偏心量影響下的松動故障轉子非線性分析

劉桂珍，馬曉君，李小海，袁聰聰，聞邦椿

（1.佳木斯大學機械工程學院，黑龍江 佳木斯 154007；2.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽 110819）

支座松動故障是旋轉機械中危害較大的一種常見故障［1］。旋轉機械長期在高轉速下運行，旋轉所產生的離心力以及各種不平衡力大于其所受重力，會導致軸承支座和基礎之間在垂直方向發生分離。質量偏心是轉子系統運轉時產生不平衡力的主要來源，會引起機器振動、影響轉子正常運作，甚至會產生嚴重事故的重要因素之一［2-3］。因此，研究偏心量對具有支座松動故障轉子系統的響應具有重要的意義。

目前國內外學者對松動故障的研究，都是在分段線性力學模型基礎上進行的。Ma等［4］利用有限元法，分析了有關參數對松動故障的動態響應；蔣兆遠等［5］分析了橫向流體激振力，對松動故障支座質量的非線性動力學影響；芮品先［6］研究了有界噪聲激勵下的松動故障轉子，進入分岔與混沌的演變過程；張靖等［7］發現兩端均有松動故障的轉子系統，支座位移不同，會導致系統響應的頻譜特征發生顯著變化；于歡［8］研究表明，受支承剛度階躍影響，支承松動轉子系統會產生混沌運動；曹樹謙［9］針對一端支承松動的轉子系統，利用遺傳算法，對松動端的故障非線性參數進行識別；黃亞明［10］利用數值求解，分析出松動故障的一般特征；伍小莉［11］分析了松動故障的轉子系統，超過臨界轉速后，偏心量的增加，會激起系統強烈的振動；李宏坤等［12］結合轉軸材料的非線性，得出支座松動故障頻譜圖以低頻為主、高頻部分響應幅值相對較小的結論；劉楊等［13］研究發現，滑動軸承支撐下的松動-碰摩耦合故障，通常以碰摩故障特征為主，時域波形呈現下密上疏的波動形狀，軸心軌跡表現為多個嵌套的“半橢圓形”，這些故障特征可以作為診斷滑動軸承（油膜力）支撐下松動-碰摩耦合故障的一個理論依據。

本文以轉子系統具有支座松動故障為研究背景，利用拉格朗日方程，建立了非穩態油膜力作用下的轉子-定子-軸承系統松動故障的6質量、12自由度的非線性動力學模型，應用數值分析，研究了當偏心量作為唯一控制參數時轉子系統的響應，所得結論為該類轉子的故障診斷和系統的安全運行提供理論依據。

1 力學模型與微分方程

1.1 拉格朗日方程描述

設有n個質點組成的質點系，受完整的理想約束，具有N個自由度，其位置可由N個廣義坐標方程來確定。則有

式中：L為拉格朗日函數，L=T-V（T為系統的動能函數，V為系統的勢能函數）；R為與系統阻尼相對應的耗散函數；Qi為作用在系統上的廣義力；qi為系統獨立的廣義坐標；N為系統的總自由度個數。

1.2 非穩態油膜力模型［14］

非線性油膜力模型采用短軸承假設下的Capone非線性油膜力模型，該模型有較好的精度和收斂性。在短軸承油膜力假設條件下的無量綱雷諾方程為

式中：h為無量綱油膜厚度，h=為油膜厚度，C為軸承徑向間隙）；z為無量綱軸向位移，z=（為軸向位移）；p為無量綱油膜壓力，p=為油膜壓力，μ為油膜黏性系數；x、y分別為無量綱軸頸中心x、y方向的位移分別為無量綱軸頸中心x、y方向上的速度分量。

由式（2）可得無量綱油膜壓力為

式中：D為軸承直徑。

無量綱非線性油膜力最終可以表示為

式中：

1.3 力學模型

帶有兩端支座松動故障的轉子-定子-軸承系統如圖1所示。假定系統中兩端支座同時出現松動，軸頸兩端由相同的油膜軸承支撐，設δ為軸頸與軸承間的平均間隙，O1為轉盤的幾何中心，Oc為轉盤的質心，O2、O3分別為兩端軸頸的幾何中心，O4、O5分別為兩端軸承的幾何中心，m1為轉盤處的等效集中質量，兩端軸承支座質量相等，即m2=m6，兩端軸頸在軸承處的等效集中質量相等，即m4=m5，定子支座質量為m3。

