立足于“函數主題”的單元整體教學設計

摘要：數學單元整體教學設計是以系統論為基礎，目的是形成提升學生數學核心素養的教學形式.《義務教育數學課程標準（2022年版）》將初中階段的課程內容分8個主題進行呈現，在整體單元教學設計時，確定單元教學內容至關重要.結合研讀教材，基于主題劃分大、小單元，確定出大、小單元教學目標，明確小單元課時教學任務，制定出單元主題教學設計.

關鍵詞：單元教學設計;基于主題;教學單元;教學目標;核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》在“課程理念”中，提出了“確立核心素養導向的課程目標”以及“設計體現結構化特征的課程內容”的具體理念.數學教學是達成課程目標和落實課程內容的重要途徑，初中數學教學的終極目的就是要達成發展學生核心素養的教學目標.

那么，如何落實這一教學目標呢？《課標（2022年版）》提出了“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯”·[1·]的具體教學建議.本文中以“函數主題”為例談談對“核心素養導向”的單元整體教學設計的實踐問題探究.

1 確定基于主題的單元教學內容

主題單元是培養學生核心素養的主要形式，為了推進主題單元教學，教師應理解單元整體教學設計的內涵和特征.史寧中［2］等對《課標（2022年版）》的解讀認為，單元整體教學設計是以系統論為基礎，從發展學生核心素養的視角出發，對課程標準、教學內容和學生情況進行整體分析，確立合適的主題，圍繞主題對教學內容進行整合和重組，形成相對完善和獨立的教學單元，并在此基礎上進行教學設計.單元教學設計具有統攝性、進階性、關聯性和發展性等特征，關于這些特征的含義，請參見文［2］.

《課標（2022年版）》對第四學段的“課程內容”是分四個領域8個主題呈現的.“數與代數”是義務教育階段數學課程的四個領域之一，第四學段“數與代數”領域包括“數與式”“方程與不等式”“函數”三個主題，共49條具體內容，其中“數與式”主題包含22條，“方程與不等式”主題包含11條，“函數”主題包含16條·[1·].

表1是第四學段“數與代數”領域的主題及主題下的內容結構（括號內的數字表示的是條目數量）.

“數與代數”領域的三個主題作為初中階段的核心內容，形成了一個連貫、遞增的知識體系，是學生理解數學符號，以及感悟用數學符號表達事物的性質、關系和規律的關鍵內容，是學生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用數學的語言表達現實世界的重要載體.教材對三個主題是按照知識體系的擴展安排的，擴展順序為“數—代數式—方程—不等式—函數”.

《課標（2022年版）》在“教學建議”中，指出“在教學中要重視對教學內容的整體分析，……，引導學生從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，建立起有意義的知識結構”·[1·].整體把握主題教學內容是單元整體教學設計的基礎.基于主題的單元整體教學的第一個環節就是確定單元教學內容.

確定基于主題的單元教學內容分兩個環節.

（1）通讀教材，基于主題確定大單元

這個環節的任務就是在通讀課標和教材的基礎上，對主題進行統籌規劃，確定出大單元（這里的大單元對應教材的章）.《課標（2022年版）》將初中學段界定為8個主題，每個主題下的課程內容分散在六冊教材中的某幾冊中.例如，目前浙教版初中教材對于“函數主題”是分三次設計的，八上第五章“一次函數”10課時，八下第六章“反比例函數”8課時，九上第一章“二次函數”10課時.通過研讀，可以把“函數主題”的學習內容分為“認識函數”“一次函數”“反比例函數”“二次函數”“拓展延伸”五個大單元，如圖1所示.

對于這五個大單元，課時數依次設計為認識函數5課時，一次函數9課時，反比例函數6課時，二次函數12課時，復習拓展2課時.

大單元1“認識函數”的主要內容包括：①函數的概念；②函數的三種表示方法；③簡單的分段函數.

大單元5“拓展延伸”的主要內容：①總結初中學習各種函數的一般過程；②通過建立各種具體函數模型解決應用問題，進一步加深熟悉“函數建模”過程.

另外三個大單元依次對應教材中的“一次函數”“反比例函數”“二次函數”三章.

