巧用復數 優化解題

王偉杰

(安徽省無為中學高二(6)班，238300)

安徽省合肥市一中、六中、八中2020-2021學年高一下學期數學期末聯考題第21題如下:

試題合肥逍遙津公園是三國古戰場,也是合肥最重要的文化和城市地標,是休閑游樂場,更是幾代合肥人美好記憶的承載地.2020年8月啟動改造升級工作,欲對該公園內的一個平面凸四邊形ABCD的區域進行改造,如圖1所示,其中DC=4a米,DA=2a米,?ABC為正三角形.改造后的?BCD將作為人們旅游觀光、休閑娛樂的區域,?ABD將作為對三國歷史文化的介紹區域.

(2)求旅游觀光、休閑娛樂的區域?BCD的面積的最大值.

如下的解法1是此題的參考答案.

(2)如圖2,設∠ADC=α，∠ACD=β,BC=AC=x.在?ACD中，由余弦定理知AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosα,即x2=4a2+16a2-2×2a×4acosα,亦即

x2=(20-16cosα)a2.

①

②

由正弦定理得

③

由① ② ③ 三式,可得

反思上述解法需運用正弦定理、余弦定理列出三個方程,聯立得出面積的表達式,過程繁瑣且不易想出,綜合分析問題能力要求較高.如何簡化問題的表達過程,達到優化解題的目的?這里介紹此題在復數視角下的一種簡便解法.

評注上述復數解法思路簡單,便于操作.此種方法在2019年人教A版普通高中《數學》(必修第二冊)第7章7.3節有所介紹,但由于是選學內容,可能沒有引起同學們的重視.其實在處理與旋轉有關的問題時,復數是一個非常有力的工具.對復數視角下的解題方法技巧的運用,希望同學們能繼續拓展延伸.

(指導老師:朱小扣)