基于tripling的補設計的性質研究

黃興友，薛慧麗，李洪毅

吉首大學數學與統計學院，湖南 吉首 416000

0 引言

Doubling方法最初被用來構造正交主效應設計[1].文獻[2]討論了用一個分辨度為Ⅳ的二水平正規部分因析設計，通過doubling方法來構造分辨度仍為Ⅳ的Double設計，隨后doubling的方法在設計的構造中得到了廣泛的應用[3-5].文獻[6-7]對于二水平的Double設計與初始設計之間的示性函數及在各種最優準則下的聯系進行了深入研究.文獻[8]以水平置換作為折疊反轉方式提出用tripling方法構造三水平Triple設計，構造了一系列具有最小低階混雜的三水平因子設計.文獻[9]進一步討論了Triple設計和其初始設計在廣義最小低階混雜準則、最小低階矩混雜準則及均勻性準則下的解析聯系.

1 基本概念

記U(n；3s)為一類具有n次試驗，s個三水平因子的U-型設計，即每個因子出現的水平次數相同.設D∈U(n；3s)，其可以看成是n×s矩陣D=(xil)n×s，xil=0，1，2，i=1，2，…，n，l=1，2，…，s，D的每一行對應一次試驗，每一列對應一個因子.

(1)

根據Krawtchouk多項式的正交性，易得

(2)

偏差作為設計的均勻性度量已在許多文獻中使用，本文選取可卷型L2-偏差來衡量設計的均勻性，為方便起見，用WD表示.對于任意設計D∈U(n；3s)，它的WD值平方可通過公式計算：

(3)

其中uil=(2xil+1)/6，i=1，…，n，l=1，…，s.

設D∈U(n；3s)，表1列出了D∈U(n；3s)的所有水平置換方式及置換設計.

表1 設計D的6種水平置換方式及置換設計

2 主要結論

證明根據(2)式和文獻[8]中引理1有

由(2)式有

結論得證.

(4)

其中：

證明當p≡0(mod 3)時，由(1)式和文獻[9]引理1，對于1≤j≤3p有

根據(2)式和文獻[13]引理1有

(5)

(6)

(7)

(8)

3 數值例子

表2 三水平等距設計D1∈U(9；312，9)

表3 三水平等距設計D2∈U(9；312，9)

表和的廣義字長型模式

表5 Triple設計T(d1)和T(d2)的廣義字長型模式

4 結語