打通關(guān)聯(lián)類比遷移進(jìn)階思維
——以“分?jǐn)?shù)乘除法”串講復(fù)習(xí)為例

文|周 良

一、在多元表征中溝通分?jǐn)?shù)乘除法的算理

分?jǐn)?shù)乘除法的算理和法則歷來(lái)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，學(xué)生會(huì)按照法則進(jìn)行計(jì)算，但對(duì)算理的理解和法則的得出不理解。因此，在復(fù)習(xí)時(shí)讓學(xué)生再次理解算理并溝通分?jǐn)?shù)乘除法之間的聯(lián)系顯得很有必要。

1.復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算。

師：你是怎么想到被除數(shù)和除數(shù)要同時(shí)乘除數(shù)的倒數(shù)，而不是乘另外的數(shù)呢？

生：因?yàn)橹挥谐龜?shù)乘它的倒數(shù)，這樣算式中的除數(shù)才能變?yōu)?，這樣就可以看成除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)了。

二、在題組類比遷移中明晰分?jǐn)?shù)乘除法的數(shù)量關(guān)系模型

1.教材分析。

分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算教學(xué)后，教材安排了“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”和“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少”與之對(duì)應(yīng)，分?jǐn)?shù)除法計(jì)算教學(xué)后，教材安排了“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”和“已知比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”與之對(duì)應(yīng)。

2.本質(zhì)聯(lián)系。

分?jǐn)?shù)乘除法的數(shù)量關(guān)系本質(zhì)上是倍數(shù)關(guān)系，與之前的學(xué)習(xí)區(qū)別在于以前學(xué)生遇到的是整數(shù)倍、小數(shù)倍，現(xiàn)在改為了分?jǐn)?shù)倍，其實(shí)質(zhì)不變。這幾組關(guān)系中，最本源的是“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”，“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾”是在其基礎(chǔ)上多了一步計(jì)算。而分?jǐn)?shù)除法的兩種類型從方程意義上來(lái)理解，它的數(shù)量關(guān)系還是分?jǐn)?shù)乘法關(guān)系。因此，我們完全可以借助倍數(shù)讓學(xué)生理解分率含義，遷移倍數(shù)的數(shù)量關(guān)系模型而建立分?jǐn)?shù)乘除法的數(shù)量關(guān)系模型。

3.模型建立。

（1）從“求幾倍是多少”到“求幾分之幾是多少”再到“已知幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”。

①水果店有蘋果60 千克，香蕉是蘋果的2 倍，香蕉有多少千克？

②水果店有蘋果60 千克，香蕉是蘋果的1.2 倍，香蕉有多少千克？

從整數(shù)倍數(shù)得到“一倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù)”這一數(shù)量關(guān)系模型。接著變整數(shù)倍為小數(shù)倍數(shù)、分?jǐn)?shù)倍數(shù)，溝通倍數(shù)與分率的內(nèi)在聯(lián)系，遷移建立“一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的模型。

從整數(shù)到小數(shù)到分?jǐn)?shù)，學(xué)生頓悟：原來(lái)?yè)Q湯不換藥，其實(shí)質(zhì)都是“香蕉的質(zhì)量=蘋果的質(zhì)量×幾倍”，這里的“幾倍”有可能是整數(shù)、小數(shù)，也有可能是分?jǐn)?shù)，當(dāng)它是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般都說(shuō)誰(shuí)的幾分之幾，“倍”字省略而已。

師：這一題與前面題目有什么異同？

生：不同的是前面三題都是告訴我們蘋果的質(zhì)量，求香蕉的質(zhì)量，這題是告訴香蕉質(zhì)量，求蘋果的質(zhì)量。

生：這四題都告訴我們“香蕉是蘋果的x 倍”，也就是“香蕉的質(zhì)量=蘋果的質(zhì)量×x”，數(shù)量關(guān)系式都一樣。

（2）從“求多幾倍是多少”到“求多幾分之幾是多少”再到“已知多幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”。

①水果店有蘋果60 千克，香蕉比蘋果多2 倍，香蕉有多少千克？

②水果店有蘋果60 千克，香蕉比蘋果多1.2 倍，香蕉有多少千克？

從整數(shù)多2 倍開始，畫出線段圖，從圖示中容易看出，“香蕉比蘋果多2 倍”換句話說(shuō)就是“香蕉是蘋果的3 倍”，同理，小數(shù)、分?jǐn)?shù)也是這樣道理。因此，提煉出如下等量關(guān)系：

師：（小結(jié)）萬(wàn)變不離其宗，關(guān)鍵是我們要抓住兩個(gè)量之間的等量關(guān)系。

復(fù)習(xí)課不是簡(jiǎn)單的“整理知識(shí)+配套練習(xí)”，要在知識(shí)的相互關(guān)聯(lián)上下功夫，幫助學(xué)生把這些知識(shí)有機(jī)串聯(lián)起來(lái)，著力發(fā)展和提升學(xué)生的思維能力，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階。