新舊版高中數學教材對比分析

何業亮 賀小雪

［摘? 要］ 函數貫穿了整個高中數學學習，它具有基礎性、工具性、啟發性，為學生提供了解題思路，推動了解題流程，函數在高中數學學習中有著不可估量的作用．新舊版高中數學教材對函數的部分定義也發生了改變，下面以“兩個函數相等”的定義為例對比分析新舊版教材的差異．

［關鍵詞］ 高中數學；新舊版教材；函數定義

對舊版教材定義的分析

人教A版高中數學必修1教材將“兩個函數相等”定義為（以下記為“舊版教材定義”）：如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，我們就稱這兩個函數相等［1］． 由上述定義可知，若兩個函數存在相等關系，那么必須滿足的條件有兩個，一是定義域相等，二是對應關系相同．

文［2］提出了疑惑：如果兩個函數只存在定義域相等，但對應關系不同，那么這兩個函數是相等的嗎？然后舉了兩個例子（見例1和例2），得出“有可能相等”的結論，最后指出“‘舊版教材定義’的表述存在歧義”．

例1 已知函數f（x）=x+1與g（x）=x2+1的定義域都是｛0，1｝，判斷這兩個函數是否相等．

例2 已知函數f（x）=x與g（x）=x4的定義域都是｛-1，0，1｝，判斷這兩個函數是否相等．

文［3］指出上面例1中的兩個函數的對應關系是相同的，然后分析大學階段“關系說”的函數定義，最后草率地肯定“舊版教材定義”．

1. 疑惑

（1）兩例中的兩個函數的對應關系是否均相同？

解決這個問題的關鍵是準確理解函數的對應關系．據筆者調查，將其理解為施加在自變量上的運算關系非常流行． 譬如，函數g（x）=x2+1的對應關系是自變量的平方再加1． 事實上，這種體現對應過程的理解是膚淺的、片面的． 筆者認為，函數的對應關系反映的是對應的結果，如果兩個函數的對應關系相同，那么它的本質是對自變量的同一個取值，都會有相同的函數值與之對應． 文［2］和文［3］都未說清這一點，均停留在“對應過程”層面． 由于例1中的對應關系（x→y）是0→1，1→2，例2的對應關系（x→y）是－1→1，0→0，1→1，故這兩例中的兩個函數的對應關系均相同，只是對應過程的“表現形式”（即解析式）不同而已．

（2）“舊版教材定義”是否有問題？

筆者查閱蘇教版、北師大版和人教B版高中數學教材，發現都未提及“兩個函數相等”的定義． 但仔細品讀這三個版本的高中數學教材會發現：這四個版本（含人教A版）教材對函數概念的敘述基本相同，都是源自法國布爾巴基學派所完善的函數“關系說”定義，只不過是簡化型和濃縮版. 不難看出，構成函數的要素是定義域、對應關系和值域. 而函數的值域又是由函數的定義域和對應關系所決定的，故“舊版教材定義”沒有根本上的問題． 文［2］提到了一個大學版“兩個函數相等”的定義（以下記為“大學版定義”）：若兩個函數f與g有相同的定義域D，且對每個x∈D，兩個函數的函數值f（x）與g（x）相等，則稱兩個函數相等． 筆者認為它與“舊版教材定義”的本質相同，但各有千秋．具體來講，“舊版教材定義”較精煉，便于學生記憶；“大學版定義”雖然翻譯了兩個函數的對應關系相等，但操作性稍遜色．實證表明，在非定義域的范圍內或忽略定義域去判斷兩個函數的對應關系是否相等是普遍現象，極不嚴謹，有時會出錯，但不能把原因歸為“舊版教材定義”有問題． 故在此基礎上，新版教材對舊版教材的“兩個函數相等”的定義做了補充和修改．

新版教材對定義的完善

人教A版高中數學必修第一冊教材對“兩個函數相等”是這樣定義的（以下記為“新版教材定義”）：如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，即相同的自變量對應的函數值也相同，那么這兩個函數是同一個函數． 由此我們亦可得，兩個函數相等的必需條件是：第一，定義域相等；第二，對應關系相同；第三，相同自變量對應的函數值相同. 相對于舊版教材，新版教材在原定義的基礎上增加了“相同自變量對應的函數值相同”．

例3 已知函數f（x）=1與g（x）=sin2x+cos2x的定義域都是R，判斷這兩個函數是否相等．

例4 已知函數f（x）=x+1與g（x）=x2+1的定義域都是（0，1），判斷這兩個函數是否相等．

函數中的對應關系是指“輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素”，因此對應關系相等，應該是兩個函數取同一自變量時，對應的函數值相同． 例3中的兩個函數，當x取任意值時，f（x）與g（x）都是相等的，且都等于1，兩個函數的定義域相同，對應關系相同，相同的自變量對應的函數值也相同，因此f（x）=1與g（x）=sin2x+cos2x是相等的函數．例4中的兩個函數，當f（x）在定義域范圍內取x=0.5時，f（0.5）=1.5；當g（x）在定義域范圍內取x=0.5時，g（0.5）=1.25，因此f（0.5）≠g（0.5）． 可見這兩個函數的定義域相同，值域相同，但對應關系不同，因此它們不是相等的函數．

新版教材在舊版教材的基礎上加了一個條件，即相同的自變量對應的函數值相同，使原來的定義更加完善. 為了嚴謹起見，下面給出了用定義判斷兩個函數是否相等的操作流程（見圖1）．

總結和建議

1. 敬重教材

教材是許多數學工作者的心血，他們經過斟酌敲打，最后才有智慧結晶． 所以應敬重教材，要學會高瞻遠矚地品讀教材．

從句子品讀，體會微言大義．不僅更能揭示函數概念的本質，而且更有利于學生的學習．從結構品讀，收獲教學智慧．給學生提供一個完整的認識數學基礎知識的機會，為以后的高等數學學習奠定基礎

2. “玩”好概念

概念是學科的基石． 李邦河院士曾說：“數學從根本上玩的是概念，而不是技巧． 技巧不足道也！”作為數學教師，必須“玩”好概念．

（1）認清定義的固有特性．

定義與定理雖一字之差，但固有特性截然不同． 定義必具充要性，而定理未必如此． 譬如，“兩個函數相等”的定義表明：兩個函數的定義域相同且對應關系相同是兩個函數相等的充要條件，這既能當作函數相等的判定條件，又可以作為函數相等的性質；零點存在性定理揭示：函數f（x）在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，且f（a）·f（b）<0是函數f（x）在區間（a，b）內有零點的充分條件． 由于不滿足必要性，所以只能作為函數存在性零點的判定條件．

（2）理解概念的本質屬性．

對數學概念的理解不能停留在表面，應深入到本質，否則極容易犯錯誤．

以上乃筆者之拙見，權當拋磚引玉，敬請同仁斧正！

參考文獻：

［1］? 劉紹學． 普通高中課程標準實驗教科書數學必修1（A版）［M］． 北京：人民教育出版社，2007．

［2］? 章建躍． 普通高中課程標準實驗教科書數學第一冊（A版）［M］． 北京：人民教育出版社，2020．

［3］? 葉景輝，吳偉朝． 教材這樣定義有問題嗎？［J］． 中學數學雜志，2015（03）：16．

作者簡介：何業亮（1981—），本科學歷，中學一級教師，馬林名師工作室成員，校教研組長，市骨干教師，從事高中數學教學工作十余年.