利用GeoGebra軟件輔助數形結合思想教學

摘 "要 "21世紀是信息化時代，教育教學與現代信息技術有機結合已成為教育改革的熱點之一。GeoGebra動態數學軟件的幾何窗口與代數窗口共存，函數表達式和函數圖像同步變化，將數與形完美融合，有利于培養學生數形結合思想。以二次函數圖像平移規律教學為例，利用GeoGebra輔助數形結合思想教學，將二次函數圖像平移化靜為動，增強直觀性，讓學生感受圖像動態變化，找出二次函數圖像平移規律，再從代數角度驗證，培養學生嚴謹的科學態度。

關鍵詞 "初中數學；數形結合思想；二次函數；GeoGebra

中圖分類號：G633.62 " 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2022）11-0035-04

0 "引言

當前，信息技術對我國教育改革產生巨大的影響。信息技術已成為初中教學有效的教學輔助手段。一名新時代的數學教師應思考如何將技術、教學方法、內容知識有機整合，利用教育技術有效表征和呈現學科內容，幫助學生理解。當前，“技術—教學法—內容知識”（TPACK）是信息技術與課程整合、教師知識與教學學習研究的熱點之一[1]。

初中生的思維正處于由具體向抽象過渡的階段，函數章節的知識十分抽象，學生學習起來有一定難度。嘗試利用GeoGebra數學動態軟件輔助函數圖像的教學，以湘教版數學九年級上冊二次函數圖像平移規律為例進行教學設計，通過布置任務，引導學生利用GeoGebra軟件探究二次函數圖像平移規律，學生獨立思考與小組討論形式相結合，幫助學生更好地發散思維，引導學生在“形”中思“數”、“數”中憶“形”，培養其數形結合思維。

1 "GeoGebra

數學軟件GeoGebra誕生于2001年，由美國數學教授Markus Hohenwarter開發，是集幾何、代數、微積分和統計功能于一體的動態軟件。發展到現在，該軟件支持56種語言，可應用于多種平臺[2]。GeoGebra一詞是由英語單詞Geometry（幾何）和Algebra（代數）合成，從數學思想方法層面來解讀，就是數形結合。這款軟件簡單易學，作圖高效，可利用滑動條在幾何繪圖區展示圖形平移過程。利用該軟件助力數形結合思想教學，可以使教學內容產生動態變化，激發學生學習興趣，培養學生探究能力，促進思維能力深度發展。新時代教師需學習現代教育技術和與時俱進的教學理論，具備運用信息技術輔助教學的意識。

2 "數形結合思想

我國著名數學家華羅庚最早提出數形結合一詞，并用“數缺形時欠直觀，形離數時難入微”來描述數形結合獨特的優越性。數形結合思想是初中學生必須掌握的數學基本思想之一，對提高學生解題能力、數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養有很大幫助。新時代，教育改革將信息技術與數學課程進行整合，而GeoGebra軟件的教學價值在數形結合思想教學中體現得最為淋漓盡致，這也是在初中數學教學中有效運用GeoGebra的意義所在[3]。

3 "基于GeoGebra的教學方案設計

3.1 "學習內容分析

二次函數圖像平移規律是湘教版數學九年級下冊第一章第二節“二次函數的圖像與性質”的拓展與延伸，是近幾年湖南省中考的熱點與難點。該內容是學習八年級下冊第三章“圖形的平移”后，學習二次函數頂點式、一般式，a、b、c對圖像影響的基礎上，進一步開展專題研究。實際教學表明，學習函數圖像的平移規律對學生來說是一個難點。結合GeoGebra軟件，以學生為主體設計自主探究任務和驅動式問題，讓學生親身經歷探求知識的過程，通過不同的學習方式幫助學生形成學習經驗，提升自學能力，并逐步滲透數形結合的思想。

