數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)案例研究

廣東省東莞市長(zhǎng)安鎮(zhèn)烏沙小學(xué) 丁 彬

廣東省東莞市長(zhǎng)安鎮(zhèn)金沙小學(xué) 余素婷

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)學(xué)科，同時(shí)它也是一門(mén)對(duì)每一個(gè)問(wèn)題都深入研究且經(jīng)歷繼承與創(chuàng)新、新舊理論相互包容的悠久性歷史學(xué)科，當(dāng)人們將其記錄下來(lái)，則變成了數(shù)學(xué)史。數(shù)學(xué)某些知識(shí)的課堂教學(xué)不應(yīng)該只有模式化了的結(jié)果，奧地利著名物理學(xué)家、哲學(xué)家馬赫曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“沒(méi)有任何科學(xué)教育可以不重視科學(xué)的歷史和哲學(xué)”，數(shù)學(xué)教育同樣如此。通過(guò)向?qū)W生介紹與具體知識(shí)相關(guān)聯(lián)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程和數(shù)學(xué)家的生平故事等，不僅可以讓學(xué)生對(duì)具體知識(shí)更感興趣，還可以增加相關(guān)知識(shí)的形象性和生動(dòng)性，拓展學(xué)生的視野。

一、課本教材分析

在19世紀(jì)之初，國(guó)內(nèi)外一部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系進(jìn)行了探討，其中包括法國(guó)哲學(xué)家孔德、美國(guó)數(shù)學(xué)家斯密斯以及國(guó)內(nèi)學(xué)者張曉貴、汪曉勤等，他們相繼提出將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。但是教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何將數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)?shù)厝诤希瑢?shù)學(xué)史用最合理的方式展現(xiàn)在學(xué)生面前，這就是本文所探討的重點(diǎn)。本文以汪曉勤的四種數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的四種方式“重構(gòu)式、附加式、順應(yīng)式、復(fù)制式”為基礎(chǔ)，結(jié)合教材，將四年級(jí)整冊(cè)涉及的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)史素材、融入方法等進(jìn)行了整理，以期為一線(xiàn)的四年級(jí)數(shù)學(xué)教師實(shí)施數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂提供借鑒（見(jiàn)表 1）。

表1 人教版小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)史融入方式

二、引入數(shù)學(xué)史，掌握規(guī)則

（一）引入數(shù)學(xué)史，理解小數(shù)的表示

小數(shù)是我國(guó)最早提出和使用的。劉徽的《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》中提出整個(gè)位以下的數(shù)就用小數(shù)表示。在公元3世紀(jì)，劉徽就提出將整個(gè)數(shù)以下的無(wú)法標(biāo)注的名稱(chēng)部分稱(chēng)為“徽數(shù)”。剛開(kāi)始時(shí)，小數(shù)被用來(lái)表示部分文字，但隨著生產(chǎn)的迅速發(fā)展，為適應(yīng)生產(chǎn)的需要誕生了“籌算”。劉徽在創(chuàng)造小數(shù)時(shí)結(jié)合當(dāng)時(shí)中國(guó)沿用的十進(jìn)位制計(jì)數(shù)，因此在創(chuàng)造小數(shù)的過(guò)程中就使用了十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，從而形成了小數(shù)的概念。

到了宋、元時(shí)代，小數(shù)的概念及其表示方法得到進(jìn)一步的普及和明確，秦九韶將單位注在表示整數(shù)部分個(gè)位的籌碼之下，例如，—Ⅲ—Ⅱ表示13.12寸，寸是世界上最早的小數(shù)表示法。到了13世紀(jì)，朱世杰明確了小數(shù)的名稱(chēng)，同時(shí)用低一格表示小數(shù)的記法。例如，┻｜｜｜｜_｜｜（64.12）這種記法后來(lái)傳到了中亞和歐洲。后來(lái)，又有人將小數(shù)部分的各個(gè)數(shù)字用圓圈圈起來(lái)，這么一圈，就把整數(shù)部分和小數(shù)部分分開(kāi)了。通過(guò)小數(shù)發(fā)展史的引入，學(xué)生對(duì)小數(shù)這一抽象的概念有了更加深入的理解，也更加明確小數(shù)點(diǎn)的用法，這為后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)的順序奠定了基礎(chǔ)。

