小學生比例推理學習進階模型的構建

鞏子坤，程 玲，陳影杰

小學生比例推理學習進階模型的構建

鞏子坤1，程 玲2，陳影杰1

（1．杭州師范大學 經亨頤教育學院，浙江 杭州 311121；2．杭州市朝暉中學，浙江 杭州 310014）

教科書編寫要按照知識的邏輯順序與學生的認知發展順序分層次安排教學內容，因而，厘清核心概念的學習進階尤為重要．基于文獻分析法構建假設的比例推理學習進階模型，并據此設計問卷，測試630名一～六年級學生，修訂假設的比例推理學習進階模型，最后得到小學生比例推理學習進階模型．該模型包含定性推理中兩組量的變化、定量推理中比例的數值結構關系和數值大小關系3類進階變量，以及對應的7個進階水平，其中，定性推理中“雙維、不確定”為最高水平．提出建議：增加教科書中定性推理的題型；開展統整定性推理與定量推理的教學設計．

小學生；比例推理；學習進階模型

1 問題提出

義務教育數學課程標準確立了課程內容后，教科書編寫就要按照知識的邏輯順序與學生的認知發展順序來分層次安排教學內容，因此，明晰知識的內在邏輯、學生的認知水平變得尤為重要，這就需要厘清相關核心概念的學習進階．2004年Smith向美國國家研究理事會（National Research Council，NRC）提交的報告中首次提出“學習進階”——“圍繞一門學科的核心概念（big ideas）與原則，基于一系列連續的、復雜程度逐步提升的思維路徑而形成的一種推理探究方法”[1]，而后，2007年NRC將“學習進階”正式定義為“隨著時間的推進，學生對某一學習主題的思考和認識不斷豐富、深入的過程”[2]，這是當下使用最為廣泛的定義．基于此，這里的“學習進階”是指學生在較長一段的時間跨度內，學習某一核心概念（技能）時，經歷的一個連續的、概念理解不斷深化、思維方式不斷發展的過程．國外對于“學習進階”的研究起步較早，現研究的重點聚焦于“將學習進階作為一種教育評價模型”[3]．構建學習進階能幫助教師更好地認識學生的認知發展過程，從而促進學生對數學知識有更高層次的理解[4]．

比例推理貫穿小學數學的始終，與核心概念“分數”緊密相關[5]，學生在沒有正式入學前，就開始潛移默化地學習比例推理．比如“一個小朋友有2個蘋果，3個小朋友共有幾個蘋果”．比例推理是基于比和比例知識進行推理的一種能力[6]，也是根據已知信息和比例的相關性質，進行判斷和計算的思維過程[5]，需要基于具體情境把握其中數量關系的變化[7–8]．國內較早的研究者苗丹民基于Noelting的4～14歲兒童比例推理認知發展的研究成果，從心理學角度將兒童比例推理能力的發展分為7個階段[9]．而國外關于比例推理的研究主要聚焦于探究學生應用比例推理的現狀，分析發現，學生難以區分問題情境中的數據結構是不是比例關系[10]；無法理解現實問題中的比例關系，進而不能正確使用比例推理解決問題[11]；對“比”和“比例”的理解過程較為困難[12]等．

目前關于比例推理學習進階相關研究較少，北卡羅來納大學的Confrey團隊研究較具代表性．其構建的比例推理學習進階模型聚焦于解決如何幫助學生更好地理解比例推理中量之間的關系和解題策略的問題，列舉了比例推理的常見問題類型，并詳細例說了如何更好地引導學生進行比例推理學習．但該研究更偏向于教學，而非指向學生比例推理的學習進階過程．比例推理可以被視為是最為復雜的乘法思維形式[13]，Callingham等人對乘法思維，其中包括比例推理展開學習路徑的相關研究，利用真實的生活情景創設評估項目，并借助Rasch模型分析項目有效性，進而確立最終的乘法思維量表[14]．而該研究更大程度上指向乘法思維，而非直接針對比例推理學習進階．李眾展以“內在比”和“相間比”為進階變量，直接計算一～六年級學生在進階水平上的得分，基于數據進行修訂和驗證，進而得到最終的比例推理學習進階[15]．但該研究對進階變量的選取并未細化，且數據分析方法較為單薄．

