一個重要不等式在競賽試題中的應用

張國治

(新疆生產建設兵團第二中學，830002)

本文從一個重要不等式出發,探源溯流,給出一類競賽題、高考題命題的題根,給出一種高效學習數學的方法,敬請同行指正.

下面以競賽題為例談談此不等式的應用,追本溯源,以期拋磚引玉,凸顯回歸題根的重要性.

一、求值

二、求最值

1.求整式的最值

例3(2018年河北省預賽題)若實數x,y,z滿足x2+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則zmax+zmin=______.

例4(2018年天津市預賽題)[3]實數x,y滿足x2+y2=20,則xy+8x+y的最大值為______.

2.求無理函數的最值

3.求分式的最值

4.求三角式的最值

例10(2018年河南省高二預賽題)已知cos(α+β)=cosα+cosβ,試求cosα的最大值.

5.求數列的最值

6.求幾何中的最值

例12(2017年廣西壯族自治區預賽題)過半徑為5的球面上一點P作三條兩兩互相垂直的弦PA,PB,PC使得PA=2PB,則PA+PB+PC的最大值為______.

解依題意,以PA,PB,PC為相鄰三條棱的長方體內接于球,長方體的體對角線為球的直徑.故PA2+PB2+PC2=100,即5PB2+PC2=100.由文首結論,得

三、證明不等式

可見,研究“題根”對教學、命題和解題都有深遠的意義.如果把一道數學題比作一棵大樹,那么,“題根”就是它的根系,“題根”周圍的知識生長點不斷推廣和延伸,逐漸長成了參天大樹.把一個比較復雜的問題,“退”到最簡單、最原始的問題,把這個最簡單、最原始的問題想通了、想透了，然后再進行歸納、綜合而實現質的飛躍,這是學好數學的一個訣竅,引申開來,這也是教好數學的一個訣竅.