研究生數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)規(guī)劃與設(shè)計(jì)

胡小寧，鄭立飛

（西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院 陜西 楊凌 712100）

全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽起源于2003 年，是“全國研究生創(chuàng)新實(shí)踐系列活動(dòng)”的主題賽事之一，由教育部學(xué)位與研究生教育發(fā)展中心主辦。數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)人的理性思維、團(tuán)隊(duì)精神和創(chuàng)新創(chuàng)造能力。研究生通過參加數(shù)學(xué)建模活動(dòng)極大地提高了分析問題、解決問題的能力，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)對研究生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)起到了強(qiáng)有力的推動(dòng)作用，為提高研究生培養(yǎng)質(zhì)量奠定了重要的知識(shí)和能力基礎(chǔ)。

目前國內(nèi)鮮有高校開設(shè)面向研究生的數(shù)學(xué)建模課程，并且在教學(xué)內(nèi)容和方法上很少有深入的討論和分析。一方面是人們關(guān)注的重點(diǎn)主要集中在學(xué)生數(shù)量多、影響較廣的大學(xué)本科層次的數(shù)學(xué)建模教學(xué)上，對于研究生層面關(guān)注不夠；另一方面是研究生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、專業(yè)以及研究方向各不相同，這也為數(shù)學(xué)建模課程的組織帶來了不少麻煩。

研究生數(shù)學(xué)建模與本科生相比，對參賽者掌握知識(shí)的深度和廣度提出了更高要求。研究生建模本質(zhì)上來說更接近科學(xué)研究，解決的問題往往是科學(xué)前沿的問題，需要更為復(fù)雜和高深的數(shù)學(xué)工具。與本科生數(shù)學(xué)建模課程相區(qū)別，研究生建模課程更應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)理論知識(shí)的講解，使學(xué)生真正學(xué)會(huì)融會(huì)貫通。對于非理工類專業(yè)學(xué)生而言，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱，如果授課中直接講解枯燥高深的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，勢必會(huì)降低學(xué)生的參賽積極性。尤其是在新形勢下，研究生數(shù)學(xué)建模中涉及諸多人工智能和基于大數(shù)據(jù)的機(jī)器學(xué)習(xí)方面的問題，故而培訓(xùn)過程中需要加強(qiáng)對研究生計(jì)算機(jī)編程能力的培養(yǎng)。

本文將結(jié)合多年指導(dǎo)研究生數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)并提出研究生數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)規(guī)劃和設(shè)計(jì)，發(fā)揮課程思政在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的作用，建立過程化考核的具體方案，以期助力研究生建模能力的培養(yǎng)和提升。

1 課程規(guī)劃和設(shè)計(jì)

筆者通過對歷年全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽題目的分析，總結(jié)出常用的建模方法，確定以軟件操作、微分方程、統(tǒng)計(jì)模型、優(yōu)化模型、綜合評價(jià)和智能算法等6 個(gè)知識(shí)模塊組成數(shù)學(xué)建模課程的授課體系。

1.1 軟件操作

軟件操作是數(shù)學(xué)建模必須掌握的內(nèi)容，是求解模型的必備工具。MATLAB 是數(shù)學(xué)建模中最常用的軟件，是備受大家認(rèn)可的最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)模型求解工具之一。MATLAB軟件語法命令容易上手，其數(shù)學(xué)函數(shù)非常齊全，可以求解絕大多數(shù)數(shù)學(xué)問題。該軟件使用靈活，可以按照不同問題的需求，自主設(shè)計(jì)程序求解問題。課程中可以以MATLAB為例，講解程序設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)語法、繪圖功能和文件操作，以此為基礎(chǔ)學(xué)生可以自學(xué)其他軟件，如Python、R、SPSS 等，為求解數(shù)學(xué)建模問題打下良好基礎(chǔ)。

1.2 微分方程模型

微分方程模型是數(shù)學(xué)建模的重要方法，因?yàn)樵S多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述可轉(zhuǎn)化為求解微分方程的定解問題。建立微分方程模型首先需要根據(jù)實(shí)際問題確定要研究的變量和參數(shù)，并確定坐標(biāo)系，然后找出變量符合的物理學(xué)、生物學(xué)等客觀規(guī)律，最后根據(jù)這些規(guī)律建立方程和定解條件并求解。如果所研究問題的客觀規(guī)律并不清晰，則需要根據(jù)實(shí)際背景和數(shù)據(jù)資料提出假設(shè)，運(yùn)用模擬近似的方法建立微分方程并求解。課程中需要講解一階常微分方程及其數(shù)值解法、高階常微分方程及其數(shù)值解法、常微分方程組、時(shí)滯微分方程、一維偏微分方程、二維偏微分方程等內(nèi)容，該部分內(nèi)容數(shù)學(xué)原理性較強(qiáng)，難度稍大，可以基于軟件講解微分方程的解法，有利于學(xué)生直觀地掌握微分方程及其解法，提升學(xué)生動(dòng)手求解方程的能力。