根據已有研究存在的問題，圍繞小學生比例推理學習進階模型的構建，提出以下3個研究問題．（1）假設的比例推理學習進階模型是什么？（2）如何修訂和驗證假設的比例推理學習進階模型？（3）小學生比例推理學習進階模型是什么？

2 研究設計

2.1 研究對象

在杭州市兩所普通公辦小學（以下簡稱A校、B校）一～六年級中，從A校每個年級各隨機選取兩個班，B校每個年級各隨機選取一個班進行測試．共發放問卷630份，回收有效問卷630份．

2.2 研究方法

首先利用文獻分析法構建假設的比例推理學習進階模型，然后根據假設的進階模型編制相應問卷，最后利用問卷調查法對假設的進階模型進行修訂及檢驗，進而構建小學生比例推理學習進階模型．

2.3 研究過程

研究分為4個階段，具體研究流程如圖1．

圖1 研究流程

基于已有研究，構建假設的比例推理學習進階模型．基于假設的學習進階模型，開發相應的測試問卷．實施問卷測試，基于問卷數據，采用Rasch模型，對假設的學習進階模型進行修訂，得到實證的學習進階模型．對實證的學習進階模型進行檢驗，得到小學生比例推理學習進階模型．

2.4 數據編碼及計分標準

基于對比例推理的劃分，將問卷分為“定性推理”與“定量推理”兩部分，設置12個假設的進階水平．其中，定性推理包含假設的進階水平1—4，定量推理包含假設的進階水平5—12，共33道題目．部分題目見下文．

“定性推理”部分設置為選擇題，題目編碼為“1.1—1.9”．每題均有且僅有唯一正確的答案，選擇正確計為1分，選擇錯誤或沒選擇計為0分．“定量推理”部分設置為簡答題，題目編碼為“2.1—2.24”．每題均有且僅有唯一正確的答案，解答正確計為1分，解答錯誤或沒有解答計為0分．

問卷的Cronbach’s系數為0.96，表明該問卷具有較高的信度．

3 研究結果

3.1 構建假設的比例推理學習進階模型

3.1.1 選取進階變量

進階變量是構成學習進階的主要成分之一，是對學生概念理解程度的刻畫與度量，也可以理解為對學生概念理解的影響因素，包括知識、能力等方面．

根據是否需要精確計算，將比例推理分為定性推理與定量推理兩類．利用問題中兩組量之間的比例關系，直接解決問題，而不需要進行數值計算，即為定性推理；相應地，需要利用具體數值計算才能解決問題，即為定量推理．

（1）定性推理中兩組量的變化．

第一個進階變量是定性推理中兩組量的變化：如果只有一組量變化，稱為“單維”；如果兩組量都變化，稱為“雙維”．而兩組量的變化情況可以細分為“變大”“不變”“變小”．如在“平均分蛋糕”的問題情境下，其中蛋糕大小和人數的變化情況均存在3種可能，兩兩組合共有9種情況，具體變化情況如表1．

表1 定性推理的9種變化情況

將定性推理中的9種變化情況劃分為4個假設的進階水平，從低到高排列如表2．

表2 定性推理的4個假設的進階水平

（2）定量推理中比例的數值結構關系．

表3 定量推理中比例的數值結構關系的4個假設的進階水平

（3）定量推理中比例的數值大小關系．

最終得到假設的比例推理學習進階模型的3個進階變量：定性推理中兩組量的變化、定量推理中比例的數值結構關系和定量推理中比例的數值大小關系．

表4 定量推理中比例的數值大小關系的兩個假設的進階水平

3.1.2 構建假設的學習進階模型

定性推理部分有4個假設的進階水平．定量推理部分有兩個進階變量，組合得到8個假設的進階水平．假設的學習進階模型共有12個水平．對假設的進階水平進行編碼，定性推理表示為“D1”，定量推理表示為“D2”；每個類型中對應的進階水平難度由低到高記為“L1”“L2”，以此類推如表5．

