操作·概括·應用：圖形概念教學三部曲
——以《平行四邊形的認識》教學為

文|蘭衍局（特級教師）

根據心理學的研究和學校教學的經驗，學生主要通過兩種形式學習概念，這兩種形式是概念形成和概念同化。概念形成是指學習者對同類事物的大量例子進行分析，對比其與其他事物的區別，從而發現這類事物的共同關鍵特征的學習方式。例如，要學習“平行四邊形”這個概念，先給學生提供平行四邊形的樣態，再讓學生總結平行四邊形的關鍵特征，這個過程就是概念形成。概念同化是由奧蘇伯爾提出的一種學習方式，它是指先把概念以定義的方式直接呈現給學習者，學習者利用自己認知結構中現有的概念和知識經驗進行理解，從而明確一類事物的共同關鍵特征的學習方式。例如，要學習平行四邊形的概念，直接以定義的形式給出它的關鍵屬性，“平行四邊形是對邊平行且相等的四邊形”，學生利用已經學習過的四邊形、平行等概念來理解和掌握“平行四邊形”這個定義的過程，就是概念同化。

筆者認為，在對圖形概念的教學中，不管是采用“概念形成”還是“概念同化”的教學方式，都適宜讓學生經歷“操作、概括、應用”三個步驟，深入建構圖形的概念。下面以兩節《平行四邊形的認識》一課為例，談談對圖形概念教學的一些思考。

一、操作

1.操作，創造出各種樣態的平行四邊形。

研究平行四邊形，肯定需要各種形態的平行四邊形作為素材。這些圖形是教師提供呢？還是學生自己創造呢？毋庸置疑，后者更受學生歡迎。實踐表明，學生更容易從自己創造出的“圖形”發現圖形的特征，有利于圖形概念的建構。這兩則教學設計都能“通過學生操作”來獲取“各種樣態”的平行四邊形作為研究素材。

第一堂課，教師從學生熟悉的長方形引入新課，借助長方形研究的視角，有效地實現了知識的遷移作用。接著，讓學生動手變魔術，將長方形拉成平行四邊形，學生在“拉動”的操作過程中創造出了豐富的平行四邊形。

第二堂課，教師利用學生身邊的學習工具——直尺，開展操作活動。借助直尺對邊平行的特性，讓學生將兩把直尺重疊，得到多種樣態的平行四邊形。

2.操作，發現平行四邊形的多種特征。

平行四邊形有很多特征：兩組對邊分別相等，兩組對角分別相等，兩條對角線互相平分，相鄰兩角互補，被一條對角線平分成兩個全等三角形，中心對稱圖形……教材的編寫中，主要讓學生發現對邊相等和對邊平行的特征，這兩個特征又都可以用來定義平行四邊形，屬于“定義性特征”。

第一堂課，教師讓學生對平行四邊形的特征進行了大膽的猜測后，再給學生一定的空間與時間，放手讓學生選擇一種或兩種猜想進行自主探究、有序驗證。就驗證的內容而言，有的小組選擇驗證平行四邊形的對角是否相等，有的小組選擇驗證平行四邊形的對邊是否相等。就驗證的方法來看，有的利用“在平行線之間畫垂線”來驗證對邊是否平行，有的利用“延長平行四邊形的對邊，看是否相交”來驗證對邊是否平行，有的利用三角板推一推來驗證對邊是否平行。這樣的操作活動不僅是學生親歷驗證猜想的過程，更是學生感悟、認識平行四邊形本質屬性的過程。

第二堂課，教師讓學生在“拼直尺”的活動中，發現了“對邊平行”的特征；然后，教師讓學生借助直尺判斷哪些圖形是“平行四邊形”，學生在平移、畫垂線、測量等過程中，發現了“對邊相等”的性質。由于知識是學生自己探索出來的，能很好地激發學生的學習興趣，讓知識的形成生動而深刻。