3.2 "教學目標分析

3.2.1 "知識與技能 "利用GeoGebra探究y=ax2

如何平移得到y=ax2+k、y=a（x+h）2、y=a（x+h）2+k的圖像，掌握二次函數平移法則。

3.2.2 "過程與方法 "通過小組合作的任務探究活動，學生利用GeoGebra作出二次函數圖像，觀察參數h、k對函數圖像位置變化的影響，體會數形結合和特殊到一般的思想方法，提高邏輯推理和直觀想象等核心素養。

3.2.3 "情感態度與價值觀 "讓學生經歷“猜想—實驗—發現—證明”的過程，培養學生規范化思考問題的品質、科學嚴謹的學習態度和積極探究的合作精神。

3.3 "教學過程

3.3.1 "探究y=ax2與y=ax2+k圖像的位置關系

1）前期準備。學生在機房（一人一臺電腦）接受本班數學教師針對GeoGebra軟件操作培訓。

2）任務探究。學生利用GeoGebra畫出y=2x2、

y=2x2+2、y=2x2-2的圖像及y=2x2+k的圖像。先觀察前三個具體函數的圖像，再通過拖動GeoGebra軟件上設置的參數k滑動條，改變k的值，觀察函數表達式和圖像位置變化，并且發現二者聯系及其中規律。

3）學生實踐。在平時上課的教室中（一臺電腦、一個電子屏幕），各小組分組完成任務操作。當一個小組在講臺上使用軟件畫函數圖像時，其他小組學生在草稿紙上描點連線作圖，初步感受三個具體函數的位置關系，如圖1所示，并回答探究問題。

4）探究問題。

A.三個具體函數圖像有怎樣的位置關系？拋物線y=2x2與y=2x2+k圖像位置有什么關系？提出猜想。

B.通過拖動滑動條k，是否能直觀地感受到圖像存在上下平移的聯系？能否從形的角度驗證猜想？

C.圖像平移過程中，對應點的x值、y值是否變化？能否從代數的角度驗證該平移規律？

5）小組匯報。

①各小組代表向全體學生板演展示小組探究結果，利用GeoGebra直觀地演示并解釋原理。

②各小組成員認真聽小組代表匯報的探究成果，對成果進行組內自評與組間交叉互評。教師在學生展示與評價過程中，既要甄別對錯，及時判斷，又要發現典型性的問題和學生思維的亮點。通過教師評價點撥，學生總結探究結果與學習方法。

6）學生預設回答（回答a對應上述問題A，以此類推）。

a.y=2x2+2、y=2x2-2函數圖像是由y=2x2向上/向

下平移2個單位長度得到。提出猜想：圖像y=2x2+

k可由y=2x2向上或向下平移|k|個單位得到，當k＞

0時向上平移，當k＜0時向下平移。

b.“形”方面驗證該猜想。通過拖動滑動條k，圖像y=2x2+k、y=2x2存在上下平移|k|個單位長度的聯系。

c.“數”方面驗證該猜想。圖像平移過程中，對應點的x值不變、y值改變，在y=2x2、y=2x2+k圖像上分別取一般點A（m，2m2）、B（m，2m2+k），

橫坐標相同，縱坐標相差|k|個單位。根據點的平移規律，相當于點A向上或向下平移|k|個單位變成點B，所以整個圖像呈上下平移的狀態。

7）教師小結。k決定二次函數圖像的上下位置，由于開口大小和方向是由a決定，因此，y=ax2向上或向下平移|k|個單位得到y=ax2+k，當k＞0時向上平移，當k＜0時向下平移，簡記“上加下減變k”。

