“外星人”并與“外星人”聯系的“語言”.

為了深入地研究勾股定理的證明，課堂教學中可以進一步探索其他證明方法.

至此，學生能夠知其然亦知其所以然.

歸納：通過圖形變換、拼接，從不同角度表示同一圖形面積，再通過代數變形得出簡潔的表達式，進而證明勾股定理.

教學說明：環節四使得研究幾何定理的一般方法在課堂對話、課堂探究過程中自然生成.課堂學習先從特殊到一般發現結論，提出猜想，并通過證明說明其正確性，從而得到定理，然后再運用定理解決問題.真正意義的課堂學習發生了，學生獲得了研究幾何對象的一般性方法.閱讀素材也是數學文化元素的滲透.

教學環節五：課堂練習，合理應用.

本環節題目主要選自學生的預習生成資源“自悟三題”，多數與課本吻合，學生課前預習生成資源再次被利用.由于學生的認知能力不同，原有知識基礎也不一樣，預習本身也有很大的生成性和差異性.有的學生是同類型平行線式的選擇，有的學生是混合型交叉式的選擇，有的學生是先易后難型遞進式的選擇，不同學生“悟題”的情況不同，教師事先也難以預料.教者整合成下面的問題：

問題3怎樣運用勾股定理解決問題？

（1）完成課本（蘇科版初中數學八年級上冊）第79～80頁練習1，2．

（2）如圖9，一個高3 m，寬4 m的大門，需在相對角的頂點間加一個加固木條，則木條的長為（）.

A.3 mB.4 m

C.5 mD.6 m

（3）（蘇科版初中數學八年級上冊第80頁練習）如圖10，△ABC和△DEF都不是直角三角形，分別以△ABC和△DEF的各邊為一邊向三角形外部作正方形，其中兩個小正方形面積的和等于大正方形的面積嗎？

教學說明：第（1）題是直接運用勾股定理解決問題，第（2）題是間接運用勾股定理解決問題，第（3）題是拓展運用勾股定理解決問題.第（3）題的解決，拓展了學生的視野，從直角三角形三邊平方相等關系的學習拓展到研究一般三角形三邊平方的不等關系.

4 交流反思，提煉總結，自然完善結構體系

要使數學學習學有所得，真正形成優良的認知結構，必須要有反思、交流、完善和建構的過程.

教學環節六：總結建構，提升思想.

本節課的收獲可以從下面幾個問題展開：

（1）勾股定理的內容是什么？

（2）采用什么方法發現勾股定理？

（3）怎樣證明勾股定理？

（4）怎樣用勾股定理解決問題？

（5）對于本節課的學習內容還有什么疑問？

提示：從知識、方法、思想等方面進行反思.

本環節的問題串為學生梳理本節課的學習心得提供了抓手，學生先小組成員之間進行交流，后班級交流.

教學說明：通過交流，學生的反思在生生的相互啟發、補充過程中逐步得到完善.本環節既有知識的總結，又有方法的提煉，特別是對研究幾何對象一般方法的總結，充分發展了學生的數學思想，逐步學會用數學的眼光思考問題.

5 教程回顧，教學反思

5.1 課前淺學，初步感悟新知

在實施預習策略的過程中，特別是“自悟三題”促使學生對新知識點的運用進行辨別、選擇，甚至創造.環節五對運用勾股定理解決的問題的選擇，體現了直接運用、間接運用、實際運用和發展運用的區別.在不斷的學習過程中，學生會慢慢感悟到與他人的差異，特別是與優秀同學的差異，并注意在今后的學習過程中不斷改變自己，領會什么是真正意義的數學學習.這樣的有效學習能不斷挖掘學生的數學學習潛能.

5.2 課始提問，生成學習目標

在勾股定理第一課時開始學習時，教者沒有按照課本的要求直接組織勾股定理的教學活動，而是向學生提問：已經學習過直角三角形的哪些知識？還想知道直角三角形的哪些知識？

追問點燃了學生系統思考問題之火，自然生成了研究直角三角形的概念、性質、判定和運用的方法，同時也呈現了一般性研究幾何對象的規律.直角三角形角的關系是學生已經知道的，斜邊中線的性質是剛剛學過的，而邊的關系是還想知道的，這樣的對話自然生成了本節課要研究的內容.

不僅如此，教者還引導學生思考了今后還要研究的內容：直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）、邊角關系（銳角三角函數）.

5.3 課堂深學，明理悟道敏思

勾股定理的驗證，從認識2002年北京國際數學家大會的徽標開始.從審視學生的預習成果出發，用含a，b的代數式表示大正方形的面積，再根據整體由部分組成的角度出發，用含a，b，c的代數式表示大正方形的面積，由于表示結果的一致性，整理得到a2+b2=c2.學生在課堂的進一步考量之下，能夠規范地在黑板上板書出解題過程.閱讀有關勾股定理的文史材料，不僅使學生了解了勾股定理的文化歷史價值，更激發了學生對經典數學問題的研究情感.勾股定理不同驗證方法的探討也豐富了學生的視野.

課堂上，凡是學生能夠說清楚的問題教師堅決不說，學生能夠理解的內容更不必重復，不斷地發現新知識讓學生一步步地實現自我超越，在連續地攀登過程中愉快地前行.講臺首先是學生的，其次才是教師的.就提供的問題情境或新學習內容請學生到講臺上講述自己的思想認識，一個人講了以后，其他人可接著講，或是延續或是另辟新說.學生的互相敘說、互為補充有利于修正不正確或不健全的認識，加上教師的點撥和引導，對學生的學習起到推波助瀾的作用，使學生的對話交流和探究學習活動能夠順利進行.

讓學生去解釋一切現象、說明一切問題，聽課的教師驚嘆于學生的表達，學生講解的內容甚至超過教師的，學習效果顯而易見.掌握知識和技能只是學習的淺表層，獲取思想方法才是學習的精華，學生要感受通過類比、特殊化、一般化、逆向思考等途徑發現新知識.課堂上的對話交流和探究活動，使學生親自實踐、親身體驗直至發現知識，而不是被動發現，課堂上的深度生成，對學生身心的影響是非常深刻的，增強了學生學習的自信心，提高了解決問題的能力.

5.4 課程整體設計，發展核心素養

本節“勾股定理”的教學，依據學生課前預習的生成資源展開，憑借問題主動探求，“勾股樹”下對話生成.課堂教學從特殊到一般，通過操作、計算和思考，歸納勾股定理的涵義.從拼圖到算式，通過代數表達，演繹勾股定理的證明，讓學生體會數形結合思想，培養了學生的創新思維能力.從數史到運用，通過觀察和求值，體會勾股定理的文化價值，增強學生運用數學知識解決問題的興趣.課堂教學一氣呵成，一切都在自然的有效課堂生成中發生、發展和完善.課堂以有效生成為考量指標，課堂的生成發展使得數學教學變得有意義、有價值，學生的智慧得到了發展，課堂實現了知識生成、方法生成和思想生成.學生在學校享受到了高質量的數學教育，發展了幾何直觀、抽象能力、推理意識等核心素養.

參考文獻：

［1］姜風華，何葉.我國生成教學研究十年·[J·].天津市教科院學報，2011（5）：5-7.

［2］張啟哲，楊希強.問題教學理論與教學策略·[J·].陜西教育學院教育學報，1997（2）：13-16.

·[3·]羅祖兵.生成性教學及其基本理念·[J·].課程·5教材·5教法，2006（10）：28-33.