改變計算習題，發展推理意識
——以《除數是兩位數的除法》單元習題設計為例

文|孔忠偉

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022 版新課標》）對核心素養的主要表現及其內涵進行了多方面的解讀與補充，其中對運算能力的內涵解讀，在原有的基礎上補充了“能夠通過運算促進數學推理能力的發展”，強化了借助運算來培養學生推理能力的功能。《2022 版新課標》也理清了中小學推理培養的方向，小學階段重推理意識，初中階段重推理能力，因此在小學階段重視與挖掘數與運算的推理，通過改編運算習題來促進學生更多的觀察、分析、歸納和運用，其過程不僅可以幫助學生強化算理的理解、提升運算能力，同時也促進了學生推理意識的發展。

《2022 版新課標》指出，推理能力主要是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力。雖然小學階段較少需要學生去進行推導證明，但如果將學習素材進行合理設計，引導學生感受推理的過程，可以發展學生的推理意識。本文以四年級上冊的《除數是兩位數的除法》習題設計為例，不斷挖掘計算練習中的推理元素，改變習題形式，經歷推理過程，發展推理意識。在習題設計過程中，主要借助“堵”“融”“放”“說”等具體的習題設計策略，通過呈現合理的計算習題，引導學生在不同計算任務下經歷更多推理過程，培養學生的推理能力，為后續的學習打下基礎。

一、“堵”住數字，弱化運算，經歷多層次推理

“堵”住數字就是把算式中部分數字用方框擋住，只留出推理的線索。學生無法通過計算得到答案，就需要根據剩余的數字來進行推理。在具體的習題設計中教師可以設計一道題或一組計算題，堵住其中關鍵數字，引導學生通過觀察、分析、歸納和運用，從特殊結果推斷出一般結論，從關鍵信息推斷出合理結論等，促進學生進行合理推理，提升推理能力。

例1：《除數是兩位數的除法》單元第82 頁第4 題改編。

根據被除數和除數的特點（如圖1），快速判斷下面三道除法豎式的商是（ ）。并根據特點，編出一道類似的除法算式。

圖1 習題一

★小偉也想編一道類似的算式，他已經編了一部分2□5÷4□。符合他這個思路的算式，一共有（ ）個。

該習題改編于教材習題（如圖2），其目的是幫助學生發現規律，熟練算法，但這樣的純運算并不利于學生感悟巧算的本質。因此筆者弱化計算，改成尋找規律填數，模仿習題出題，填寫符合個數來培養學生的推理能力。主要體現有三方面，一是擋住數字，讓學生觀察除數與被除數之間關系，從特殊的數字間發現計算的規律，培養學生觀察、分析和歸納的能力，為合理推理打下基礎。二是模仿編題，是讓學生從特殊結果推斷出一般的結論，因為學生要編出類似的習題，就需要在建立已有規律的基礎上，進行合理的遷移，這個過程有助于學生推理能力的發展。三是推理結論，要求學生根據數字的特點，進行更嚴密的思考，從而感受推理的價值。最后★題目的思維層次較高，可以作為加分題。

圖2 人教版教材第82 頁第4 題

二、“融”入情境，辨析數字，借助生活化推理

“融”入情境是指把運算過程與真實生活情境結合起來，借助情境的需要來展開推理。在這個過程中，學生需要聯系生活實際來解決問題，進而培養學生的推理能力。在習題設計時，教師要更關注推理的元素，讓學生聯系生活來思考過程，從而使學生能夠結合情境理解算理，同時培養學生的推理能力。

