理解數學本質，推動智慧發展
——以中考一輪復習課“列代數式及其應用”為例

葛東蓮（河北省石家莊外國語學校）

進入九年級中考備考，很多數學教師常有“感覺復習不復習，結果差不多”“復習課難上，總復習課更難上”等困惑。帶著對這些問題的思考，筆者進行了一輪復習課“列代數式及其應用”的教學探索。下面以這節課為例展現筆者的思考。

一、內容與學情分析

教學內容分析：借助現實情境列代數式，了解代數式的價值；體驗從具體情境中抽象出數學符號的過程，探索具體問題中的數量關系和變化規律，掌握用代數式、方程、不等式、函數進行表述的方法；代數式上承用字母表示數，下啟方程、不等式、函數的應用；代數式的性質就是代數學研究的主要內容。

學生學情分析：在此之前，學生已經對初中數學全部課程進行了學習，已經充分了解了初中數學的內容特點。本節課是一輪復習，需要站在學科整體的高度，引導學生重新認識數學知識的整體架構、發展脈絡，理解代數式在研究數學、借助數學解決實際問題時的重要作用，以代數的眼光、思維觀察問題，分析解決問題。

二、目標與重難點

教學目標：1.能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示量及量之間的關系，感悟數學抽象的一般過程。2.根據需要，能對所列代數式進行運算、推理，進而解決問題。3.理解代數式作為方程、不等式、函數的“重要組成部分”，能借助代數式構造相關數學模型，解決問題。

教學重點：1.分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式進行表示。2.對所列代數式進行運算、推理，解決問題。

教學難點：理解代數式的價值——研究數量之間一般關系和規律。

三、教學實施過程

環節一：通過解決問題，回顧知識本源

教師提問：通過解決下列問題，你認為如何借助代數式解決問題？

某建筑公司承包了A、B兩工地，現要從甲、乙兩倉庫向A、B兩工地運送水泥．已知甲倉庫可運出100噸水泥，乙倉庫可運出80噸水泥，A工地需70噸水泥，B工地需110噸水泥．兩倉庫到A、B兩工地的路程和每噸每千米的運費如下表。

路程（千米） 運費（元/噸千米）甲倉庫 乙倉庫 甲倉庫 乙倉庫A地 20 15 1.2 1.2 B地 25 20 1 0.8

問：（1）設甲倉庫運往A地水泥x噸，用含x的代數式表示乙倉庫分別運往A、B兩地多少噸；

（2）當甲、乙兩倉庫各運往A、B兩工地多少噸水泥時，總運費y最小？最小總運費是多少？

學生活動：在獨立思考的基礎上展開小組討論：1.如何列代數式？2.如何借助代數式解決問題？3.借助（1）所列出的代數式還能提出哪些問題？

教師調控：在個人探究與小組活動過程中，教師需要關注學生在列代數式過程中，能否厘清數量關系，能否恰當地用字母表示未知量，并列出含有該字母的代數式；需要指導學生對列代數式的相關過程做出概括，引導學生提出更多的實際問題，并借助所列代數式解決問題；需要引導學生關注知識的內在關聯，對數與代數板塊知識進行結構化歸納概括，凸顯知識之間的體系關聯。（學生展示過程略）

教學意圖：借助本環節，讓學生經歷從不同角度列代數式，并分析歸納列代數式過程的共性。其次，與方程、不等式、函數等相關知識相聯系，完整展現代數式作為“重要組成部分”的知識架構作用。

環節二：體會知識作用，提煉方法聯系

教師提問：通過解決下列問題，你認為代數式的作用是什么，解決問題的過程中用到了哪些知識和方法？

超市為回饋市民，決定對某種商品進行降價讓利活動，現有兩種方案：（1）分兩次降價，每次降價率不同。（2）分兩次降價，每一次降價率是方案一中兩次降價率的平均數。以上兩種方案，哪一個方案對消費者優惠力度更大？

學生活動：在獨立思考的基礎上以小組為單位合作探究：1.解決問題的關鍵是什么？2.如何借助代數式解決問題？3.解決問題的過程中用到了哪些知識和方法？

教師調控：教師主要關注學生探究過程，指導學生用數學符號表示已知量和未知量；引導學生對所列代數式進行運算、推理等操作，引導學生分析問題的共性，歸納方法。（學生展示過程略）

教學意圖：其一，本題不含數字或字母，需要學生將實際問題轉化為數學問題，用數學符號表示問題中的量及量之間的關系，感悟用代數式解決問題的一般性。其二，設置知識明線和思想方法暗線兩條主線，促進學生學習由字母或代數式所代表數值的不確定性產生的分類討論思想。

四、教學反思與感悟

1．選擇合適的素材，確定學習的研究載體

所謂合適，就是有研究的價值，對學生理解數學有重大作用的，有著典型性、生長性、拓展性等特點，有利于學生感悟實際問題數學化的一般過程：“實際問題→量及其關系→代數式”，發展數學抽象能力。“代數式”在初中數學課程體系中看似不起眼，但其學科價值卻影響深遠，對代數式的研究貫穿代數學的整個過程。能夠有意識地列代數式，并借助相關運算、推理解決問題，標志著符號意識、代數推理、數學建模等核心能力發展至較為成熟的階段。

2．創設有效的課堂活動，推動學生的素養發展

課堂活動的創設要始終圍繞“發展學生核心素養”這一主題。本節課中，著眼于發展學生符號意識、數學推理與運算、數學建模應用等核心能力。一是，有意識地創設問題情境，引領學生用字母表示數，列代數式表示量及量之間的關系，充分感悟引入數學符號的意義，發展學生數學抽象能力。二是，通過問題設置，推動學生對所列代數式進行運算、推理，經歷以代數式為核心構建方程、不等式、函數等模型解決問題的完整過程，同時幫助學生將數學知識的結構化，理解不同知識板塊間的內在聯系。三是，通過引導學生借助所列代數式解決更多問題，發展學生發現問題、提出問題的能力。

3．搭建思維的發展平臺，實現數學的智慧進步

教會學生“想問題”的順序和方法，這是數學教學“質的突破”，使學生思維的生長有章可依，有法可鑒，有據可循。在本節課，始終貫穿“發現量及其關系→表示量及其關系→應用量及其關系”這條主線，這是代數式研究的核心體現。數學知識的學習以此為主軸有序展開：方程研究不同代數式之間的相等關系，不等式研究不同代數式之間的不等關系，函數——研究代數式與其所含字母之間的相互對應、相互依存的關系。學習它的價值就是使學生從“做題”到“明理”，在更廣闊的視域內“看問題”。為了獲得“代數式”，需要建立量之間的關系，關系復雜時，需要借助一定手段——列表、畫圖。這些手段就是在幫助學生更加有序且有效地“想問題”。