1.3 統(tǒng)計(jì)模型

統(tǒng)計(jì)模型以概率論為基礎(chǔ)，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法建立模型。統(tǒng)計(jì)模型研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，其變量一般不具有特定的值，而是滿足某一概率分布。統(tǒng)計(jì)模型的思維方式是歸納法，即從數(shù)據(jù)中總結(jié)、提取規(guī)律性特征，建立反映客觀現(xiàn)實(shí)的一般性模型。統(tǒng)計(jì)模型是整理、分析、描述數(shù)據(jù)的重要手段，是對研究對象進(jìn)行推斷和預(yù)測的有力工具。建立統(tǒng)計(jì)模型通常包括收集數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)預(yù)處理、尋找合適的模型、模型的驗(yàn)證和結(jié)果的解釋等步驟。學(xué)生需要掌握線性回歸、含定性變量的回歸、非線性回歸、方差分析、主成分分析、聚類分析和判別分析等模型的建立方法。該部分內(nèi)容雖然數(shù)學(xué)理論相對復(fù)雜，但操作性強(qiáng)，可以采用案例教學(xué)法進(jìn)行講解，使得學(xué)生首先掌握模型的思想，能夠熟練應(yīng)用軟件建立統(tǒng)計(jì)模型，然后在學(xué)有余力的情況下，盡可能了解統(tǒng)計(jì)模型的數(shù)學(xué)原理。

1.4 優(yōu)化模型

優(yōu)化模型所解決的問題是：在一系列約束條件下，確定可選變量的取值，使得所建目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。優(yōu)化模型包括變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)三個(gè)基本要素。優(yōu)化模型在數(shù)學(xué)建模中占有舉足輕重的地位，許多實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化求解問題。優(yōu)化模型是運(yùn)用整數(shù)規(guī)劃、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃以及圖論等方法所確定的求解最優(yōu)方案的模型。建立優(yōu)化模型需要根據(jù)題目要求制訂目標(biāo)變量和目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，并建立約束條件。建立模型往往并不困難，如何求解才是困擾學(xué)生的難題。因此，優(yōu)化模型的講解重點(diǎn)在于模型的求解，該部分必須強(qiáng)化軟件操作的訓(xùn)練。

1.5 綜合評價(jià)模型

綜合評價(jià)模型也是數(shù)學(xué)建模中常用的方法。綜合評價(jià)模型包括兩個(gè)內(nèi)容，即指標(biāo)體系的構(gòu)建和權(quán)重的計(jì)算。其中權(quán)重的計(jì)算一般可分為兩類方法，一類是主觀賦權(quán)法，采用咨詢評分或?qū)＜掖蚍值姆绞酱_定權(quán)重；另一類是客觀賦權(quán)法，根據(jù)指標(biāo)之間的相關(guān)性或變異程度確定權(quán)重。常用的權(quán)重計(jì)算方法包括灰色關(guān)聯(lián)分析法、主成分分析法、秩和比綜合評價(jià)法、TOPSIS、模糊綜合評價(jià)法。權(quán)重計(jì)算的數(shù)學(xué)理論雖然較為復(fù)雜，但實(shí)際使用中利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行求解反而顯得較為簡單。綜合評價(jià)模型的難點(diǎn)是指標(biāo)體系的構(gòu)建，這部分內(nèi)容需要結(jié)合實(shí)際案例強(qiáng)化練習(xí)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。

1.6 智能算法模型

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來臨，近些年來大數(shù)據(jù)分析越來越多地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模競賽題目中，智能算法就越發(fā)顯得重要。智能算法又被稱為“軟計(jì)算”，其利用仿生學(xué)原理進(jìn)行模型設(shè)計(jì)和計(jì)算，在解決一些復(fù)雜問題時(shí)起到重要作用。智能算法模型一般求解的是最優(yōu)化問題，通常需要大量數(shù)據(jù)來建立模型。常用的方法包括模擬退火算法、遺傳算法、支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、決策樹、隨機(jī)森林等。該部分內(nèi)容對計(jì)算機(jī)編程能力提出了更高的要求，因此需要加強(qiáng)學(xué)生上機(jī)實(shí)習(xí)的力度，從而提高學(xué)生程序編寫和糾錯(cuò)的能力。

2 數(shù)學(xué)建模課程思政

數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題抽象提取為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)行建模和求解的過程。數(shù)學(xué)建模和實(shí)際問題聯(lián)系緊密，其中蘊(yùn)含了豐富的思政元素。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，可以充分發(fā)掘?qū)嶋H案例中的思政元素，既有利于提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的動(dòng)手能力，也有利于正確價(jià)值觀、人生觀的培養(yǎng)和形成。數(shù)學(xué)建模課程可以從以下幾個(gè)方面融入思政元素。