（2）反復推敲，把大單元劃分為小單元

這個層次的任務就是在研讀大單元教材內容的基礎上，經過反復推敲，把圖1的每一個“大單元”的教材內容劃分成幾個“小單元”.例如“二次函數”是“函數主題”的一個大單元，我們將其劃分為下面四個小單元，如圖2所示.

以上劃分不包括復習拓展2課時，根據圖2，可以將“二次函數”全章分為四個小單元：

第一小單元：二次函數的定義及其性質.

第二小單元：會求二次函數表達式.

第三小單元：根據圖象判斷一元二次方程根的情況，利用圖象估算一元二次方程的近似解.

第四小單元：二次函數與實際問題.

2 制定恰當的單元教學目標

《課標（2022年版）》提出的第一條“課程理念”就是“確立核心素養導向的課程目標”·[1·].在實施主題單元教學設計時，要明確定出教學目標：既要求設計出每個大單元的教學目標，也要設計出每一個小單元的教學目標.無論是大單元的教學目標的制定還是小單元的教學目標的確定，都要認真研讀相關學習內容，體現“以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調使學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱‘四基’）的獲得與發展，發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱‘四能’），形成正確的情感、態度和價值觀”·[1·]的理念.

例如，大單元“二次函數”是“函數主題”的一個重點，它不僅是對函數研究的繼續和深化，且與二次三項式、一元二次方程等相關知識有著密切的聯系；作為一種常見的、重要的數學模型，它的應用也十分廣泛.本單元通過建立二次函數的概念、討論二次函數的圖象和性質、確定二次函數的表達式和利用二次函數解決簡單的實際問題等，對二次函數進行了全面的、細致的研究，經歷了從簡單到復雜、從特殊到一般的過程，為今后研究其他函數提供可以借鑒的方法.

另外，本單元還通過揭示一元二次方程的求解問題與二次函數及其圖象之間的關聯，提高學生對數學實質的理解和對數學各部分知識之間的整體性的感悟，展示數學知識的整體性和數學方法的一致性.本章內容蘊含著豐富的數學思想，如類比、轉化、模型、數形結合、分類等，感悟這些思想不僅是本單元學習的重要任務，而且對今后的數學學習都將發揮重要作用.

根據上面的分析，我們將本單元（章）的教學目標確定為：

（1）通過對實際問題情境的分析，確定二次函數的表達式，體會二次函數的意義.

（2）能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍.

（3）會用描點法畫出二次函數的圖象，能從圖象上認識二次函數的性質.

（4）會用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為y=a（x-h）2+k的形式，并由此得出二次函數圖象的頂點坐標、開口方向和對稱軸.可以根據公式確定圖象的頂點坐標、開口方向和對稱軸，并能解決簡單的實際問題.

（5）理解一元二次方程與二次函數之間的關系，會利用二次函數圖象求一元二次方程根的近似解.

（6）通過畫出并研究二次函數圖象，感受數形結合、轉化等數學思想.

（7）通過用二次函數表述變量之間的關系的過程，增強模型觀念.

小單元1“二次函數的定義和性質”共5課時，其教學目標為：

（1）結合具體情境，通過解析法表示簡單實際問題中變量之間的二次函數關系，體會二次函數的意義，能把一個二次函數化成一般形式.

（2）會用描點法作出二次函數y=ax2，y=ax2+c，y=a（x-h）2，y=ax2+bx+c的圖象，從而了解它們的圖象是拋物線，通過圖象了解這些二次函數的性質.

（3）通過探索二次函數y=ax2，y=ax2+c，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k以及y=ax2+bx+c的圖象和性質，體會由特殊到一般的研究二次函數的方法，豐富數學活動經驗.

（4）了解沿y軸正方向或負方向平移，可由拋物線y=ax2得到拋物線y=ax2+k，以及沿x軸正方向或負方向平移，可由拋物線y=ax2得到拋物線y=a（x-h）2.

（5）會用配方法將數字系數的二次函數表達式y=ax2+bx+c化成y=a（x-h）2+k的形式.了解它的圖象可由拋物線y=ax2沿兩個坐標軸方向經過適當平移得到，并由此得到二次函數y=ax2+bx+c的頂點坐標、開口方向和對稱軸.

