從知識到觀念：數學教學的目標進階

錢德春 張杰

【摘 要】 以2022年泰州數學中考題為例，闡述數學教學中“運算”與“思維”、“巧解”與“通法”的辯證關系，提出了“‘少算多思的核心要義是數學思維，‘巧解特法的前提是掌握通性通法，‘數學觀念是數學教學的上位目標”的觀點.

【關鍵詞】 少算多思;通性通法;數學思維;數學素養;數學觀念

2022年泰州數學學業水平考試試卷（以下簡稱“2022年泰州卷”）面世后，許多師生覺得試卷運算量大、過程繁雜，究其原因，是缺少對數學本質的關注與通性通法的認識，沒有以正確的觀念理解數學，而是以機械的操作代替數學的思維.人們在數學學習中希望少一點繁雜的運算與推理，多一點快捷的方法與技巧，這是正常的心理現象.然而多思方能少算，巧解源于通法.思維是數學的靈魂，數學問題的解決需要必備的知識、技能與方法，更需要科學的思維方式、數學的通性通法與正確的數學觀念.因此，數學教學目標要實現從知識到觀念的進階.本文以“2022年泰州卷”試題為例，談談對培養學生數學思維與數學觀念的思考.

2 關于數學教學目標進階的思考

縱觀上述案例發現：多思方能少算，巧解源于通法.“少算多思”的核心要義是數學思維，“巧解特法”的前提是掌握通性通法.在數學教學的諸多目標中，數學觀念是數學教學的上位目標.數學教學目標要實現從數學知識到數學觀念的進階.

2.1 “少算多思”的核心要義是數學思維

4個案例說明：數學思維的缺位可能導致運算或推理過程復雜化，有時甚至問題無法解決；反之，思維量的增加可能帶來運算量的減少、解題方法的簡化、解題正確率的提高.由此可見，“少算多思”的核心要義是數學思維.

以案例1，2為例.作為填空題，案例1不需要寫出過程.如果不假思索地直接套用加權平均公式，就需要分兩次運算；如果理解“權”的本質，并觀察表格的數據特征，就能迅速作出正確的判斷，兩種方法孰優孰劣一目了然.案例2兩種方法的目標都是得到不等式（m+n-1）（p-1）<0，但解題途徑和心理體驗完全不同.方法1將“組合函數”整理成一次函數的標準形式y=（m-n）x-mp+3np-2m，將x=2p+1代入標準形式再進行整理，這是一種“思維定勢”，運算過程重復而又繁雜；方法2在整體上把握“組合函數”的結構特征，將x=2p+1直接代入，發現m、n的系數都是p-1，提取p-1后立即得到目標不等式.顯然方法2更勝一籌.兩個案例說明了一個道理：數學思維是決定運算量大小的重要因素.“教師在教學中應引領學生體驗和感受數學思維的簡潔美，在通性通法的基礎上盡可能提煉優法簡解，踐行少算多思理念的關鍵在于梳理條件和規劃思維.”［1］

需要說明的是：提倡“多思”并非不需要代數運算，“多思”不只是為“少算”，運算量大小不是衡量數學思維的唯一標準，科學的思維、合理的方法還能給人以愉悅的心理體驗.數學的研究除了解決現實問題、促進數學自身發展外，還有一個重要的作用，就是讓研究者“享受精神優雅，促進精神愉悅”.如計算（3x2－6xy）（5xy+10y2）時，觀察算式發現：乘積中的第一個因式3x2－6xy變為3x（x－2y），第二個因式5xy+10y2變為5y（x+2y），而x－2y與x+2y的積恰好可運用平方差公式.故原式=3x（x－2y）·5y（x+2y）=15xy（x2－4y2）=15x3y－60xy3.若直接用多項式乘法法則計算：原式=15x3y+30x2y2－30x2y2－60xy3=15x3y－60xy3.比較發現，就運算步驟和書寫量而言，前一種方法比后一種方法多.但從解題心理上看，前一種方法更具有思維性，更能讓人體驗到思維的愉悅與快樂.正如林崇德先生所說，“與數學學科有關的能力，應首先是運算（數）的能力和空間（形）的想象力，同時，數學是人類的思維體操，數學的邏輯思維能力也明顯地表現為數學學科的能力.”［2］

2．2 “巧解特法”的前提是掌握通性通法

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“課標（2022年版）”）提出了初中數學“堅持素養立意，凸顯育人導向”的命題原則，要求“以核心素養為導向的考試命題，要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查‘四基‘四能與核心素養”［3］.

