小學數學思維訓練題的三種表征及其解題策略

李娜玲

（廈門市海滄區延奎實驗小學，福建 廈門 361026）

“表征”即人對某一特定事物或人的特定印象。思維訓練題的表征，即解題者基于對數學思維訓練題的理解，對題中的數學信息進行歸納，利用所學知識對要求解的問題產生的印象。思維訓練題包含“題問”和“題干”。現有教材中的思維訓練題，對“題干”與“題問”的表征都是經過精雕細琢的：從文字描述上看，思維訓練題的意思在學生理解范圍內，不會超出學生的正常認知；從情境設定上看，思維訓練題和學生的生活貼近，不會花費學生太多時間思考情境意思。因此，思維訓練題的表征是命題的精髓，也是解題的橋梁。

參照不同標準，思維訓練題的類型也不同。將思維訓練題按照難度水平進行區分，有初始和深層表征之分；假使是按照呈現方式來區分，則有外顯和內隱表征之分。［1］本文以數學思維訓練題的“外顯表征”為例。外顯表征指的是將題干與題問以文字、圖表、符號、模型等形式完整地體現與表達出來。依據教材編排特點，可將數學思維訓練題的“外顯表征”分為“文字表征、圖表表征、符號表征”。以下作具體探析。

一、文字表征型：多項對比表征，變直線為橫向

文字表征通常是針對某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括地表達出來的一種數學文字結構。［2］多項對比表征是訓練學生結構化思維與排除干擾技能的常用策略。教師可以抓住現有教材例題或習題的題干與題問的動態點，改變題的文字表征形式（條件開放或問題開放），使題向“寬度、深度、高度”發展，以提升數學思維訓練題的表征含量與質量，充分展示“一題多鑒”的思辨過程。

（一）題干表征

為了凸顯教材“題條件”的隱藏性特點，建構學生解題思維網絡，增強模塊對比解題能力，可以改變初始單項（直線）題干表征方式為多項橫向表征方式，即逐一選擇題干模塊，形成條件開放的思維訓練題。

例如，人教版教材改編題：

已知修建的沼氣池為圓柱形，沼氣池有4m 深，底部直徑為5m。在_____________抹上水泥，計算該部位需要刷的水泥面積大小。

按照你的理解，從下述選項中選擇答案填入空白處，并對問題進行思考計算。

選項：A.池的四壁與下底面；B.池的四壁與上、下底面；C.池的四壁。

這樣抓住題干的動態點進行“多項對比”表征，使題由單項向多項發展，即橫向發展。既增強題的容量，又增強題的寬度與厚度，從而建構表征空間，使思維訓練題更富有挑戰性。

（二）題問表征

為了凸顯教材“題答案”的開放性特點，幫助學生建構結構化思維網絡，挖掘遞進對比解題潛能，同樣可以改變初始單項（直線）題問表征方式為多項橫向表征方式，即逐一訓練題問模塊，形成問題開放的思維訓練題。

例如，創編題：

如圖1 所示，已知蔬菜大棚的橫截面為半圓形，直徑是3 米，且蔬菜大棚的長度為25 米。

題問：（1）要將圖1 中的蔬菜大棚全部覆蓋上塑料薄膜，需要耗費多少面積的塑料薄膜？

圖1

（2）蔬菜大棚的內部空間有多少立方米？

（3）王叔叔想要在這個蔬菜大棚里面種植菠菜，已知這種蔬菜大棚每平方米可產5 千克菠菜，這種菠菜每千克售價3.6 元，問這個大棚的菠菜可賣出多少錢？

這樣抓住題問的拓展點進行“多元”表征，既從容積、表面積答項進行表征，又從長方形面積、產量與價錢答項進行表征。除了擴充題的容量外，還提升解題思維的高度與深度，從而拓寬題的表征結構，使思維訓練題更富有綜合性。

二、圖表表征型：多向推理表征，變抽象為直觀

圖表表征通常是把題的已知狀態（說明已知條件或情境）與目標狀態（說明欲達成的目的）運用圖形或表格形式，精煉簡潔直觀地描述出數學圖表結構的過程。推理表征是訓練學生合情推理（題干→題問）和演繹推理（題問→題干）能力的重要方法。為了訓練學生多向打通已知狀態與目標狀態之間障礙的技能，可以改變現有教材例題或習題的單軌道文字表征為多軌道雙向圖表表征方式。這樣既凸顯題干與題問信息的形象直觀化，又能強化學生的數形結合、邏輯推理思維，充分展示“一題多創”的價值觀。

（一）圖式表征

為了體現教材“題干”的隱藏性特點（題干隱含在圖式中），建構學生識圖、解圖思維網絡，培育想象推理能力，可以將教材題改編成題干與題問都隱含在圖畫（線段）中或題干與題問圖文并茂的思維訓練推理題。

例如，人教版教材原題：

改編題：

評析：原題的題干與題問隱含在圖畫中。題干的比較量為：交警攔截下來的貨車自重為2.8 噸，載貨量為6 噸；題干的標準量為：滿載時共重8.7 噸；題問為：它是否超載了。這種圖式表征示意性強，便于學生獲取與理解數學信息，并從中找到雙向解題思維策略。而改編題的題干與題問隱含在線段中。此題可獲取的題干信息為：六年1 班科技發明獲獎32 件，六年2 班科技發明獲獎比六年1 班多1/4；題問信息為：六年級兩個班科技發明獲獎共幾件？這種圖式表征示意性也較強，除了容易找到外顯信息外，還便于獲取內隱信息，即兩個班科技發明獲獎件數相當于六年1 班的1+1+1/4，從而打破題干至題問間的障礙通道，并求出答案32+32+32×1/4=72（件）。這樣用圖式（圖畫、線段）方式表征題的結構，凸顯多向推理思想的綜合運用，使思維訓練題更富有推理性。