3.操作，溝通平行四邊形特征之間的內在關聯。

特征的教學不僅僅是讓學生發現，更重要的是讓學生感受到平行和相等這兩個特征的相互關聯……兩堂課，都關注到了這點。

第一堂課中，教師先引導學生對一個平行四邊形進行猜想驗證，再提出：“是不是所有的平行四邊形都具有這樣的特征呢？”緊接著利用幾何畫板動態演示，通過拉動標有數據的平行四邊形，使學生直觀地感受到不管平行四邊形形狀如何變化，對邊平行、對邊相等、對角相等這些特征是不會改變的；相反，只要改變其中任何一個特征，其他的特征也不存在，圖形也就不再是“平行四邊形”。通過這樣的演示，以數釋形，使學生對概念的理解更精準、更深刻。在這個過程中，學生經歷了大膽猜想、縝密驗證、歸納推理、推廣應用，不僅有知識層面的收獲，更有數學思想方法層面的提升，可以促進學生的數學素養不斷發展。

第二堂課中，教師根據學生提出的“如果上下、左右邊平行，那么，上下、左右邊肯定相等”；反之，“如果上下、左右邊相等，那么，上下、左右邊肯定平行”。讓每個學生都拿出學具，邊操作、邊思考，在操作中理解了“為什么只要兩組對邊平行，就會有兩組對邊相等”的道理，理清了平行和相等的關系，讓學生深入理解“性質”之間的關聯。

二、概括

數學概念能簡明扼要地用文字表達出圖形的性質，需要高度的歸納能力，而這種能力更需要在教學活動中訓練和培養。兩堂課，都為學生創設了條件。

1.兩種不同方式概括。

第一堂課，讓學生觀察各種形態的平行四邊形，然后通過比較、抽象、歸納，得出平行四邊形的概念。這樣的教學方法，在心理學中稱為“概念形成”（由具體實例概括出概念）。這種教學的優勢是便于學生比較、討論，從而發現共性，進而歸納概括。

第二堂課，采用的教學方法是，由兩組平行線交疊生成平行四邊形，這樣通過增添已知概念的屬性來定義新概念是典型的“概念同化”。這樣的教學方式，能幫助學生積累歸納數學概念的能力，讓學生更好地理解平行四邊形的本質屬性。

2.在觀察和辨析中概括。

人教版教材的編排順序是先學習長方形，再學習平行四邊形。這種“先入為主”的編排，對學生理解“長方形也是平行四邊形”有一定的負遷移作用，這也成了本課教學的難點之一。如何突破呢？

第一堂課，教師讓學生在拼小棒的過程中，發現長方形和一般平行四邊形的關系，體會到長方形的特殊性，進而讓學生判斷“長方形是否是平行四邊形”，最后用集合圖來聯系。

第二堂課，教師在教學中，先借助平行四邊形的概念，讓學生在辨析中逐漸明白“特殊”的含義；然后，通過“概念同化”的教學方式，讓學生歸納“長方形”的概念（需要說明的是，對長方形概念的歸納，既是對“概念同化”的詮釋，又能讓學生從本質上理解長方形的概念）；最后，通過教具演示，變換平行四邊形的各種形態，溝通平行四邊形和長方形的“從屬”關系，以此達到教學目的。

3.借助空間想象概括。

學生對空間圖形的認識和感受及表象的形成不是一蹴而就的，需要通過一系列的體驗才能達成。提高幾何形體從“靜態”轉化為“動態”的速度和效率，更需要教師在學法指導時，有效地實施“動態想象”。

