“問題解決”模式下的課堂教學

摘" 要： “問題解決”教學的最大特點是以“問題鏈”結構，層次遞進地挖掘知識內涵，以提出問題、分析問題、解決問題為特征，完成知識建構，體現“以學生為主”的學習模式。結合2019版教材中“煙花”情境下的“二次函數”最值分析，以7個變式問題的設置，研究“對稱軸”“區間”與“單調性”對最值的影響，在實現有效課堂教學基礎上，滲透數學核心素養的培養，提升學生的思維能力。

關鍵詞：問題解決;課堂教學;二次函數;最值

近年來，基于“問題解決”的課堂教學備受關注，其目的就是將以往的單向知識傳遞轉為“教”“學”相生的學習過程。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出“處理好數學學科核心素養與知識技能之間的關系，強調數學與生活以及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力”。在人教A版（2019）普通高中教科書“數學（必修第一冊）”《3.2.1 單調性與大（小）值》一節中，與2004版教科書同一例題比較，減少“煙花距地面的高度與時間的關系式”設問，直接提供函數模型解答。學生在已有基礎上配合教材提供的函數圖像，不難理解最大值的求解，但容易忽略限制性定義域下的函數最值分析。二次函數有其廣泛的現實背景，在基本初等函數中占據一席之地，決定了此函數在教學與命題中的重要性。

一、教學活動

在教學活動中，筆者先對函數單調性進行簡要回顧，引導學生對教材例4進行數形分析，解決最佳時刻與最大高度問題。隨后，提出一個問題：生活中有很多現象都可以抽象為二次函數模型，比如投籃、擲鉛球，大家結合例題，想想二次函數的最值問題，跟哪些因素有關？

學生的討論聚焦于函數圖像，初步產生數形結合解題的意識，為接下來問題研究創設了良好的開端。基于學情，教學過程圍繞以下7個問題開展，有助于問題研究從真實世界向數學世界水平化發展。

問題1 大家是否考慮例4中函數h（t）=-4.9t^2+14.7t+18的定義域，它對最大值求解有何影響？

設計意圖：引起學生對“二次函數”中定義域、對稱軸、單調性三者的關注，明確定義域是研究函數的關鍵，函數最值分析需依靠定義區間的性質進行判斷。通過本源問題的分析引導學生向學科問題探索，有助于發展學生的數學抽象能力。

問題2 函數h（t）=-4.9t²+14.7t+18在區間[0，1]，[1， 2]，[2，3]，[4，5]上的最大值？

設計意圖：通過問題1的引導與分析，學生結合圖像從不同區間進行求解，理解對稱軸、單調區間對二次函數最大值的影響，掌握指定區間求解函數最大值的方法，為后續問題的討論提供量化數據與圖像匹配的直觀感受。

問題3 已知函數f（x）=ax²+2ax+2在區間[-2，2]上有最大值為4，求實數a。

設計意圖：在問題2基礎上，引入參數，涉及a=0，a>0與a<0的討論。對a≠0的情況，學生借助圖像與對稱軸x=-1，易知問題3與問題2中“定軸定區間”討論相似（創設“似真”環境）。由已知進行填充，喚醒記憶，屬于認知的一種“完形”，達成知識的正向遷移，為提出新問題提供參考模板。

問題4 已知二次函數f（x）=ax²+2x+2在區間[-2，2]上有________值為4，求實數a。

設計意圖：此問題是對問題3討論的橫向拓展，通過結構不良問題的設置，學生可多角度對二次函數與指定區間取值進行思考。從“最值”角度，涉及單調性討論，歸結為“動軸定區間”問題;從“函數值”角度，則轉化為函數與方程的思想。教學中對“動軸定區間”的引導，讓學生理解“軸”在區間中移動對函數單調性的影響，以及對最值的制約。不同層次的學生，對問題的理解方式各不相同，該設問避免問題唯一性的認識誤區，培養學生的創新意識。

問題5 當a________，二次函數f（x）=x²-2x+2在區間[-a，a]上有最大值。

設計意圖：通過與問題4類比，對“定軸動區間”情況進行分類討論，學生結合函數圖像，觀察區間端點自左向右“穿過”對稱軸時函數單調性的變化，感知此時最值的變化，在讀圖用圖技巧與分類辨析能力訓練中，發展學生直觀想象與邏輯推理。

