直觀助力推理 思辨走向自然

【摘 要】 以2022年寧波中考數學試題的兩道選擇題、一道填空題的解法探析為例，挖掘“數學直觀”的意義，形成自然、清楚、揭示數學本質的策略性方法.在數學解題中，需要“數學直觀”地“抽象、歸納、類比、聯想、發現、構建”，從中培養和發展“數學抽象、數學建模、邏輯推理”等核心素養.培養學生“直觀”的習慣與“感知”的能力，實現解題能力的提升.

【關鍵詞】 寧波卷；策略剖析；數學直觀；教學啟示

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的頒布，我國數學教育已全面開啟了以核心素養為導向的數學課程改革.核心素養指導數學教育改革，尤其是數學考試和評價的改革，我國正式邁進素養導向的數學核心素養評價時代.從應試能力考查過渡到高階思維認知能力考查，致力于學生的核心素養培育和著眼于人的全面發展.2022年寧波中考數學試題堅持“以人為本，學生的可持續發展為核心”的綠色命題理念，立足必備知識，聚焦關鍵能力，強化素養導向.本文擷取部分試題，從其解法探析入手，“數學直觀”導航，生成自然思路，從而啟示“數學直觀”在發展數學核心素養上的重要意義.

1 試題呈現與策略剖析

1.1 直觀理解題意，預測思路

例1 （2022年寧波卷第9題）點A（m－1，y1），B（m，y2）都在二次函數y=（x－1）2+n的圖象上.若y1

A.m>2? B.m>32? C.m<1? D.32

直觀選項意義進行排除 因為選擇題后面有備注：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.觀察A，C，D三個選項都是不含m=2的取值范圍，將特殊值m=2代入可得A（1，y1），B（2，y2），顯然點A，B都在拋物線的對稱軸的右側圖象上，且點A是拋物線的最低點，顯然滿足題意，即可排除選項A，C，D.

直觀圖象概念進行代入 因為點A（m－1，y1），B（m，y2）都在函數圖象上，所以y1=（m－2）2+n，y2=（m－1）2+n，所以（m－2）2+n<（m－1）2+n，化簡得－4m+4<－2m+1，解得m>32.

直觀圖象規律進行轉化 因為拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=1，所以此拋物線上的點到直線x=1的距離越近，其對應的函數值越小.因為y132.

直觀函數性質進行分類 根據二次函數的性質，因為a=1>0，所以當x≥1時，y隨著x的增大而增大；當x<1時，y隨著x的增大而減小.因為m-11，所以3232.

本題主要考查二次函數的解析式、圖象和性質以及學生的畫圖能力和識圖能力，運用數形結合的數學思想方法進行分析.理解題意，需要對題目的所有信息進行提取和發掘，建立具體和清晰的表象，感知材料形象概括，為思維抽象概括作準備，預測思路.這一過程需要“數學直觀”地“從問題背景中抽象出一般規律和結構”，培養和發展數學抽象素養，感悟用數學的眼光觀察現實世界的意義，形成數學想象力，提高學習數學的興趣.

1.2 直觀感知特征，開啟思維

例2 （2022年寧波卷第10題）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按圖1方式不重疊地放置在矩形ABCD內，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等.若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（? ）.

A.正方形紙片的面積?? B.四邊形EFGH的面積C.△BEF的面積?? D.△AEH的面積

直觀數量與數量關系 設兩張全等的正方形紙片的邊長為a，兩張全等的矩形紙片的長為b，寬為c，則2a=b+c，即c=2a-b，所以EH=FG=b-a，EF=GH=a-c=b-a，

所以S陰影=（b－a）2+（b－a）c+（b－a）a=（b－a）（b+c）=2a（b－a）=4S△BEF，故選C.

直觀圖形與圖形關系如圖2，聯結EN，GM，EG，將線段NH平移至FM處，根據矩形紙片和正方形紙片的周長相等，可得EF=EH，所以S△BEF=S△DGH=S△MEG=S△NEG，

S△AEH+S△CFG+S正方形EFGH=S平行四邊形ENGM，所以S陰影=S平行四邊形ENGM+S△BEF+S△DGH=4S△BEF.

（或如圖3，延長HG交BC于點M，延長GF交AB于點P，將線段GO平移至EQ處，根據矩形紙片和正方形紙片的周長相等，可得EF=FG，所以S△AEH+S△CFG+S正方形EFGH=S矩形EHMN，

因為S△BEF+S△DGH=S矩形EFPQ，所以S陰影=2S矩形EFPQ=4S△BEF.）

本題以矩形紙片為素材，以生成的圖形面積為問題核心，具有PISA試題的三個明顯特征：情景、運用、思維.將整式的運用、矩形的性質、圖形的平移問題融匯在基本圖形中，為運用割補、重組、轉移、等積變形、以數解形等方式提供平臺.感知特征，需要對圖形的形狀、大小、關系進行提取和發掘，包括內隱正方形EFGH，預測等積關系，開啟思維，進行代數運用或等積變形的方法去研究問題、解決問題，關注數學思維方法和理性思維能力.