2.1 科學(xué)家精神中的思政元素

數(shù)學(xué)建模所研究問題涉及眾多學(xué)科和現(xiàn)實(shí)問題，每個(gè)學(xué)科的發(fā)展和現(xiàn)實(shí)問題的解決都離不開科學(xué)家的身影，科學(xué)家的學(xué)習(xí)經(jīng)歷、科研歷程中蘊(yùn)含豐富的思政元素。他們心系祖國、不畏艱苦、敢于鉆研、追求真理、淡泊名利、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、甘于奉獻(xiàn)，形成了新時(shí)代偉大的科學(xué)家精神。在建模課程講解的過程中，相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)可以引入科學(xué)家人物介紹，用科學(xué)家精神激勵(lì)學(xué)生努力學(xué)習(xí)，在建模中勇于創(chuàng)新，獲得更好的成績。

2.2 科技史中的思政元素

每項(xiàng)科學(xué)技術(shù)的發(fā)明創(chuàng)造乃至科學(xué)技術(shù)的發(fā)展歷史中都蘊(yùn)含了思政元素。我國古代造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥的發(fā)明，不僅對中國的經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)，也為世界的科技和文明史產(chǎn)生了重大影響。“兩彈一星”、高鐵、5G、載人航天等科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使得我國在多個(gè)領(lǐng)域躋身世界前列。建模課程中融入這些元素，可以激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和自信心，激勵(lì)學(xué)生以積極的姿態(tài)投身祖國的建設(shè)事業(yè)。

2.3 時(shí)事案例中的思政元素

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法求解現(xiàn)實(shí)問題，因此實(shí)事案例是數(shù)學(xué)建模的研究對象。建模課程可以在案例中挖掘思政元素。如在講解微分方程模型時(shí)，可以聯(lián)系當(dāng)下的新冠肺炎疫情講解傳染病模型，通過在傳染病模型中增加參數(shù)實(shí)現(xiàn)模型的改進(jìn)演化，介紹為什么要采取隔離措施，封控區(qū)、管控區(qū)和防范區(qū)所起的作用是什么。通過講解，既能夠讓學(xué)生掌握建模知識(shí)，也能夠讓學(xué)生了解抗疫常識(shí)、自覺配合做好疫情防護(hù)工作。

3 過程化考核

數(shù)學(xué)建模是一門實(shí)踐性較強(qiáng)并且具有開放性的課程，正式的競賽需要3 人組成團(tuán)隊(duì)經(jīng)歷72 小時(shí)獲得問題的求解方案，因此，其考核方式不易采用普通課程的試卷考試方式。經(jīng)過多年的實(shí)踐探索，過程化考核比較適用于本課程。

過程化考核方案包括以下3 個(gè)方面：①平時(shí)成績占課程總評的10%，包括課堂提問和出勤記錄，有利于提高學(xué)生參與課堂的積極性。②每個(gè)知識(shí)模塊講解結(jié)束后，針對該模塊設(shè)計(jì)一個(gè)小型案例題，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)每個(gè)人單獨(dú)作答，形成求解方案提交，并給出每個(gè)人的分?jǐn)?shù)。6 個(gè)知識(shí)模塊共占課程總評成績的60%。這樣做便于老師了解學(xué)生對每個(gè)模塊的掌握程度，也便于學(xué)生查漏補(bǔ)缺，發(fā)現(xiàn)知識(shí)掌握的短板并在后續(xù)的學(xué)習(xí)中加以補(bǔ)齊。③課程講解結(jié)束后，設(shè)計(jì)一個(gè)綜合案例，按照數(shù)學(xué)建模競賽的正式流程，讓學(xué)生3 人一組組成團(tuán)隊(duì)，4 天時(shí)間內(nèi)共同求解，并將求解方案寫成論文提交。該部分占課程總評成績的30%。這樣做相當(dāng)于正式數(shù)學(xué)建模競賽前的一次預(yù)演，既考察了學(xué)生對建模知識(shí)的掌握程度和解決實(shí)際問題的綜合能力，也鍛煉了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)團(tuán)隊(duì)合作中存在的問題，避免在正式競賽中再犯同類的錯(cuò)誤。

4 結(jié)語

本文圍繞研究生數(shù)學(xué)建模課程的內(nèi)容設(shè)置、思政元素融入和考核方式進(jìn)行探討，結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和對歷年數(shù)學(xué)建模賽題的總結(jié)，提出了以軟件操作、微分方程、統(tǒng)計(jì)模型、優(yōu)化模型、綜合評價(jià)和智能算法等6 個(gè)知識(shí)模塊組成的課程設(shè)計(jì)方案；在課程講解過程中融入思政元素，發(fā)揮思政的育人作用；采用過程化考核，提升學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和課程參與度。對研究生數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)進(jìn)行規(guī)劃和設(shè)計(jì)，有助于促進(jìn)學(xué)生對建模知識(shí)的掌握和理解，為研究生在全國數(shù)學(xué)建模競賽中取得優(yōu)異成績提供助力。