問題6 當a________，二次函數f（x）=x²-ax+2在區間[-1，a]上有最大值。

設計意圖：該問題的難點在于“動軸動區間”的“雙動”形式，如果沒有前面搭建的“腳手架”，那么此變式問題顯然超出學生的認知水平。結合前幾類問題及作圖觀察，引導學生形成“動中取定”的思想，對參數a進行溯源分析，發現對稱軸x=a/2與區間[-1，a]均含同一參數，則問題轉化為a>0、a=0與a<0三種情況下-1、a/2與a三者大小關系的比較，以及對應情況下函數單調性判斷，進而確定函數最大值。

問題7 你能結合二次函數f（x）=ax²+bx+c中各參數的不同取值，說說該函數模型的現實意義嗎？

設計意圖：一方面是厘清各參數對函數最值的影響，形成一般化的解題方法;另一方面是數學問題回歸現實，明晰數學研究源于生活，服務生活。學生在分享活動中更有機會將現實生活與數學世界產生聯系，實現“人人學有價值的數學”。

7個問題的設置，考慮函數單調性在函數最值分析中的價值，結合二次函數對稱軸豐富了探究內容，符合學生開展由淺入深的問題討論;同時，結構不良問題的創設，符合新高考“從能力立意到素養導向的轉變”，學生將已有知識經驗和思維遷移到問題解決中，挖掘二次函數最值分析的核心——關聯對稱軸與研究區間。學生在問題探究過程中，形成問題分解意識，完成新知識的建構。

二、教學討論與思考

課堂教學是一個充滿無限可能的創作之地，如何將學生的興趣與知識生長點進行結合，考驗著每位教學工作者的教學處理藝術。“問題解決”模式恰好聚焦了學習中需要解決的疑惑，從思索求解的情感狀態，通過教師的適當指導，轉變為思維的創造和知識的重構，實現有意識解決問題的過程。所以，課堂教學要善于抓住生活原型，通過教學設計將數學知識融入其中，結合若干問題分解推動知識結構的橫向與縱向發展。

（一）問題呈現方式

1. 立足學生

皮亞杰的“發展順序不變論”表明高一學生已具備對抽象的和表征的材料進行邏輯運算。通過教材“煙花”情境及層次遞進問題的討論，引導學生思考二次函數圖象、單調性與研究區間的聯系，關注學生的身心特征，讓不同水平的學生在參與“問題解決”中都有所收獲，實現素材與問題的有效聯系，并通過個體與集體的互動對信息進行加工、處理，最終轉化為個人知識。

教室就是出錯的地方。“錯誤”來源于對問題的理解不透徹，通過“錯誤”引發學生認知沖突，促進學生完成對自己思維過程的批判性思考。為確保錯誤的可控性，不影響學生的學習熱情，結合教學情況可把課程問題分為三類：不講可學、需講能懂和講解難懂。可見，教學活動的關鍵在于突破第二類問題，給學生提供較多參與機會，讓學生通過“頓悟”，對未知場域所形成的“空缺”進行“完形”，并在與學習共同體討論后，完成知識系統建構。這樣既解決第一類問題多講學生不愿聽，避免第三類問題講授學生參與程度低的“窘境”，讓出現的問題滿足大部分學生的學習需求，達到“眾樂樂”的學習效果。

2. 問題中心

問題是課堂學習的核心。課堂中的問題設計，既要考慮學習者的實際水平，又要結合教學內容，才能真正做到提出問題是為了有效地解決問題這一目的。

問題是數學學習的靈魂。沒有諸多“為什么”的追問，僅學解題技巧而不問本源，二次函數的學習也僅停留于“配方”“畫圖”等條件反射的模仿階段，淺層的學習未能真正提升學生的思維能力，使課堂充滿急功近利的一面。“問題解決”模式很好地突出問題提出的層次性，確保了教學主題圍繞一個中心開展，將學術形態的數學轉化為教育形態的數學，從潛意識中挖掘二次函數與現實模型的關聯，使原有經驗與數學問題產生連結，將意象體會轉向問題解決，增強了課堂活動中師生、生生互動的活力。