“‘通性就是概念所反映的數學基本性質；‘通法就是概念所蘊含的思想方法.在解題教學中，注重基礎知識及其蘊含的數學思想方法，才是追求數學教學的‘長期利益.”［4］數學教師都有這樣的經歷：每當看到學生的“巧解特法”時，會情不自禁地拍案叫絕，甚至在同事中傳閱、欣賞.然而，所謂的“巧解特法”并不是教出來的，而是學生在夯實“四基”“四能”基礎上的思維迸發，是理解數學本質、掌握通性通法后的頓悟，得到“巧解”的過程是數學知識與方法的聯想、聯系、綜合的過程，也是數學探究活動經驗激活與積累的過程，更是不斷嘗試、從失敗到成功的過程，這才是數學教學的“長期利益”.因此，數學教學要引導學生關注數學本質、關注通性通法.

在案例3的3種方法中，方法1的代數運算不僅過程復雜，還極易導致錯誤；方法2運用的一元二次方程根與系數的關系是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的選學內容［5］，不作考試要求；方法3將函數問題轉化為圖象問題研究，利用拋物線的軸對稱性解決問題，這是基于對二次函數及圖象性質的本質理解，也是研究函數的通性通法.

在案例4中，方法1利用直角三角形、相似三角形邊的關系建立二元二次方程組，計算求得CD的長，這種方法運算量大、耗費時間長；方法2通過“一般到特殊”的動態探究，直觀得到其中一個結論，再利用“角平分線軸對稱性”得到另一結論，基本路徑是“操作探究→幾何直觀→反思優化”，是研究問題的一般路徑與策略，同樣體現了數學的通性通法.當然，在教學中，教師可以適當引導學生用代數運算或演繹推理的方式驗證幾何直觀的結論，“通過對知識、方法、思想的溯源，讓數學貼近學生認知、回歸自然思路、體現數學本質；通過對現象、過程、結果的反思，培養學生思維的縝密性、邏輯性，從而提升其思維品質、發展其理性精神.”［6］

2.3 數學觀念是數學教學的上位目標

數學教學目標包括數學知識的理解與運用、數學方法的提煉與掌握、數學能力的發展與提高、數學思維的進階與優化、數學素養的蘊育與提升，最終形成正確的數學觀念.

將“課標（2022年版）”的15個核心素養主要表現［3］按“素養”和“學段”兩個維度分類得到表1.

表格中橫向為“學段”維度，縱向為“素養”維度.在15個素養主要表現中，除“幾何直觀”外，其他14個表現分別用“感”“意識”“能力”和“觀念”表述.其中“幾何直觀”“運算能力”“空間觀念”“應用意識”和“創新意識”等5個素養表現為小學與初中共同要求，而小學側重“感”和“意識”，初中側重“能力”和“觀念”.

那么，什么是“意識”與“觀念”，它們之間有何關系呢？“意識”是指人腦對于客觀世界的反映，是感覺、思維等心理過程的總和，具有一定的客觀性、不穩定性；“觀念”是人對事物的主觀與客觀認識的系統化之集合體，具有較強的主觀性與穩定性.“觀念”基于“意識”，處于“意識”的上位，是“意識”的升華.因此，形成正確的數學觀念應是初中數學教學的重要目標.宏觀上說初中階段的數學觀念包括整體的觀念、變化的觀念、聯系的觀念和系統的觀念等.

