“初等數(shù)學(xué)研究”課堂中數(shù)學(xué)文化的滲透

張 靜，李澤輝，羅朝陽

（昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100）

“文化”包含了人類在社會歷史的實踐過程中所有的精神創(chuàng)造和物質(zhì)成果的總和。“數(shù)學(xué)文化”與數(shù)學(xué)、文化這兩個概念交叉融合后，成為一種綜合的意識形態(tài)。數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)在加強學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的使命感、體會數(shù)學(xué)精神、認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面有積極的影響。“初等數(shù)學(xué)研究”作為數(shù)學(xué)師范生的專業(yè)課，旨在讓學(xué)生了解初等數(shù)學(xué)的研究對象，認(rèn)識初等數(shù)學(xué)的學(xué)科地位和作用，以及用高等數(shù)學(xué)的理論和觀點看待中小學(xué)數(shù)學(xué)的問題，并應(yīng)用重要的數(shù)學(xué)思想方法解決問題。通過對“初等數(shù)學(xué)研究”教材中涉及的隱性數(shù)學(xué)文化知識進(jìn)行提煉與展開，將數(shù)學(xué)文化元素融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，能夠幫助師范生形成較為長久而穩(wěn)固的數(shù)學(xué)觀念，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的長期教育價值，為培養(yǎng)和造就具有數(shù)學(xué)文化底蘊的數(shù)學(xué)預(yù)備教師探索有益的途徑。

1 數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵及價值

1.1 數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵

在世界歷史記載中，古希臘是“數(shù)學(xué)”一詞的發(fā)源地，當(dāng)時“數(shù)學(xué)”的含義是“科學(xué)”“知識”，而在中國古代則被稱為算術(shù)、算學(xué)和數(shù)學(xué)。關(guān)于“數(shù)學(xué)”的定義，數(shù)學(xué)家們各執(zhí)一詞，其中具有代表性的說法不下十種，如畢達(dá)哥拉斯的“萬物皆數(shù)說”、希爾伯特的“符號說”、庫爾的“邏輯說”、克里奇的“集合說”、M.克萊因的“精神說”、波萊爾的“藝術(shù)說”等。這些關(guān)于數(shù)學(xué)的定義，多是從數(shù)學(xué)內(nèi)涵的角度對其進(jìn)行界定。隨著對數(shù)學(xué)本質(zhì)及其廣泛應(yīng)用的深入認(rèn)識，人們越來越認(rèn)同將數(shù)學(xué)看作是一種文化。美國數(shù)學(xué)家懷爾德系統(tǒng)地提出了“數(shù)學(xué)文化論”，他指出“數(shù)學(xué)文化”與整個人類文明有著非常重要的聯(lián)系，是人類文化的重要組成部分。國內(nèi)學(xué)者中，孫小禮教授最先開啟了對數(shù)學(xué)文化的探索。對數(shù)學(xué)文化的定義，國內(nèi)主要有以下幾類：張奠宙從文學(xué)、語言學(xué)和美學(xué)等角度解釋數(shù)學(xué)是一種文化現(xiàn)象；黃秦安從系統(tǒng)的角度，將數(shù)學(xué)文化總結(jié)為一個具有強大精神與物質(zhì)功能的動態(tài)系統(tǒng)；鄭毓信認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是一個屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的專有名詞；顧沛將數(shù)學(xué)文化定義為狹義與廣義兩種。狹義的數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展過程與結(jié)果，廣義的解釋還包含了數(shù)學(xué)與人文、歷史、教育、美感的交叉，以及數(shù)學(xué)與各種文化之間的關(guān)系。

綜上所述，數(shù)學(xué)文化的定義是基于文化視角對數(shù)學(xué)所做的描述，其本身的應(yīng)用價值以及對學(xué)生學(xué)習(xí)與成長的積極影響得到了廣大數(shù)學(xué)教育者的廣泛認(rèn)同。數(shù)學(xué)文化深刻凸顯了數(shù)學(xué)的人性底色，涵蓋了所有數(shù)學(xué)化的創(chuàng)造物。本文認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化是由數(shù)學(xué)發(fā)展過程和數(shù)學(xué)成果所組成的有機整體，主要包含有：數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)之美的形成與發(fā)展，以及數(shù)學(xué)與人文及各種科學(xué)文化之間的相互關(guān)系。