（二）引入數(shù)學(xué)史，強(qiáng)化運(yùn)算法則

17世紀(jì)被譽(yù)為數(shù)學(xué)的“天才時(shí)期”，18世紀(jì)則被譽(yù)為數(shù)學(xué)的“發(fā)明時(shí)期”，這兩個(gè)時(shí)期大量數(shù)學(xué)符號(hào)的創(chuàng)造與使用都極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。在“括號(hào)”的教學(xué)中，教師可以引入括號(hào)的發(fā)展歷史，掌握有括號(hào)的四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。“（）”是小括號(hào)，語(yǔ)文常用來(lái)表示文章的注釋?zhuān)辉跀?shù)學(xué)方面，最早記載是荷蘭的數(shù)學(xué)家吉拉特17世紀(jì)率先使用，打破了之前表示算式的先算部分時(shí)用“——”來(lái)表示的方法，如35+40-18表示要先算40-18。為了更明確地界定運(yùn)算順序，17世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里士在其著作《無(wú)窮的算術(shù)》中使用了一種可以改變運(yùn)算順序的中括號(hào)，又稱(chēng)“方括號(hào)”，即“［］”，它在其他方面主要運(yùn)用于行文中的補(bǔ)缺、修訂、音標(biāo)或參考文獻(xiàn)。

通過(guò)“括號(hào)”在運(yùn)算中使用歷史的引入，學(xué)生了解了“括號(hào)”的產(chǎn)生歷史，理解了含有括號(hào)的四則運(yùn)算的順序，在一個(gè)算式里，既有小括號(hào)，又有中括號(hào)時(shí)，要先算小括號(hào)里面的數(shù)式，再算中括號(hào)里面的數(shù)式。歷史不僅可以讓學(xué)生理解運(yùn)算規(guī)則和掌握規(guī)則，還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

（三）引入數(shù)學(xué)史，鞏固豎式

“格子乘法”是15世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利在《算術(shù)、幾何及比例性質(zhì)摘要》一書(shū)中介紹的一種兩個(gè)數(shù)相乘的計(jì)算方法。這種方法傳入中國(guó)之后，明朝的數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》一書(shū)中將其稱(chēng)為“鋪地錦”。通過(guò)“格子乘法”（見(jiàn)圖1）的引入，在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)將其與乘法豎式的算理對(duì)比，可以很好地發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易出現(xiàn)，并在“格子乘法”中可以得到有效解決的一個(gè)問(wèn)題，那就是學(xué)生經(jīng)常會(huì)忘記的加進(jìn)位。當(dāng)然在講述“格子乘法”時(shí)教師必須強(qiáng)調(diào)乘法豎式是目前數(shù)學(xué)中較為常用的計(jì)算方法，有其自身便利之處，在了解“格子乘法”時(shí)也要熟練掌握乘法豎式計(jì)算。

圖1 格子乘法

三、數(shù)學(xué)史導(dǎo)入，活化數(shù)學(xué)課堂

（一）數(shù)的產(chǎn)生導(dǎo)入

教師在講述數(shù)的產(chǎn)生和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可以擴(kuò)充數(shù)產(chǎn)生的史料以此吸引學(xué)生的課堂注意力。在公元500年前后，印度次大陸西北部的旁遮普地區(qū)的數(shù)學(xué)一直處于領(lǐng)先地位，當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家阿葉彼海把數(shù)字記在對(duì)應(yīng)的格子里，即在每個(gè)格子里用相同的符號(hào)表示一個(gè)數(shù)位，如果第一個(gè)格子用一個(gè)三角形表示1，那么第二個(gè)相同的三角形就是表示10，以此類(lèi)推，這樣不僅可以表示數(shù)字符號(hào)的本身，而且對(duì)其所在的位置次序同樣具有重要意義。隨后印度學(xué)者引入了零的符號(hào)，這些符號(hào)及表示方法被稱(chēng)為“阿拉伯?dāng)?shù)字的祖先”。

在公元700年前后，印度先進(jìn)的數(shù)學(xué)便傳入阿拉伯，隨后這種數(shù)字傳入西班牙，到了15世紀(jì)歐洲人也開(kāi)始采用阿拉伯?dāng)?shù)字（見(jiàn)圖2），但那時(shí)的阿拉伯?dāng)?shù)字的形狀與現(xiàn)代的阿拉伯?dāng)?shù)字尚不完全相同，只是比較接近而已，為使它們變成如今的1、2、3、4、5、6、7、8、9、0的書(shū)寫(xiě)方式，又有許多數(shù)學(xué)家花費(fèi)了不少心血。教師在課堂教學(xué)引入數(shù)的發(fā)展歷史，可以加深了學(xué)生對(duì)數(shù)字的認(rèn)識(shí)，同時(shí)消除了部分學(xué)生對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)字產(chǎn)生于阿拉伯的誤解，對(duì)樹(shù)立學(xué)生正確的學(xué)習(xí)態(tài)度起到積極作用。

