挖掘學習深度促進思維躍遷
——拓展課《平行四邊形的等積變形》教學設計

文 何佳丹

【教學內容】

人教版五年級上冊第86 頁。

【教前思考】

下圖為人教版教材平行四邊形面積新授課后的一道習題。兩個平行四邊形同底，根據平行線間的距離處處相等，它們的高也相等，所以面積相同。這個問題通過觀察，不難解決，但其實像這樣等底等高面積相等的平行四邊形還有很多，明白等積變形背后的道理，這個性質還可以推廣到后續三角形、梯形甚至更多的平面圖形面積中，實現從題教到類教。 因此從此題入手，整體考慮不同學生的認知基礎，深度整合相關習題，嘗試改一題為一課，從典型的長方形入手，逐漸將學生頭腦中關于平面圖形的認知有序聯系，引導學生操作實證，多向思考，把握平行四邊形等積變形本質。

【教學目標】

1.經歷深度操作，畫面積相同的平行四邊形的過程，在獨立思考中培養分析推理能力，在動手操作中感悟等積變形思想，發展空間想象力。

2.推理驗證等底等高的平行四邊形面積相等，以及利用積的變化規律解決平行四邊形面積的相關問題。

3.用數學學習活動，感悟數學知識前后聯系，進一步滲透“轉化思想”，發展遷移應變能力。

【教學準備】

教師準備：課件、幾何畫板動態演示圖。

學習材料：格子圖、彩筆、剪刀、三角尺。

【教學過程】

一、直觀操作，探索新知

師：前面我們學習了平行四邊形的面積，今天我們繼續研究平行四邊形面積里的奧秘。

1.自由畫: 激活已有經驗。

活動一：“畫”面積相等的平行四邊形，激活知識經驗。

要求：自己想辦法，畫出和長方形面積相等的平行四邊形，看看你能畫幾個。（學生畫三分鐘）

2.交流反饋：展示經驗思考。

師：你們畫的平行四邊形和長方形面積相等嗎？

生：長方形是特殊的平行四邊形，還可以畫面積也是12 的其他長方形。

生：長方形的面積是：2×6=12，就去想想（ ）×（ ）=12。

生：畫和長方形等底等高形狀不一樣的平行四邊形，底邊都是2，高都是6，2×6=12，所以面積相等。

生：平行四邊形和長方形底和高都相等，根據面積公式，可以確定乘積也相等，所以面積相等。

師：大家想到的辦法可真多，通過具體數據的計算，根據面積公式底乘高，驗證了等底等高的平行四邊形面積相等。

二、推理分析，實證明理

師：大家想到的辦法可真多，通過具體數據的計算，根據面積公式底乘高，驗證了等底等高的平行四邊形面積相等。

1.驗證發現：等底等高，面積相等的平行四邊形有無數個。

（1）圖形實證：等底等高，面積相等。

活動二：剪拼證明：為什么等底等高的平行四邊形面積相等？

師：這兩個圖形形狀很不一樣，還有辦法可以驗證它們的面積相等嗎？拿出信封里的材料，自己動手試試看。

操作：學生嘗試對右邊的平行四邊形畫、剪、拼。

圖10 圖形實證面積相等的示意圖

生：我剪成了兩塊，①號與其中部分重合，剩下的②號和長方形剩下的一樣大。

生：你的看不出來面積相等。我再剪一次，分成三部分重新拼，剛好和長方形完全重合。

生：我剪成4 個完全相同的三角形，重新拼后和長方形完全重合，說明面積相等。

師：原來將平行四邊形多次割補轉化成左邊的長方形，就能一眼看出等底等高的平行四邊形面積相等。

師：現在把將這個圖形平移過去，你還有新的發現嗎？

生：除了公用部分，剩下兩塊圖形的面積也相等。

（2）再次畫圖：發現等底等高的平行四邊形有無數個。

活動三：快速畫：篩選最佳策略。

要求：來個小小的比賽（2 分鐘計時）。看誰的速度最快，畫出盡可能多的和長方形面積相等的平行四邊形。