上述4個案例中，案例1的方法2從整體、系統的角度觀察表格、分析數據，尋找數據之間的聯系，這是“從孤立到聯系”；在案例2中，不少學生看到y=m（x-p-2）+n（-x+3p）便不假思索地整理成標準形式，這是“只見樹木，不見森林”的短視行為；案例3由面積關系得到的CE=DE表面上看是兩條線段相等，本質上是點C，D關于點E對稱，是拋物線的重要特征，這是“從表象到本質”；案例4在未確定“過△ABC內心O的直線”的確定位置時，可將直線DE看成“繞點O旋轉的直線”，這種運動的觀念為通過“操作探究”與“幾何直觀”解決問題提供了可能；案例4中的各個條件看似相互獨立，但聯系起來思考就得到解決問題的新思路、新策略.如由“O為內心”“直角三角形”聯想到內切圓半徑，由“O為內心”與“DE=DC+EB”聯想到教材結論“DE∥BC（即DE⊥AC）”進而解決問題，體現了“從零碎到系統”.所有這些都說明數學觀念在數學學習中的重要性.

學生數學觀念的培養并非高不可攀，也不能停留在口頭上.教師首先必須要有培養學生“數學觀念”的意識與觀念，并落實在日常教學之中，以具體教學內容為載體，以課堂教學為抓手，設計合理的教學活動，選擇有效的教學途徑.如案例1與案例2，讓學生在方法的比較中體驗“少算多思”的心理愉悅，形成整體與系統的觀念；在案例3的代數法與圖象法的比較中感受“形”與“數”的聯系，“形”的本質是“數”的可視化，形成本質與聯系的觀念；案例4中，通過“代數運算、演繹推理”與“動態探究、幾何直觀”的比較，形成運動與系統的觀念.因此，教師要將教學目標從知識、能力向意識、觀念進階作為教學行為自覺.李樹臣老師歸納了培養學生數學觀念的六個途徑：一是加強“四基”教學，二是注重過程教學，三是實施問題解決的策略，四是重視推理能力的訓練，五是強化數學思想方法的滲透與訓練，六是重視數學建模教學［7］.這值得初中數學教師學習借鑒并付諸實施.

參考文獻

［1］溫晶晶，蘇斌．速解源于深思少算回歸本真［J］．中學數學教學參考（中旬），2022（07）：34-36.

［2］林崇德．培養思維品質是發展智能的突破口［J］．國家教育行政學院學報，2005（09）：21-27.

［3］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2022：91，7-11.

［4］章建躍．注重通性通法才是好數學教學［J］．中小學數學（高中版），2011（11）：封底.

［5］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2011：29.

［6］錢德春．初中數學教師的深度研究與適度教學［J］．中學數學教學參考（中旬），2022（07）：52-56.

［7］李樹臣．培養學生數學觀念的主要途徑［J］．中學數學雜志，2014（08）：9-12作者簡介 錢德春（1963—），男，江蘇泰州人，中學高級教師;江蘇省泰州市教研室數學教研員、省中學數學專業委員會理事、省初中數學名師共同體導師、泰州學院特聘教授、人大復印報刊資料中心《初中數學教與學》編委、《中學數學》特約編委、《教育研究與評論》專家庫研究員;江蘇大學國培專家、江蘇省及泰州市初中數學鄉村骨干教師培育站導師、泰州市初中數學名師工作室導師;主要從事初中數學教學、命題與教師專業發展等研究;，連續13年任泰州中考數學命題組長，8次主持江蘇省教學新時空·名師課堂活動，主持省規劃、教研課題5個，分別獲得省基礎教育教學成果一、二等獎，發表論文近140余篇，主編《初中數學趣味讀本》全6冊，開設教學、命題講座200多場，提出了“價值引領、問題驅動、整體關聯、經驗助力”的教學主張，形成了“源于教材、立足基礎、關注本質、簡中求道”的命題風格.

張杰（1980—），男，中學高級教師;泰州市教學能手、泰興市先進教育工作者、泰興市青年崗位能手、泰州市朱金祥數學名師工作室成員、泰興市數學研究核心共同體成員、濟川中學政教處副主任;主要從事解題和命題研究;兩次在泰州市青年教師解題大賽中榮獲一等獎，主持或參加省、市級研究課題3個，發表論文10篇.