例2：2021 年浙江省教育質量監測數學習題第3 題。

有172 本故事書，每個班分12 本，可以分給多少個班？下面是聰聰計算的豎式（如圖3），豎式中箭頭所指的數表示的意思是（ ）。

圖3 除法豎式

A.先分掉12 本

B.先分掉120 本

C.每班分到12 本

D.每班分成120 本

通過省測數據統計，該題選項B 的正確率是67.6%。其中典型錯誤A 為12.1%，C 為12.8%，D 為7.2%。筆者認為選擇A 和C 的學生是沒有理解其中的算理，因為這里的12 表示就是12 個十，而A 和C 選項，則表示的是12 個一。其中有一部分人選擇了D，筆者認為學生并沒有進行合理的推理。主要體現有兩點：一是學生沒有讀懂豎式的邏輯，它是講一個分書本的故事，因此這里的12 是先分了120 本，不是每班分幾本。二是也沒有理清問題與條件的關系，如果每班分到120 本，那么分得14 個班，就需要分1720 本，明顯不對。因此也反映出推理能力不足的現狀。因此，在具體的算式中，把算式與真實情境結合，來辨析數字，也可以有效培養學生的推理能力。

三、“說”出理由，逆向討論，反思結論性推理

“說”出理由是指教師呈現學生推理結果，引導學生討論結果，使學生反思推理過程，并思考推理的合理性。這里的“說”更多指向學生表達推理的過程，借助結論來引導學生開展合理的推理，從而學會更嚴謹的思考問題。

例3：《除數是兩位數的筆算除法》習題逆向設計。

東東在計算540÷45 時，不小心把“45”抄成了“15”，并算出了商。她檢查時，發現了錯誤，但又不想重算，所以就把540÷45 的商乘以了3。同學們，你們認為東東的方法對嗎？請說明理由。

在上面的問題中，有近40%的學生認為這樣的結論正確，他們是這樣思考的：因為把45 縮小到它的，那么答案也應該縮小到商的，所以用結論去乘3，這樣的推理過程就是正確的。而事實上，這樣的思考存在的問題就是學生沒有考慮到45 是除數，當除數變小時，商反而要擴大的現象。因此當除數縮小到它的，商就要擴大3 倍，要得到正確的答案就需要把商除以3，所以東東的方法是錯誤的。

通過這樣的習題，引導學生表征自己的推理過程，從不同角度反思問題，同時呈現結論，讓學生來證明結論，這也是一種演繹推理的培養，為學生今后的推理問題打下基礎。

四、“放”開要求，隱藏策略，激發自主性推理

“放”開要求是指在運算能力的考查過程中，強調讓學生選擇合理簡潔的運算策略解決問題。通過把一些不同的運算策略整合在一起，讓學生面對更綜合、更開放的計算過程，這樣不僅可以培養學生的運算能力，同時在這個過程中也滲透了更多推理意識和方法，促進了學生推理能力的發展。

例4：2021 年度濱江區四年級上冊計算考查題改編。

用你喜歡的方法計算下面各題，其中每列中只有兩題需要列豎式或遞等式進行計算，并記錄在下面方框內。

在上面的計算習題（如圖4）中，筆者把四年級上冊口算、豎式計算、遞等式計算等內容整合在一起，引導學生仔細觀察算式、靈活選擇方法來解決問題，在這一過程中，需要學生自主進行算式的推理。比如，上述題目要求學生每列只有兩題需要列豎式或遞等式，這就需要學生自主分析不同算式，尋找算式之間的聯系，進而選擇合理的計算策略。其中的推理體現有兩點：一是依據算式推理答案。比如第一列中，⑨號算式和13○號算式之間就有商的變化規律；第三列中，1○號算式和15○號算式則有積的變化規律，都只要求得其中一題答案就可以推理出另一題。二是依據算式選擇方法。比如第一列的⑤號算式與第三列的⑦號算式，它們既可以用豎式，也可以用更簡便的方法，這個過程也需要學生更多分析算式，并選擇合理的方法來解決問題。

圖4 習題四

在小學階段，我們要發揮好運算這個載體，借助合理的習題設計，弱化計算功能，強化推理運用，促進學生思維的發展，培養學生推理能力。當然本文所提煉的幾點策略，并不成熟，其中的一些觀點也可能有邏輯重復，但也是一種大膽嘗試，希望能更好地發揮運算推理的價值，真正促進學生推理意識和能力的發展。