圖1 轉子-定子-軸承系統松動故障的動力學模型Fig.1 The dynamics model of rotor-stator-bearing system with looseness fault

假設圓盤與軸頸之間為無質量彈性軸，k1為轉軸剛度系數，k2為軸承支撐剛度系數，k3為定子基礎剛度系數，kr為軸承座與基礎之間的等效剛度，ksz、ksy分別為松動端左、右軸承座的分段剛度，單位為N·m-1；c1為轉軸阻尼系數，c2為軸承支撐處的結構阻尼系數，c3為基礎對定子的阻尼系數，csz、csy分別為松動端左、右軸承座的分段阻尼，單位為N·s·m-1。

1.4 運動微分方程

設盤心O1和軸頸中心O2、O3的位移分別為（x1，y1）、（x2，y2）、（x6，y6），ω為軸的轉動角速度，e為不平衡量，μ為油黏度，R為軸頸半徑，L為軸頸長，Fxz、Fyz和Fxy、Fyy分別為左、右兩端軸承受到的油膜力。

根據拉格朗日方程，對圖1建立具有兩端松動故障的轉子-定子-軸承系統的質點運動微分方程組（?為位移x、y的二階導數加速度）：

當松動發生時，設松動的最大無量綱間隙值為δ1，分段線性表示為

2 數值模擬

運用4階Runge-Kutta法對數值進行求解，在計算中為了能夠較快得到穩定解，應將步長選得盡量小且周期足夠多。

為了保證解的收斂性并減小計算誤差，計算中需要選用較小的時間步長，同時為了能記錄到振動的穩定解和消除瞬態響應的影響，略去前2 000個數據點，取后4 500個數據點。計算軌跡圖時取10～20個周期。設系統的參數為m1=4.0 kg，m2=m6=32.1 kg，m3=50.0 kg，m4=m5=20.0 kg；R=25 mm，δ2=0.2 mm，e=0.1 mm，μ=0.018 Pa·s，c1=1 050 N·s·m-1，c2=2 100 N·s·m-1，c3=2 100 N·s·m-1；k1=2.5×105N/m，k2=2.5×105N/m，k3=2.5×107N/m，ks1z=1.0×106N/m，ks2z=20.0×106N/m，ks1y=5.0×106N/m，ks2y=10.0×106N/m；cs1z=1 500 N·s/m，cs2z=1 500 N·s/m，cs1y=1 500 N·s/m，cs2y=1 500 N·s/m，δ1z=0.01 mm，δ1y=0.01 mm，軸承有效長度L=12 mm。

圖2描述的左、右松動支座在不同偏心量下隨激勵頻率變化的分岔圖。觀察圖2結合此時的龐加萊截面圖，得出轉子系統在偏心量b=0.5 mm時的動態響應為周期運動→混沌運動→周期運動→P-3運動→周期運動→混沌運動。

圖2 左、右松動支座在偏心量b=0.5 mm時隨激勵頻率變化的分岔圖Fig 2 The bifurcation diagrams of left and right loose bearing with excitating frequency changing when b=0.5 mm

圖3所示為偏心量b=0.5 mm、激勵頻率ω=350 rad/s時轉子系統響應，此時轉子系統處于P-3周期運動。觀察此時系統響應，可清晰地表明，時域波形圖由多種頻率成分組合，形成3個大小不等的“M”形波峰，并且具有明顯的“削波”現象；軸心軌跡出現3個糾結在一起、形成有立體趨勢不規則的環狀結構；幅頻曲線形成連續圖譜，幅值譜上以2/3倍頻、1倍頻為主，同時生成差分較小的高倍分數頻譜，形成連續曲線的次諧波組合。

圖3 偏心量b=0.5 mm、激勵頻率ω=350 rad/s時轉子系統的響應Fig.3 The response of the rotor system when b=0.5 mm，ω=350 rad/s

3 結論

通過偏心量對松動故障轉子系統響應的運動特性研究，得出以下結論：①系統呈現出周期運動、擬周期運動、混沌運動等多種形式的運動；②能夠同時產生低次諧波和2倍等高次諧波的振動分量；③系統出現明顯的“削波”現象，頻譜成分多以低頻為主、伴隨幅值較小的高頻成分；④相軌跡呈現出特殊的形狀，可為有效識別支座松動故障的轉子系統提供理論依據。