（6）體會知識之間的內在聯系，培養數學分析能力、抽象能力、概括能力等.

3 明確小單元內容的課時教學任務

通過前面兩個環節、我們明確了大小單元的教學目標，那么，如何在教學中落實教學目標呢？

數學單元教學目標最終是通過課時教學來落實的，數學教學也是以課時為基本單位進行的.因此，教師應仔細研讀小單元對應的教材內容，結合學生的實際情況，進一步把小單元教學目標具體細化為課時教學任務，例如小單元1（二次函數的定義和性質）5個課時的主要學習任務主要有如下兩個方面.

一是用1個課時通過對實際問題的分析，引導學生列出函數表達式；觀察這些表達式的特征，歸納出本質特征；抽象出二次函數的形式定義.

二是用4個課時引導學生探究二次函數的性質.依次探究二次函數y=ax2的圖象和性質、二次函數y=ax2+c與y=a（x-h）2的圖象和性質、二次函數y=a（x-h）2+k的圖象和性質、二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質.

4 主題單元教學有助于促進學生數學素養的提高4.1 主題單元教學有助于學生形成數學核心素養

《課標（2022年版）》中的課程目標和課程內容是通過數學教學實現的，《課標（2022年版）》在課標“總目標”中提出了以“三會”為統領的義務教育階段的核心素養體系.基于核心素養的初中數學課程目標體系的層次、結構以及相互關系如圖3所示.

“三會”處于目標體系的頂層（核心），即核心素養是所有具體目標的總目標.初中核心素養的9種主要表現是為達成“三會”而設置的中間目標.“四基”“四能”是達成核心素養目標主要表現的支撐目標.以“發現問題、提出問題、分析問題、解決問題”為支撐的教學實施路徑，通過指向核心素養的主要表現，達成培育核心素養的目的·[2·].

通過對“數與代數”領域三個主題下具體知識的學習，學生能掌握該領域的基礎知識，順利進行基礎運算（從整數、小數、分數的四則運算到有理數的運算，乘方和開方的運算等），進而達到運算的逐步抽象（利用基礎運算進行代數式的運算到解方程、解不等式等）.隨著對三個主題的學習，學生的運算能力、抽象能力、推理能力、模型觀念、應用意識及創新意識等核心素養都將得到培養和提高.

4.2 主題單元教學有助于學生優化知識結構

立足于發展核心素養需要的“大單元設計—小單元設計—課時計劃”是環環相扣的教師教學活動的基本環節.按照以上設計，通過5課時教學就能完成大單元3（二次函數）的小單元1（二次函數的定義和性質）的教學任務.以此類推，如此扎實地完成四個小單元的教學任務后，就完成了“函數主題”的大單元3的教學任務，再完成另外4個大單元的任務后，就完成了“函數主題”的教學任務.

“函數主題”是一個整體，主題單元教學有助于學生整體把握函數知識［3］.例如，學習了各種具體函數之后，學生能整體把握研究初中學段的函數（包括一次函數、二次函數和反比例函數）問題的經驗：

（1）從實際問題情境中抽象得到函數的模型；

（2）給出函數的描述性定義；

（3）利用列表、描點、連線等步驟畫出函數的圖象；

（4）借助于圖象研究函數的性質；

（5）應用函數的有關知識解決問題.

再如，通過建立一次函數模型、二次函數模型、反比例函數模型解決有關的實際問題，能從“上位”把握圖4所示的建模過程，進一步加深了對函數思想的理解，形成了模型觀念.

學生利用研究函數獲得的“經驗”可以進一步優化函數知識的“結構”，加深對圖4所示建立函數模型本質的理解，這些都是整體單元教學帶來的“收獲”.

通過“函數主題”的學習，學生能不斷形成和提升核心素養中“數據意識”以外的8種主要表現.將初中階段的每一個“主題”都學完后，學生便具備了核心素養的9種表現，達到了“三會”的目標.

參考文獻：

·[1·]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）·[S·].北京：北京師范大學出版社，2022.

·[2·]史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程課標（2022年版）解讀·[M·].北京：北京師范大學出版社，2022.

·[3·]李昌官.基于核心素養的數學單元教學·[J·].中國數學教育，2018（10）：3-6.