1.2 數(shù)學(xué)文化的教育價值

數(shù)學(xué)文化的教育意義是隱性卻長遠(yuǎn)的。著名物理學(xué)家愛因斯坦與日本教育家米山國藏都曾經(jīng)發(fā)表過他們對學(xué)校教育的著名言論，即，校內(nèi)進(jìn)行的以知識為主的教育對學(xué)生的影響是十分短暫而有限的，學(xué)生出校門后幾年就忘了以前學(xué)過的知識是十分正常的，然而不管他們未來進(jìn)入哪個行業(yè)，不會遺忘的教育對個人發(fā)展的影響才是教育真正發(fā)揮價值之處。十年樹木，百年樹人。米山國藏認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)精神會長期影響學(xué)生的生活和工作。學(xué)生在學(xué)校期間所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，并不完全是出于以后工作具體使用才學(xué)的。在達(dá)成考試的功利性目的后，學(xué)生通常會很快忘掉數(shù)學(xué)知識，但學(xué)習(xí)過程中形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)會與學(xué)生相伴一生。數(shù)學(xué)素養(yǎng)被認(rèn)為是一種理性思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)能夠?qū)W(xué)生的觀念、精神和思維模式產(chǎn)生潛移默化的影響，同時，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也是21 世紀(jì)的青年面對生活、學(xué)習(xí)、工作所需要的基本素養(yǎng)。在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化，能夠塑造學(xué)生堅毅、理性、包容的心理品質(zhì)，體會數(shù)學(xué)學(xué)科所蘊含的無限美感與奧秘，實現(xiàn)文化育人的教育目標(biāo)，讓教育影響在學(xué)生離開校園后依然發(fā)揮“余熱”。

2 “初等數(shù)學(xué)研究”中滲透數(shù)學(xué)文化的必要性

我國義務(wù)教育階段以及《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版》均明確要求，中小學(xué)教師應(yīng)把數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課標(biāo)中各模塊的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機結(jié)合。中小學(xué)數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中顯示出的數(shù)學(xué)文化底蘊，與數(shù)學(xué)師范教育教學(xué)中高校課堂對數(shù)學(xué)文化的充分滲透有直接聯(lián)系。數(shù)學(xué)師范生已經(jīng)歷過中小學(xué)數(shù)學(xué)知識的積累過程，基本具備了自學(xué)和探究數(shù)學(xué)的能力，往往將學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等知識或苦練教學(xué)技能作為重中之重。盡管近年來各大院校紛紛開設(shè)了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化課程，但從已有的調(diào)查研究結(jié)果看，師范生的數(shù)學(xué)文化底蘊普遍不高，也未對數(shù)學(xué)文化相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)產(chǎn)生應(yīng)有的重視，師范生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍缺失數(shù)學(xué)文化的浸潤。數(shù)學(xué)文化為數(shù)學(xué)課堂教育帶來了巨大的價值，尤其是其中包含的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想與原理，展示了數(shù)學(xué)作為人類文明的發(fā)生發(fā)展過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文氣息。在新時代發(fā)展和我國新課程標(biāo)準(zhǔn)的必要條件下，將數(shù)學(xué)文化融入與中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)的“初等數(shù)學(xué)研究”課程教學(xué)中，能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時體會其中的文化價值，在文化的氛圍中學(xué)習(xí)，與文化產(chǎn)生共鳴，對培養(yǎng)師范生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)具有重大意義。