表5 假設的學習進階模型

3.2 開發比例推理學習進階問卷

根據假設的學習進階模型編制的問卷包括兩個部分：考察定性推理的選擇題和考察定量推理的簡答題．

定性推理部分采用如例題1所示的選擇題進行測試．這一部分的題目不涉及具體的數值計算，其中的變化僅為任務中兩組數值（蛋糕、人數）的變化，且變化情況均為“變大”“不變”“變小”3種，兩組數值共得到9種變化情況，據此組合成9道測試題．

例題1 一個蛋糕平均分給8個小朋友，每人得到一塊蛋糕．如果這只蛋糕變大，小朋友的人數不變，那么每個人分到的這塊蛋糕與原來得到的相比（ ）．

A. 變大 B. 變小 C. 不變 D. 不確定

定量推理部分采用如例題2所示的簡答題進行測試，兩個進階變量共構成8個假設的進階水平，每個假設的進階水平對應3道題目，共24道測試題．

例題2 小明在大玻璃杯中加入1小杯水和3勺蜂蜜，小紅在大玻璃杯中加入2小杯水，要使小紅與小明的蜂蜜水一樣甜，小紅需要加入幾勺蜂蜜？

3.3 比例推理學習進階模型的修訂

根據比例推理學習進階問卷施測后得到的數據分析結果，對假設的學習進階模型進行以下兩步修訂．

3.3.1 假設的進階水平難度的重新排序

利用Winsteps得到每個假設的進階水平難度的平均Rasch得分．Rasch得分越高，說明題目難度越大，對應假設的進階水平越高．根據各假設的進階水平的平均Rasch得分重新排列各進階水平，得到修訂后的比例推理學習進階模型如表6．

相較于表5、表6中修訂后的比例推理學習進階模型存在兩處修訂．第一，定性推理中的第4個進階水平D1L4，即“雙維、不確定”是難度最大的一個水平，應排在最高的進階水平．第二，定量推理中的第5個進階水平D2L5的難度應該排在D2L2之后，D2L3之前．

3.3.2 合并無顯著性差異的假設進階水平

觀察各假設的進階水平的Rasch得分，D1L2和D1L3相差較小，D2L5、D2L3、D2L4、D2L6相差較小，D2L7、D2L8相差較?。魞蓚€假設的進階水平的Rasch得分相差較小，說明學生在這兩個水平上的表現比較一致．因此，對Rasch得分相差較小的進階水平做差異性檢驗，分析學生在此類進階水平中是否處于同一水平，若學生在進階水平上的得分無顯著性差異，則將其合并為一個進階水平．

（1）假設的進階水平D1L2和D1L3的修訂．

對學生在假設的進階水平D1L2和D1L3的Rasch得分進行配對樣本檢驗，發現D1L2和D1L3無顯著性差異（(629)=0.332，=0.740），因此，將假設的進階水平D1L2和D1L3合并為同一進階水平．

（2）假設的進階水平D2L5、D2L3、D2L4、D2L6的修訂．

對學生在假設的進階水平D2L5、D2L3、D2L4、D2L6的Rasch得分進行單因素方差分析，結果顯示學生在這4個水平的得分主效應不顯著（(3, 626)=0.80，=0.494）．通過多重比較發現，4個假設的進階水平兩兩間均無顯著性差異（值均大于0.05）．因此，將假設的進階水平D2L5、D2L3、D2L4、D2L6合并為同一進階水平．