1.3 直觀溝通聯系，助力探究

例3 （2022年寧波卷第16題）如圖4，四邊形OABC為矩形，點A在第二象限，點A關于OB的對稱點為點D，點B，D都在函數y=62x（x＞0）的圖象上，BE⊥x軸于點E.若DC的延長線交x軸于點F，當矩形OABC的面積為92時，EFOE的值為，點F的坐標為.

直觀軸對稱圖形發現位置關系 如圖5，聯結AD與OB交于點G，作CH⊥OB于點H.因為A，D關于OB對稱，所以AD⊥OB，AG=DG.易證DG∥CH，AG=CH，

所以DG=CH.所以四邊形CDGH為平行四邊形，所以CD∥OB.（或連結OD，由S△OBD=S△OBC，得到CD∥OB.）

直觀已知數據聚焦面積關系 （利用面積比來刻畫線段比解決第1空）如圖6，連結BF，由CD∥OB得到S△OBF=S△OBC=922.因為S△OBE=12×62=32，所以S△BEF=322，所以EFOE=S△BEFS△OBE=12.

直觀圖形結構構建幾何模型

如圖7，過點D作DG⊥x軸于點G.

設B（a，62a），D（b，62b），F（32a，0），由△OBE∽△FDG得BEDG=OEFG，

即62a62b=ab－32a，所以b=2a（b=－12a舍去）.（或將S△OBD=922轉化為S梯形BEGD=922，由面積計算公式得12（62a+62b）（b－a）=922，解得b=2a；或如圖8，構造△GEF∽△DHF，利用相似三角形的性質建立方程求得b=2a.）

直觀變量變化規律捕捉中點信息 變量的變化必然有其規律，直觀變化規律，方能便于我們感知，進而依據變化規律將其輕松求解.如圖9，過點D作DG⊥y軸于點G，交OB于點P，易證點P為OB的中點，PD=OF=32a.因為∠ODB=90°，所以OB=2PD=3a，

所以BE=（3a）2－a2=22a=62a，所以a=3，所以F（323，0）.（或如圖10，延長BD交x軸于點H，易證點D為BH的中點，點G為EH的中點，易求得GH=a.

由△ODG∽△DHG得DG2=OG·GH，即18a2=2a·a，進而解得a=3，F（323，0）.）

本題以矩形和對稱點為素材，以反比例函數為載體設置問題，實現雙曲線與平行線的圖形的完美組合，注重核心知識組合與串聯，使試題具有綜合性和靈活性，達到了用一道題考查諸多核心知識的目的.面對一個新的研究對象，從哪些角度發現和提出值得研究的問題，這需要“數學直觀”地去類比聯想、發現模型、構建模型，培養和發展邏輯推理與數學建模素養.

2 教學啟示

2.1 注重直觀想象，強化邏輯推理

對于任何學科的教學，最終都應當把培養學生的學科直觀作為重要的價值取向［1］.史寧中先生這段話指明了解題教學的重要方向，那就是解決數學問題始于直觀，終于理念.直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎.注重畫圖、析圖和賞圖，對題中所給的較復雜的圖形，學會分解，拆分成基本圖形；加強圖形之間的聯系，豐富圖形的想象，完善知識間的重組，為添加輔助線、解題思路的形成做好鋪墊；加強條件和結論之間的邏輯關系，圖形和問題之間的預想和預判，借助直觀將抽象變具體，將隱含變清晰，強化邏輯推理.善于發現圖形中的結構特征，從中抽取出數量、形狀、位置、變換等關系，使之呈現出“標準”或“熟悉”的狀態，順利實現模型化歸，釋放問題內涵，創造性地使用圖形解決問題，挖掘新思路，尋求新方法，使數學邏輯和數學直觀相互交織，直觀中有邏輯，邏輯中有直觀，進而培養學生“直觀”的習慣與“感知”的能力［2］.

2.2 優化知識結構，完善思維品質

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：以核心素養為導向的考試命題，要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養［3］.回歸教材，筑牢根基，廣泛聯系，讓知識網絡在關聯與融合中形成；探究方法，優化過程，一題多解，讓創新意識在求解與比較中發展；關注本質，深化思想，適時滲透，讓思想方法在啟發與探究中升華.在教學活動中給學生提供展示邏輯推理和思維能力的平臺，突出每個學生用自己的數學方式思考、探究，由直觀建立表象，由直觀引領轉化，由已知想可知，由未知想需知，溝通可知與需知，幫助學生逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，形成良好的數學題感.題感是數學直觀的具體體現，是直覺洞察的結果，是思維習慣的結晶，是反思頓悟的升華，進而在直觀—抽象—推理—建模—直觀的螺旋發展中完善有理、有序、有度的思維品質，彰顯數學教育對學生能力發展的價值.

參考文獻

［1］史寧中．高中數學核心素養的培養、評價與教學實施［J］．中小學教材教學，2017（05）：4-9.

［2］林新建．基于“核心素養”的數學直觀能力培養途徑［J］．數學通報，2019，58（08）：19-22.

［3］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）［M］．北京：人民教育出版社，2022：91.

作者簡介 蔡衛兵（1976—），男， 浙江寧波人，中學高級教師;主要從事初中數學教學研究.