合縱連橫，深究數學本體價值
——北師大版三下『圖形與幾何』兩節課的深度學習

文|黨 潔

數學本體價值的呼喚，是近年來的關注熱點，隨著學術界的百家爭鳴，“數學課的主要任務是教數學”成為共識。對數學實質的聚焦，是小學數學深度學習課堂構建的核心，也只有立足于學科本質的教學才能真正意義上培養數學核心素養。北師大版三年級下冊“圖形與幾何”部分涉及《圖形的運動》和《面積》兩個單元，擇其中《軸對稱（一）》《面積單位》兩節課為例，從縱橫兩個維度深究數學本體價值，聚焦小學數學的深度學習。

一、縱向拉伸，數學思維的增長

數學教材是教數學的藍本，并非全部。當認識到這一點時，在教學實踐中基于教材又不拘泥于教材的理念得到彰顯，比如單元整體學習、長程學習等。相較語文、英語，數學學習對思維層次和計算能力有一定的要求，教材因此將“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“數學好玩”四部分精心分層搭配，落地到各個年級，符合學生身心發展規律。這樣一來，原本連續的、一體的知識串變成了知識點，學生點對點學習時回憶舊知、學習新知、鋪墊未知的內在邏輯和思維方式培養需要教師的引導。跳脫單元層面，從小學數學知識全局來看，北師大版教材將“圖形的運動”分為兩段四次，三年級下冊第二單元是學生第二次感知軸對稱圖形，是在二年級上冊“圖形的變化”初步體驗基礎上的一次進階。同時，這一單元對軸對稱圖形的準確理解，將為五、六年級旋轉、平移、軸對稱幾何作圖打下堅實的基礎。教師需要長程理解教材，更重要的是將理解融進教學設計、課堂操作，助力學生深度學習。

以往的教學基本上是沿用教材中“愛心、小魚、喜字”等開篇引入，二年級上學期時通過剪一剪得到的“T 恤、王字、海星、楓葉、中字、十字”這些學習經驗則成了記憶。實際上，教材編寫是全局的、總體的，先前的學習資料就是“先行組織者”，可成為新知識的生長點。本課可以直接以“T 恤、王字……”開篇，二年級上學期時學生的學習痕跡保留在《學習單》上，此時翻看《學習單》，引導開啟記憶鏈條，回憶“我當時是怎么剪的？”“剪一個軸對稱圖形有哪些步驟？”“要注意什么？”等等。這樣的新知引入比較自然，貼合學情。緊接著，即可沿用“T恤、王字……”，也可使用教材提供的附頁1 中圖1（即愛心、小魚圖形）來完成折一折動手操作，學生充分體驗圖形的運動，直觀感受“完全重合”“重疊”的含義，再進行“下定義”“判斷”等精加工，將具體經驗上升到數學概念。

同時，在最大限度發揮原有學習資料的“復習舊知”“對折素材”的作用時，也要注意辨析——二年級上學期學習時剪了的“王、十、中”三個軸對稱圖形，學生進行對折找對稱軸時發現上下對折、左右對折都可以，即對稱軸不止一條。這與三年級下冊本單元原先的設計沖突了嗎？本課教材擇取愛心、小魚、喜字、房子、字母A 這五個圖形，隱性目的是這幾個圖形的“對稱軸只有一條”，規避了其他可能性。實際教學中，習題的千變萬化常常對這一點發起沖擊，教師需要反復講解。因此，此處的處理順應學情即可，在不增加學生負擔的前提下，適當的延伸是可行的、有效的。最后，運用《學習單》還可鼓勵學生在對折之后，嘗試畫出圖形的對稱軸，這一開放性留白不僅為學生提供了思維發散的空間，也使得這一《學習單》成為五年級上冊《軸對稱再認識(一)》的學習素材，實現《學習單》的相互補充、循環利用。學生的深度學習離不開教師的引導，以《學習單》為抓手，因“生”制宜搭建思維臺階，幫助學生掌握數學知識脈絡；同時，充分挖掘學習資料的價值，實現一題多思、多解、多用，巧妙變身《訂正單》《學習單》等，引領學生學會學習。

二、橫向延展，數學思想的拓寬

對數學知識本體價值的挖掘除了縱向維度的上下連接，還可以進行橫向方面的充分拓展，以《面積單位》一課為例。這是一節傳統而典型的概念課，教授范式大多是“講授法”：教師開宗明義、學生機械記憶。類似“為什么需要面積單位？”“面積單位從哪兒來的”等問題的誘發少之又少，干癟的下定義不僅不利于數學學習興趣的培養，而且掩蓋了數學史的文化價值及其教育功能。本課教學時可使用《學習單》呈現“面積單位由來”的文字資料，學生通過閱讀了解到尼羅河流域是古埃及文明發源地，洪水沖走土地界限，為了準確納稅，專門測量土地面積的司繩責任重大。司繩們分頭前往各地測量卻引發了爭吵，究竟是什么原因呢？——恰當創編兩種大小各異的丈量面積的“方格”，激化思考、得出“大小不同，測量結果不同”的感悟，實現從數學史實到一線課堂的“搭橋”，自然走進課程，讓學生體會統一面積單位的必要性。

從學習長度到學習面積單位，是學生抽象思維的跨越式發展，是一維空間向二維空間的轉化，是空間形式“由線到面”認識上的一次飛躍。看似簡單直接的概念課，其實飽含深度，需要幫助學生在頭腦中建構清晰、深刻的面積單位表象。這個建構過程不是一蹴而就的，而是“建構——調整——再建構”螺旋式遞進的過程。為能讓學生經歷面積單位表象由具體至抽象過程，對于“平方分米、平方厘米、平方米”的認識需要層層遞進、逐個突破。教材由小到大順序呈現三個面積單位，在多次教學實踐中體會到教學成效不夠理想。于是，嘗試從平方分米入手。平方分米是常用的面積單位，易于操作、展示，以手掌作為參照物，貼合學生的“最近發展區”。通過猜、記、畫、找、量等活動體驗，幫助學生建構正確的面積單位表象。表象的經歷從膚淺的猜一猜、記一記到深刻的畫一畫、量一量等過程，這一系列的活動讓學生頭腦中1 平方分米的表象得到不斷的調整和明晰，從無到有、從粗糙到精致。對平方分米充分有效的深度學習，利于建構學習模式，接下來學習平方厘米和平方米才能真正實現由扶到放的教學策略，也有利于培養學生的自主學習能力。

課末再次點撥，回歸面積單位的源頭。“同學們，數學來源于生活。尼羅河的洪水泛濫帶給人們災難，勤勞智慧的古人卻由此發現了面積的秘密。究竟司繩們是如何測量土地的呢？用的是什么面積單位？期待你認真翻閱書籍、借助互聯網，找到答案。明天的數學課，由你們來分享。”建構主義認為，學生的建構不是教師傳授的結果，而是通過親身經歷，通過與學習環境的交互作用來實現的。古埃及人使用繩子丈量土地，使用的基本面積單位是斯塔特，1 斯塔特=2735 平方米。1 斯塔特到底有多大呢？在如此追問中，學生帶著對數學史的思考走出課堂。

小學數學的深度學習，需要縱向梳理，從數學知識整體性、全局性出發，將分學段、分單元的知識點前后銜接、串連成線，逐漸鋪面，形成知識體系；需要橫向延伸，發揮數學史的育人功能，體現生活與數學的本質關系。當數學本體價值在課堂得以展現時，學習才能真正具有深度、厚度和溫度。