（3）假設的進階水平D2L7、D2L8的修訂．

對學生在假設的進階水平D2L7和D2L8的Rasch得分進行配對樣本檢驗，發現學生在D2L7和D2L8上得分無顯著性差異（(629)=6.377，=0.315），因此，將假設的進階水平D2L7、D2L8合并為同一進階水平．

3.3.3 實證的比例推理學習進階模型

通過對假設的學習進階模型的難度排序和進階水平的修訂，得到實證的比例推理學習進階模型如表7．

表7 實證的比例推理學習進階模型

3.4 比例推理學習進階模型的驗證

3.4.1 學生在不同進階水平上得分的差異性檢驗

對學生在修訂后7個進階水平上的原始平均得分做單因素方差分析發現，主效應顯著（(3, 626)=202.18，<0.05）．進一步多重比較發現，各進階水平兩兩之間均存在顯著性差異（<0.05）．因此，構建的比例推理學習進階模型的水平劃分是合理的．

3.4.2 學生在不同進階水平上得分率的變化趨勢

學習進階模型需要符合進階水平越高的題目難度越高，即學生的得分率越低的規律．因此計算學生在每個進階水平上的原始平均得分率，觀察得分率的變化趨勢如圖2．

由圖2可知，學生在不同進階水平上的得分率符合進階水平越高得分率越低的規律，因此所構建的比例推理學習進階模型是合理的．

圖2 小學生在不同進階水平上的得分率

3.4.3 不同年級學生在進階水平上的得分率變化趨勢

學習進階模型需要符合學生的年級越高，能力越高，即在每個進階水平上的得分率越高的趨勢．計算不同年級學生在不同進階水平上的原始平均得分率，觀察每個進階水平在不同年級上的平均得分率如圖3．

由圖3可知，在每一個進階水平中均符合學生的年級越高，其在該進階水平上的得分率越高．因此，研究構建的比例推理的學習進階模型是合理的．

圖3 不同年級學生在進階水平上的得分率

3.5 小學生比例推理學習進階模型

通過對假設的學習進階模型進行修訂和檢驗，得到實證的學習進階模型，基于對實證的學習進階模型的驗證，得到了小學生比例推理學習進階模型，共包含7個學習進階水平，每個學習進階水平對應學生具體的學習表現見圖4．

圖4 小學生比例推理學習進階模型

4 分析與討論

4.1 創新

相對已有研究[4，11，14–15]，這里對研究方法和數據分析進行了創新．一方面，選取定性推理中兩組量的變化、定量推理中比例的數值結構關系和定量推理中比例的數值大小關系作為3類進階變量，構建小學生比例推理學習進階模型．并利用Rasch模型對假設的學習進階模型進行修訂和驗證，使得數據分析更為客觀、嚴謹．另一方面，利用進階模型的特點及方差分析對優化后實證的學習進階模型進行驗證，進而說明這里所構建的進階模型符合學生的認知，更具有說服力．最終得到與已有研究不同的小學生比例推理學習進階模型和用于測試小學生比例推理水平的問卷．

4.2 定性推理中“雙維和不確定”為何是最高水平

在構建假設的學習進階模型時，由于定性推理不需要具體的數值計算，主觀地認為其涵蓋的各個水平應低于定量推理，但在實際測試后發現，定性推理中“雙維、不確定”這一水平的難度最高，對學生思維水平要求較高．該水平要求學生對比例式中兩組量變化的3種情況進行分類討論，進而得到最終答案．根據學生在問卷中的回答可知，大多學生在遇到此類問題時僅考慮了其中一種變化情況，并不能完整地將3種變化情況一一討論，綜合得到“不確定”這一答案，因此，定性推理中“雙維、不確定”為最高水平．