3.3.2 "探究y=ax2與y=a（x+h）2圖像的位置關系

1）任務探究。學生利用GeoGebra畫出y=2x2、

y=2（x+1）2、y=2（x-1）2的圖像以及y=2（x+h）2的圖像。先觀察前三個具體函數的圖像，再通過拖動GeoGe-

bra軟件上設置的參數h滑動條，改變h的值，觀察函數表達式和圖像位置變化，發現兩者聯系及其中規律。

2）學生實踐。各小組分組完成任務操作，如圖2所示，并回答探究問題。

3）探究問題。

D.三個具體函數圖像有怎樣的位置關系？拋物線y=2x2與y=2（x+h）2圖像位置有什么關系？提出猜想。

E.通過拖動滑動條h，是否能直觀地感受到圖像存在左右平移的聯系？能否從形的角度驗證猜想？

F.圖像平移過程中，對應點的x值、y值是否變化？能否從代數的角度驗證該平移規律？

4）小組匯報（同上）。

5）學生預設回答（回答d對應上述問題D，以此類推）。

d.先觀察特殊點如頂點的位置變化，函數圖像的位置變化和頂點的位置變化是一樣的。y=2（x+

1）2、y=2（x-1）2函數圖像是由y=2x2向左/向右平移2個單位長度得到。提出猜想：圖像y=2（x+h）2可由y=2x2向左或向右平移|h|個單位得到，當h＞

0時向左平移，當h＜0時向右平移。

e.“形”方面驗證該猜想。通過拖動滑動條h，圖像y=2（x+h）2、y=2x2存在左右平移|h|個單位長度的聯系。

f.“數”方面驗證該猜想。圖像平移過程中，對應點的y值不變、x值改變，在y=2x2、y=2（x+h）2

圖像上分別取一般點A（m，2m2）、B（m-h，2m2），

縱坐標相同，橫坐標相差|h|個單位。根據點的平移規律，相當于點A向左或向右平移|h|個單位變成點B，所以整個圖像呈左右平移的狀態。

6）教師小結。h決定二次函數圖像的左右位置，由于開口大小和方向是由a決定，因此，y=ax2向左或向右平移|h|個單位得到y=a（x+h）2，當h＞0時向左平移，當h＜0時向右平移，簡記“左加右減變h”。

7）教師總結。y=ax2向上（k＞0）或向下

（k＜0）平移|k|個單位得到y=ax2+k，再向左（h＞

0）或向右（h＜0）平移|h|個單位得到y=a（x+h）2+

k。學生在探究活動中興致很高，表現積極，討論交流中，思維越來越嚴謹，邏輯推理能力得到進一步發展。人類勇于探索的精神不斷推動社會的發展和進步，由此引入課程思政。教師要帶領學生探索數學奧秘，認識數學的科學價值、應用價值。

4 "結束語

利用GeoGebra輔助數形結合思想教學，讓學生在做中學，親身經歷知識產生、發展過程，構建知識體系。與傳統的教育方式相比，學生利用Geo-

Gebra展示函數圖像，使靜態的函數圖像有動態的位置變化，把一些“看不透”“道不明”“想不清”的性質通過動態的形式呈現，可以更直觀地發現二次函數圖像的平移規律，克服因數學高度抽象性所帶來的“只可意會，不可言傳”的困難，從而實現教學可視化。

另外，在函數教學中應用數形結合思想，可以增強函數的直觀性，減少學生的推導過程，對增強學生自信有很大幫助。該教學設計具體實施過程中，學生對GeoGebra軟件比較感興趣，忽略了知識本身，這就要求教師必須有較強的課堂掌控能力。在小組教學中，對于多元思維、預設問題之外的生成問題、共性問題，教師要及時點評，點撥講解，這對教師提出較高要求。該教學設計是GeoGebra動態軟件與數學教學的融合，也是現代信息技術與教育教學有機整合的實踐，具有很好的參考價值。

參考文獻

[1] 焦建利，鐘洪蕊.技術—教學法—內容知識（TPACK）

研究議題及其進展展[J].遠程教育雜志，2010，28（1）：39-45.

[2] 李小妮.運用GeoGebra軟件輔助初中數形結合思想

教學效果研究[D].湖南：湖南科技大學，2018.

[3] 華羅庚.談談與蜂房結構有關數學巧題[M].北京：北

京出版社，1979.