（二）格式表征

為了體現教材的“規律”探究性特點，建構結構化思維網絡，提升類比推理能力，可以將教材題改編成題干與題問都隱含在表格直觀情境中的多向思維訓練推理題。

例如，人教版教材原題：

此題的題干與題問隱含在表格中。表格橫向可以看出：各種水果原有的重量與賣出的重量（題干），求各種水果剩下的重量（題問）。縱向可以看出：表中隱含4 道文字表征題：如已知水果部已賣掉145 千克蘋果，原有的蘋果重量為250 千克，則剩余的蘋果重量是多少？水果部有香蕉105 千克，賣出88 千克后，還剩多少千克香蕉？……這種格式表征題的容量大，規律性強，便于學生獲取表格中直觀的數學信息（整體與部分），并從中找到解題的規律，即已知整體與部分，求部分，用減法，如250-145=105 千克；已知部分與部分，求整體，用加法，如212+98=310 千克。把同類題組進行格式化表征，既能直觀溝通題干與題問間的關系，又能層層揭開題干與題問間的隱含信息。除了擴充題的容量外，還提升推理思維的廣度與深度，從而體驗格式表征題結構的價值，使思維訓練題更富有對比性。

三、符號表征型：多層敘述表征，變結論為過程

題的符號表征具有顯著特點，且包含一些特殊規律，是理解與把握解題規律的重要方法。可通過多層語言敘述表征，將符號表征的結論轉化為解題過程。

（一）內隱符號表征

內隱符號表征即按要求將語言敘述的數學題以數學符號等形式表達出來，將文字精簡成數學信息。內隱符號表征是四則運算抽象概括的思維導行圖，也是題干與題問內隱信息的語言表達形式。為了凸顯簡明、抽象、清晰、準確的符號語言功能，促進學生數學符號語言表達能力的提升，可以將教材題改編成題干與題問都隱含在抽象符號情境中的思考與表達題。

例如，人教版教材原題：

改編題：

評析：原題的左圖題干信息為：小丑右手拿著3 個氣球，左手拿著1 個氣球；題問信息為：小丑手中共有幾個氣球？右圖題干信息為：左邊有1 把扇子，右邊有3 把扇子；題問信息為：共有幾把扇子？左圖的內隱信息為：將左集合圈與右集合圈合并成一個集合圈；右圖的內隱信息為：將左右兩邊的扇子合并在一起。該題的深層表征為：借助“合起來”的生活情境，采用大括號把兩部分合并一起的活動情境，凸顯加法的含義，即部分加部分等于整體。改編題的左圖題干信息為：小丑手中共有4 個氣球，放飛1 個氣球；題問信息為：小丑手中還有幾個氣球？右圖的題干信息為：商店有4 朵向日葵，賣掉1 朵或送走1 朵；題問信息為：還剩幾朵向日葵？該題的深層表征為：用畫虛線圈、畫斜線的方式，表示把部分物體“移走”或“拿掉”，凸顯從整體中去掉一部分，求剩余部分的減法含義。這樣的內隱符號表征，可以增強閱讀與理解的思維含量。同時，幫助學生積累解題的經驗，并從中感悟數學思想，體會數學本質，領悟內隱符號表征題的含義，使思維訓練題更富有啟迪性。

（二）外顯符號表征

外顯符號表征指將一些抽象的數學概念或問題帶入具體情境中，利用客觀事實或生活經驗來呈現。為了凸顯外顯符號表征的特征，可以把特殊標志符號語言隱含在挑戰、趣味情境中，形成富有規律性的表征題。在解釋數學信息時，抓住題的外顯符號表征的特殊結構與語言特征，用自己喜歡的方式圈圈畫畫，從而深化理解題意。

以人教版教材習題為例：

（1）已知鉛錘為圓錐形，鉛錘的底部周長為12.56cm，高為5cm。該鉛錘的主要材料是鋼，而每立方厘米鋼的重量是7.8 克。問鉛錘的重量是多少？（結果取整數）

（2）某班級教室墻面要重新粉刷，該教室的長寬高分別為8m、6m 和3m，且教室門窗為11.4 平方米。已知粉刷一平方米需4 元人民幣，則完成整間教室的粉刷需要多少費用？

例（1）的題干與題問的外顯符號表征特點為：題干與題問間的單位重量為每立方厘米（怎樣）……，從題中可知，單位重量為“每立方厘米鋼大約重7.8 克”；例（2）的題干與題問的外顯符號表征特點為：題干與題問間的單位重量為每平方米（怎樣）……，本題的單位重量為“每平方米需要花4 元的涂料費”。題的外顯符號表征是判斷解題策略的依據與關鍵，如單位重量是“每平方（怎樣）……”屬于求面積算重量，而單位重量是“每立方（怎樣）……”屬于求體積算重量。同理，解決立體幾何思維訓練題，若題問的外顯符號表征單位是“立方……”，則可推斷本題是求體積或容積；若題問的外顯符號表征單位是“平方……”，則可推斷本題是求面積。