師：用手勢告訴我你們畫了幾個？

師：你們現在怎么一下子畫出了那么多個？

生：共用已有平行四邊形的一條底邊，可以節約畫一條邊的時間。根據平行線之間的距離處處相等，高也就相等了。將上面的底邊不斷向右移動就可以了。

生：上面的邊也可以往左邊方向平移。

師：如果格子圖足夠大，時間也足夠多，你能畫多少呢？

生：無數個。

小結：等底等高的平行四邊形不僅面積相等，且有無數個。

2.雙向辨析：深刻把握等積變形本質。

（1）逆向反思：面積相等的平行四邊形，一定是等底等高嗎？

生：不一定，比如底3 高4 的平行四邊形。

小結：面積相等的平行四邊形，不一定等底等高，也有不等底不等高的情況。

（2）再次思考：不等底、不等高的平行四邊形一定面積相等嗎？如何保證？

生：只要底和高的乘積都是12 就可以。

生：平行四邊形面積=底×高，底和高就是兩個因數，利用積不變規律，一個因數乘幾另一個因數就除以幾（0 除外），也可以保證。

師：真棒，利用積不變規律，就能保證面積相等。

小結：不等底不等高的平行四邊形，底和高乘積相等時，面積相等。

（3）想象整理，在平行四邊形等積變形中滲透極限思想。

師：現在我們找到了5 個不等底、不等高但面積相等的平行四邊形。還有嗎？

生：2.4×5、24×0.5。

師：如果底是0.6，高就是？底是0.06，高是？底是0.006，高是？

小結：不等底、不等高但面積相等的平行四邊形有無數類。

師：如果用一生的時間去畫面積是12 的平行四邊形，你畫的完嗎？

生：畫不完。

小結：等底等高，面積相等的這一類平行四邊形有無數個。不等底、不等高面積相等的平行四邊形有無數類。

三、變式練習，拓展應用

練習一：正方形的周長是32cm，你能求出平行四邊形的面積嗎？

生：平行四邊形的底和高就是正方形的邊長。

師：關于這個問題有不同的想法嗎？

生：這兩個圖形等底等高，面積相等，求平行四邊形的面積就是求正方形的面積。

練習二：如圖，長方形框架面積是400cm2，把它拉成一個平行四邊形，長方形的高度是平行四邊形的2 倍。拉動后的平行四邊形的面積是多少？

生：先算出平行四邊形的高，再求面積（400÷25）÷2×25=200（cm2）。

生：等底，高是2 倍，對應面積也是平行四邊形面積的2 倍：400÷2=200（cm2）。

師：如果繼續拉動，長方形的高度是平行四邊形的4 倍，對應平行四邊形的面積是多少？

生：長方形面積是平行四邊形面積的4 倍。

師：n 倍呢？

生：長方形面積是平行四邊形面積的n 倍。

小結：等底，高的倍數關系和面積的倍數關系一樣。 高是現在的幾倍，面積也是現在的幾倍。

對比反思：對比一下，這個問題，和剛才研究的內容，一樣嗎？

生：之前研究的是等底等高，面積相等，等積變形?，F在這個問題是等底，高不同，面積也不同，相同的是周長，等周長變形。

師：是的，解決問題之前，我們要先觀察，思考判斷屬于哪種情況。

四、回顧反思，提煉經驗

師：這節課你有哪些收獲？

生：我掌握了等積變形的方法：可以利用等底等高畫出無數個面積相等的平行四邊形。

師：這是個不錯的方法。

生：也可以根據積不變規律。我還知道有的信息正向思考結論是對的，反過來就不一定了。

師：已知信息推理出的結論，有時候并不能作為條件反推。學習完還有新的問題嗎？

生：其他圖形中也有可以用這些方法進行等積變形的嗎？

師：你提出了一個很好的問題，等我們學習了更多的平面圖形的面積后可以繼續探究。