3 “初等數(shù)學(xué)研究”中滲透數(shù)學(xué)文化的策略

3.1 建立文化思想的分析視角，發(fā)展學(xué)生的理性思維

數(shù)學(xué)教學(xué)過程既要講究推理，也要講明道理，道理中就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化底蘊。傳統(tǒng)課程采用的方式是希望學(xué)生在繁復(fù)的證明與計算中鍛煉出理性思維，然而學(xué)生往往只認(rèn)識到數(shù)學(xué)枯燥乏味的一面，失去了認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)的機會。引導(dǎo)學(xué)生從文化思想的視角分析數(shù)學(xué)內(nèi)容，能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。比如，學(xué)生在初中階段已經(jīng)通過直觀歸納，學(xué)習(xí)了“對頂角相等”這個簡單的命題，但初等數(shù)學(xué)研究中關(guān)于平面幾何教學(xué)的主要目的并不是確保學(xué)生掌握了這樣的事實，而是引導(dǎo)學(xué)生站在更高的角度去思考為什么。教師若能聯(lián)系古希臘和中國古代的政治文化背景，剖析為何古希臘人認(rèn)為這樣顯然的命題還有證明的必要，而中國古代以算法為主的數(shù)學(xué)就不會去研究這個定理，不僅能讓學(xué)生體會這個定理的理性思維價值，還能為數(shù)學(xué)課堂帶來文化上的思考與積累。

再如，函數(shù)的概念歷史長達(dá)兩百多年，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了從初中的“變量說”到高中的“定義說”。對于函數(shù)如何發(fā)展起來的，以及為什么要叫作函數(shù)，學(xué)生往往認(rèn)識比較模糊。事實上，任何數(shù)學(xué)知識的發(fā)展都經(jīng)歷了曲折的發(fā)展過程,函數(shù)的不同定義通常在歷史長河的某個時間段共存，新的定義并不意味舊定義的廢棄。了解函數(shù)的發(fā)展過程，師范生能夠更好地理解目前中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書上函數(shù)的定義與出現(xiàn)的順序，從而更好地通過歷史的相似性體會到中學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的問題，更深入地把握函數(shù)概念的本質(zhì)。

3.2 構(gòu)建與其他學(xué)科的聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)的思想方法

目前新課程改革著重提出，中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)注重“通性通法”的教學(xué)，而數(shù)學(xué)思想方法的考察在各省的高考數(shù)學(xué)說明中也有明確且重要的地位。中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中涉及的數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)與方程、特殊與一般、化歸與轉(zhuǎn)化等，這些都是課堂教學(xué)必須要滲透的內(nèi)容，但數(shù)學(xué)教材中往往以知識點作為主線進(jìn)行編排，學(xué)生不容易體悟各種數(shù)學(xué)思想方法，這就要求教師適當(dāng)拓展教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法。

在初等數(shù)學(xué)研究的課堂教學(xué)實踐中，如果教師能夠從文化的角度，選取典型問題進(jìn)行剖析，就能幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，并清晰認(rèn)識各種方法的合理性，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)會走向會學(xué)。比如，早在歐幾里得時代，古代學(xué)者就建立了數(shù)學(xué)的公理化思想。基于幾個必要的命題和概念，由明確的定義與邏輯推理建立起演繹體系，公理化被認(rèn)為是整理和表述各種理論體系的最佳形式。在介紹公理化思想的同時，應(yīng)該讓學(xué)生了解公理化思想產(chǎn)生的巨大價值。目前公理化思想的應(yīng)用早已不再局限于自然科學(xué)，如杰文斯的《政治經(jīng)濟學(xué)理論》、斯賓諾莎的《倫理學(xué)》等著作就能體現(xiàn)公理化在經(jīng)濟學(xué)、政治學(xué)和倫理學(xué)等多方面都得到了廣泛應(yīng)用。數(shù)學(xué)家希爾伯特的名言“一個理論的建立一旦成熟時，就開始服從于公理化的方法”，各領(lǐng)域的學(xué)者都在試圖建立公理化的理論體系，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化中的公理化思想在人類文明中的重要地位。構(gòu)建跨學(xué)科聯(lián)系，能拓寬學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生在其他學(xué)科中體會和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在人文藝術(shù)、生活實踐等各個方面發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)。