圖2 阿拉伯?dāng)?shù)字

（二）億以上數(shù)的認(rèn)識(shí)導(dǎo)入

教師在講述億以上數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)可將算籌的表示方式作為教學(xué)導(dǎo)入。出自《老子》一書(shū)中的“善計(jì)者不用籌策”，表明算籌在當(dāng)時(shí)已經(jīng)是很普遍了。用算籌有縱式和橫式兩種方式來(lái)表示數(shù)（見(jiàn)圖3）；縱式的縱擺每根算籌都代表1，在表示6～9時(shí)，則上面擺一根橫的代表5；橫式中則是橫擺的每一根都代表1，其上面縱擺的一根代表5。而且規(guī)定，個(gè)位和百位必須用縱式，十位和千位必須用橫式，縱橫相間，使各位界限分明，以免發(fā)生混亂，算盤(pán)中上面的一個(gè)子代表5，下面的一個(gè)子代表1，是從算籌延續(xù)下來(lái)的。以此，作為億以上數(shù)的讀寫(xiě)及改寫(xiě)導(dǎo)入為枯燥乏味的課堂注入新鮮血液，不僅可以激發(fā)學(xué)生課堂參與的興趣，還對(duì)以上數(shù)的認(rèn)識(shí)起到很好地銜接作用。

圖3 算籌縱橫排列方式

（三）三位分級(jí)讀數(shù)的差異教學(xué)

中國(guó)的崛起，促使中國(guó)必然要走向世界，因而在某些具體措施上必須遵循國(guó)際慣例，與國(guó)際接軌，在數(shù)學(xué)的教育上保持我國(guó)的傳統(tǒng)規(guī)則是了解并吸收國(guó)際通行做法的“雙軌制”。在大數(shù)的讀法上，國(guó)內(nèi)通用的方法是四位分級(jí)法，但在國(guó)際上則采用三位分節(jié)法，即每三位為一節(jié)用逗號(hào)隔開(kāi)，雖然傳統(tǒng)規(guī)則與國(guó)際規(guī)則存在差異，但無(wú)論是三位分節(jié)法還是四位分級(jí)法，都是先分級(jí)后讀數(shù)。

通過(guò)比較國(guó)內(nèi)外三位分節(jié)讀數(shù)的方法，可以開(kāi)闊學(xué)生視野，讓學(xué)生知道數(shù)的讀法并不唯一，從而體會(huì)到方法是多樣的、文化是多元的。從實(shí)際生活來(lái)看，我們讀數(shù)的方法雖然按照四位一級(jí)，但在生活中的很多場(chǎng)合（尤其是金融行業(yè)），寫(xiě)數(shù)卻是按照三位一節(jié)來(lái)寫(xiě)的，通過(guò)對(duì)兩種不同的計(jì)數(shù)方法，可以幫助學(xué)生更為方便地生活。從學(xué)科融合來(lái)看，三位分節(jié)讀數(shù)法利于打通學(xué)科聯(lián)系；從學(xué)科素養(yǎng)來(lái)看，三位分節(jié)與四位分級(jí)方法共通。四位一級(jí)讀數(shù)法，從高位開(kāi)始，一級(jí)一級(jí)往下讀，萬(wàn)級(jí)或億級(jí)的數(shù)按照個(gè)級(jí)的讀法來(lái)讀，每級(jí)讀完在后面加上“萬(wàn)”或“億”。三位一節(jié)讀數(shù)法，從高位開(kāi)始，一節(jié)一節(jié)往下讀，第二、第三節(jié)的數(shù)按照第一節(jié)數(shù)的讀法來(lái)讀，每節(jié)讀完在后面加上這一節(jié)的單位。由此可見(jiàn)，無(wú)論是三位分節(jié)法還是四位分級(jí)法，都是先分級(jí)后讀數(shù)，它們?cè)谔幚淼牟呗院头椒ㄉ袭惽ぃ@種宏觀的認(rèn)識(shí)對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維幫助很大。

四、結(jié)語(yǔ)

將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，在豐富數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的同時(shí)，加深學(xué)生對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)史有所了解，這對(duì)有效調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性起到促進(jìn)作用，也有助于緩解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼心理。當(dāng)然，在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史時(shí)不僅需要注意數(shù)學(xué)史料與相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)聯(lián)，也要注意選取對(duì)學(xué)生有教育價(jià)值的數(shù)學(xué)史材料，發(fā)揮學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的正面教育價(jià)值。換而言之，就是“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應(yīng)是遵循經(jīng)過(guò)改良、同時(shí)有更好引導(dǎo)作用的歷史過(guò)程”。因此，這就要求教師對(duì)數(shù)學(xué)史料有豐富的儲(chǔ)備，在選用數(shù)學(xué)史料時(shí)也需要綜合考量其帶來(lái)的教育價(jià)值。