第一堂課，在形成概念后，教師沒有問“平行四邊形有什么特點？”而是問“現在請你再來說說怎樣的圖形是平行四邊形？你的腦海里有一個平行四邊形嗎？如果去掉一條邊，你還能想象出它原來的樣子嗎？再去掉一條邊，還可以嗎？現在呢？至要保留幾條邊才能想象出這個平行四邊形原來的樣子？根據這一條邊可以想象出多少個平行四邊形？”這時學生頭腦中可以想象出不同方位、不同形狀的平行四邊形。看似兩個差不多的問題，但前者重知識技能，后者重思維的空間想象。因為回答“平行四邊形有什么特點”這個問題，學生無需想象，答案是可以背下來的。而“平行四邊形是怎么樣的”，此時學生需要展開想象，回憶平行四邊形的表象，通過想象和回憶，才能描繪出來。這樣，在學生頭腦中就會形成平行四邊形的表象，學生在描繪的同時，會自然、本能、下意識地展開想象。課堂上多經歷動態想象，可以很好地促進學生空間觀念和想象能力的發展。

第二堂課，在學生理解可以用兩組對邊相等或兩組對邊平行概括之后，教師并沒有就此停止對“平行四邊形”的概括，而是讓學生通過想象，借助兩條相等的對邊想象平行四邊形的性質，溝通了“對邊相等和平行”之間的關系，并得出“只要有兩條邊相等，就能畫出一個平行四邊形”的錯誤觀點，通過旋轉其中一條對邊，讓學生想象形狀，進而破解“錯誤觀點”，得出“一組對邊平行且相等”的概括方式。

三、應用

應用是數學概念形成的“最后一步”，使得數學概念重新回到生活中去，在學生腦海中“生根”。

1.應用概念畫平行四邊形。

兩堂課都設計了同樣的教學環節：讓學生在格子圖（或點子圖）中畫出一個平行四邊形。為了讓學生體會到概念與形狀之間的聯系，兩位教師都讓學生在操作時思考：依據什么來畫平行四邊形？將平行四邊形概念與畫圖步驟相結合。最后，在辨析和操作中，完成了對“文字與圖形”的溝通。

2.應用概念歸納推理出新特征。

在數學學習中，有時根據個別對象具有的特征推出一類事物都具有這一特征，或通過對對象的直覺判斷發現一類事物的共同特征等推理形式，都屬于歸納推理。

第二堂課中，教師引導學生發現“一組對邊相等，就可以畫出一個平行四邊形”的錯誤觀點之后，再通過旋轉其中一條邊，進而發現“一組對邊平行且相等”這一新特征。然后，應用這一新特征畫平行四邊形（這種畫法，在操作層面上是非常簡單的），學生在操作中進一步感受到了這些性質的價值，對于平行四邊形有了更加深刻的理解。

3.應用概念完善知識體系。

第一堂課，教師首先引導學生發現：4 根小棒居然可以擺出那么多個平行四邊形，而且每個平行四邊形的形狀都不一樣，從而揭示平行四邊形易變形的特性。接著，引發學生辨析長方形、正方形是不是平行四邊形，將目光又一次聚焦到圖形的特征上，使學生再次明白，在平行四邊形變形的過程中，“對邊平行”這一本質屬性不變。最后，讓學生借助圖形動態變化揭示出它們之間的關系后逐步完善韋恩圖，溝通了知識間的聯系。集合圈的出現將三個圖形的概念統整在一起，達到“隨風潛入夜，潤物細無聲”的境界。如此，讓學生在研究“易變性”的過程中，將平行四邊形、長方形、正方形等各種概念進行比較和溝通，進而完善知識體系。這樣的活動也讓學生真正體驗思考的力量，獲得經驗和智慧的生長。

《平行四邊形的認識》是人教版小學四年級上冊的內容，是屬于“圖形認識”領域的一節概念種子課，對學生豐富平面圖形的認識，發展空間觀念有重要的影響。

兩節課一直都有兩條主線貫穿始終，一條是明線，讓學生經歷觀察、猜想、驗證、探究平行四邊形特征的過程，幫助學生積累活動經驗；另一條是暗線，從始至終注重對學生抽象概括、空間想象能力的培養，處處體現學生核心素養的發展。