4.3 假設的進階水平合并的原因

在假設的學習進階模型的修訂過程中，對3組假設的進階水平進行了合并．其中，定性推理中的兩個水平雖然變化的情況不同，但均可以通過相同的分析方法得到結果，因此要求學生所要掌握的知識點在本質上是相同的．對于第二組的合并，學生均是通過尋找已知條件中的倍數關系，然后計算得出答案．對學生來說，倍數關系存在于內在比還是相間比之間、數值是由大推小還是小推大，都是一樣的．定量推理中最高的兩個假設的進階水平在學生的解題過程中比較一致，均是先將已知比化簡得到最簡比，然后利用相間比得到答案，與數值的大小關系無關．

5 研究結論與建議

5.1 結論

5.1.1 比例推理學習進階問卷

研究過程中開發了一套一～六年級學生比例推理能力問卷，可以用于評測小學生具體處于哪一個比例推理學習進階水平．

5.1.2 小學生比例推理學習進階模型

研究過程中構建的小學生比例推理學習進階模型，包含2種題目類型，7個進階水平，各水平的學習表現和進階變量如圖4．

5.2 建議

現有教科書中關于“比例推理”的內容較少，主要集中在“定量推理”；課程目標較為籠統，缺乏操作性，這就給教師的教學提出了挑戰．人教版教科書中有關比例的問題題型主要集中于比例計算、化簡已知比和解比例，幾乎沒有涉及定性推理[14–15]．學生在六年級學習“比例的基本性質”后，解決比例問題時直接列式計算，缺少進行比例推理的過程．而定性推理可以幫助學生脫離數值計算，歷經并理解比例推理的全過程，提升邏輯思維和分類討論的能力．考慮到學生的接受能力，低年級時可以增加進階水平1及進階水平2中對應的定性推理的題目，六年級增加進階水平7中對應的定性推理題目．教師應根據不同的比例推理學習進階水平與學生的認知特點，設計有針對性的課堂教學活動．

6 不足與展望

因為研究為橫向調查，被試不同，所以不能有效控制無關變量對研究結論的影響．如果采用縱向追蹤調查，可以更全面、真實地了解學生比例推理的發展歷程，精確界定學生比例推理的進階模型．當然，一個更加理想的做法是開展個案診斷訪談、教學實驗，以探查在較為自然狀態下學生比例推理的發展歷程．

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Construction of the Learning Progression Model of Proportional Reasoning for Elementary School Students

GONG Zi-kun1, CHENG Ling2, CHEN Ying-jie1

(1. Hangzhou Normal University Jing Hengyi School of Education, Zhejiang Hangzhou 311121, China;2. Hangzhou Zhaohui Junior High School, Zhejiang Hangzhou 310014, China)

Textbook compilation needs to arrange the teaching contents hierarchically according to the logical order of knowledge and the cognitive development order of students. Therefore, it is particularly important to clarify the learning progression of core concepts. This study constructs the hypothetical learning progression model of proportional reasoning through literature analysis, designs a questionnaire, and surveys 630 students in grades one to six. Based on the questionnaire data, the hypothetical learning progression model of proportional reasoning was revised and validated, and the learning progression model of proportional reasoning for elementary school students was proposed. The model includes three types of variables and the corresponding seven levels. The variables are as follows: the change of two groups of quantities in qualitative reasoning, the numerical structure relationship of proportion and the numerical size relationship in quantitative reasoning. Among the seven levels, “two dimensions and uncertain” is the highest level in qualitative reasoning. The following suggestions are put forward: increasing the types of questions for qualitative reasoning in textbooks; carrying out the teaching design of integrating qualitative reasoning and quantitative reasoning.

elementary school students; proportional reasoning; the model of learning progression

G622

A

1004–9894（2022）05–0048–06

鞏子坤，程玲，陳影杰．小學生比例推理學習進階模型的構建[J]．數學教育學報，2022，31（5）：48-53．

2022–08–10

浙江省哲學社會科學規劃課題——基于認知發展模型的義務教育教科書編寫質量提升研究

鞏子坤（1966—），男，山東滕州人，教授，博士生導師，主要從事數學教育心理研究．

[責任編校：周學智、張楠]