可見，問題解決的過程是一種高階思維活動，圍繞數學教學活動中“是什么（數學問題）”“什么是（解決問題的方法）”“為什么是（這樣解答的）”和“（問題解答）還可以是”的問題剖析程序開展，在學生多元表征過程中，突出教學過程要關注問題解決中的批判性與反思性，讓研究聚焦于問題的縱向推進，鏈式呈現知識結構，形成由特殊到一般的方法總結，而非淺層的封閉式結果解答。

（二）教學思考

也許沒有哪一門學科比數學更容易受到教學質量的影響，一些被認為是“好”的數學教學已變成符號反射型教學。這種訓練式的教學方式，可能會使一些數學思維平庸的學生獲得較好成績，但卻會讓某些有創造力的學生厭煩，以至于討厭這門學科。缺失欲望驅動的學習難以產生問題，也就沒有思考的動力，課堂學習終將失去活力。

“問題”就是需要回答或解答的內容，而“解答”就是要處理問題使之有結果。“問題解決”的教學圍繞某一主題，在參與者的心智活動推理中得出某些結果。奧蘇貝爾學習理論認為，問題是由有意義的言語命題構成，以此為策略設計一連串步驟，讓學生通過一系列知識的加工填補空隙;維果茨基的最近發展區理論在問題設置方面提供了廣度、深度與難度的參考。學生在參與學習活動中，個體的差異性反映在思維上“同化”與“順應”的階段不同，形成不同的問題表征，造成在知識生成上存在差異，從而產生了問題中的問題。隨著問題的各個擊破，推進學習的深度開展。

20世紀50年代初美國的“新數運動”表明，過于注重運算技巧與不符合學生認知規律的教材難度，不利于人才的發展。從教科書的歷史發展來看，數學教科書編寫已逐漸從傳統的“教材”向“學材”演變。如今的教材更像一本科普讀物，圖文并茂，有一定信息檢索能力的學生，教材中每個問題都可以在互聯網上搜索到滿意的解答。對當前“三新（新課改、新教材、新高考）”形勢下的課堂教學，教師不能再用教材去“啟發”學生，而要把學生的思維放在首位，在課堂活動中發現學生思維的閃光點，指導學生利用手中的數學教材，以興趣點與知識性為基礎，提出圍繞主題研究的問題，并輔以變式訓練加強知識內涵與外延的聯結，形成“從個人建構到社會建構”的學習活動，進而讓學生反思并審視自己整個學習過程，從“學會”向“會學”轉變，提升個人的能力與素養。

課堂教學是一種應然與實然的關系，問題鏈的創設是為“問題解決”的實現設定方向，有效分解學習任務，方便教師圍繞學習內容進行合理預設，避免主題學習結構散亂。實際課堂教學絕非完全按設定的“故事線”發展，學生對問題的興趣程度也決定了“問題解決”開展的方向。“問題解決”不是簡單的實現會解題的淺層學習，而是要幫學生在知識連接后對意義生成的建構，培養學生以數學的眼光看世界，并以此為著力點探究問題的本質。

因此，教學目標不再局限于學生能解多少道數學題，而要以更高的視域，站在“立德樹人”“以數化人”的角度思考如何走進學生的思維空間，明晰教學中的需求結構，以學生本位組織教學活動，設置必要“腳手架”，讓學生在“學解題”過程中明白去哪里、怎么去和怎么知道自己已經達到。

三、結語

由此可見，問題的融合方式才是“問題解決”模式下課堂教學的重點。沒有靈魂的問題討論活動只能是一種主題式狂歡，除了操作性技能純熟度提高外，很難引起學習者對問題研究的高投入，自然無法形成多點聯通的學習效果。

參考文獻：

[1] 任子朝，趙軒. 數學考試中的結構不良問題研究[J]. 數學通報，2020，59（02）：1-3.

[2] 呂世虎，彭燕偉. 近二十年中國中小學數學教科書研究綜述——基于CiteSpace知識圖譜分析[J]. 數學教育學報，2019，28（04）：48 -54.

[3] 高福如. 高中數學基于“問題解決”的課堂教學與設計[M]. 上海：華東師范大學出版社，2018.

[4] 鄭毓信，梁貫成. 認知科學建構主義與數學教育[M]. 上海：上海教育出版社，2002.

（責任編輯：莫唯然）