又如，斐波那契數(shù)列是一種典型的遞歸描述。遞歸的思想在初等數(shù)學(xué)研究中可以聯(lián)系計算機技術(shù)中的遞歸策略。在目前大數(shù)據(jù)與人工智能的發(fā)展熱潮中，計算機技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)密不可分，教師可以結(jié)合編程與算法的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，演示計算機程序中的遞歸，展示少量的代碼將復(fù)雜問題所需的多次重復(fù)計算過程進(jìn)行反復(fù)調(diào)用，讓學(xué)生深入體會遞歸思想以及數(shù)學(xué)思想方法的簡捷性。通過介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉應(yīng)用，學(xué)生不僅能夠從多方面領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)意義，還容易理解這樣選擇思想方法的原因，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的深刻價值。

3.3 發(fā)揮數(shù)學(xué)史的德育價值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的精神實質(zhì)

數(shù)學(xué)的概念、定理、公式等往往具有歷史性，在發(fā)展的過程中蘊含了數(shù)學(xué)的人性特征，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的編排順序以及數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展順序，發(fā)揮數(shù)學(xué)史的德育價值，引導(dǎo)學(xué)生從人性的視角審視學(xué)習(xí)內(nèi)容，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)精神。首先，教師可以介紹數(shù)學(xué)家艱辛的研究過程，在史實記載的基礎(chǔ)上，突出數(shù)學(xué)家對于真理的執(zhí)著追求，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家高尚的人格品質(zhì)。將數(shù)學(xué)史知識融入教學(xué)時，教師還應(yīng)注重渲染課堂的文化感染力，通過一些數(shù)學(xué)家的趣聞軼事、說過的名言警句以及后世對其的精彩評價，使教學(xué)內(nèi)容獨具文化底蘊。例如，我國數(shù)學(xué)家華羅庚先生年輕時生病落下殘疾，走路時一條腿只能畫圈向前邁步，但是他一直保持著樂觀向上的積極態(tài)度，還時常戲稱自己走路是“切線與圓的運動”。數(shù)學(xué)化的幽默語言與歷史人物結(jié)合，賦予了數(shù)學(xué)家立體生動的形象，趣味之下顯露學(xué)者風(fēng)范。其次，可以選擇世界數(shù)學(xué)史中影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)事件。比如，在進(jìn)行勾股定理的教學(xué)時，教師可以從展示2002 年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)來引入課題，并從數(shù)學(xué)史系列事件角度加以展開，從考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)古巴比倫的泥版上的勾股數(shù)，到我國古代的“商高定理”，再將古希臘畢達(dá)哥拉斯的證明與趙爽的證明等各種方法進(jìn)行對比，可以從歷史發(fā)展的角度逐漸將勾股定理與余弦定理聯(lián)系起來，還可以介紹“費馬大定理”是如何證明的這一重大數(shù)學(xué)事件。全世界數(shù)學(xué)家們前仆后繼、執(zhí)著探索數(shù)學(xué)問題的過程，對于師范生可以起到榜樣引領(lǐng)和激勵作用。在數(shù)學(xué)史素材的選擇上，教師還可以突出我國數(shù)學(xué)的優(yōu)秀成果。在世界數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，中國數(shù)學(xué)家的卓越貢獻(xiàn)是不可否認(rèn)的，然而在目前師范生的數(shù)學(xué)課程中并未得到充分體現(xiàn)，學(xué)生對本國的數(shù)學(xué)成就一知半解，因此教師可以在相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中適當(dāng)強調(diào)。例如在初等代數(shù)的教學(xué)中，教師可以介紹大約三千年前，古代中國人就知道了自然數(shù)的四則運算。從公元前3世紀(jì)開始，中國在古代數(shù)學(xué)方面領(lǐng)先于其他國家與地區(qū)，到了宋元時期，中國古代數(shù)學(xué)進(jìn)入發(fā)展的頂峰，在方程論、數(shù)論等多方面的成就達(dá)到了新高度。這些材料可讓學(xué)生看到我們國家和民族在世界數(shù)學(xué)史上曾取得的偉大成就，從而激發(fā)他們的民族自信心與使命感。數(shù)學(xué)史實展現(xiàn)了人類文明的特征，相比于枯燥的知識學(xué)習(xí)，更能激發(fā)學(xué)生傳承數(shù)學(xué)文化的責(zé)任感，同時也有助于學(xué)生拓寬視野、領(lǐng)會精神，對未來的準(zhǔn)教師具有深遠(yuǎn)的意義。